初中数学北师大九年级上册图形的相似-K型图的应用PPT

一、复习回顾

K型图

A型图

X型图

双垂图二、探究基本图形（1）如图,已知E为BC上任意一点，且∠B=∠C=∠AEF=90°，问：图中有相似的三角形吗？找出并说明理由.CABEF理由：(两角）∠B=∠C;∠A+∠AEB=90°∠AEB+∠FEC=90°

∠A=∠FEC有：△ABE∽△ECF

（2）E为BC上任意一点，若∠B=∠C=∠AEF=60°,则△ABE与△

ECF的关系还成立吗？说明理由.（3）点E为BC上任意一点若∠B=∠C=∠AEF=α,则△ABE与△

ECF的关系还成立吗？C60°60°60°ABEFαααABCEFαααABFCE60°60°60°CABEF△ABE∽△ECF成立！CABEFC60°60°60°ABEFABCEFααα都有：∠B=∠C=∠AEF

∠A=∠FEC

当点B、点C、点E在同一直线上，且满足

时，

。总结：

归纳巧记：一线三等角，相似两三角（形）△ABE∽△ECF

∠B=∠C=∠AEF

K型图CABEFC60°60°60°ABEFABCEFαααE例1：如图△ABC是等边三角形,P为BC上一点,D为AC上一点,若

∠APD=60°.

（1）求证:△ABP∽△PCD；

（2）若BP=3，CD=2，求△ABC的边长.三、知识应用提示：（1）“K型图”（2）边长为9.变式：如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°.△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA的延长线相交于点Q．（1）求证：△BPE∽△CEQ；（2）当BP=2,CQ=9时，求P、Q两点间的距离．提示：（1）“K型图”（2）PQ=5

(2012•宜宾)如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点。（1）求证：△ABE∽△ECM;（2）设BE=x，AM=y，求y关于x的函数关系式，并求出当BE为何值时，AM有最小值，最小值是多少；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积。四、中考链接这节课你有什么收获和体会要与大家分享？(1)复习了哪些知识点?(2)体会到些什么方法?五、课堂小结你还有什么疑惑？五、拓展延伸如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=6cm，BC=13cm，点P沿BC从B向C以1cm/s的速度运动（不包含B、C两点），且∠APQ=∠B，射线PQ交CD（或CD的延长线）于点Q．设P点的运动时间为t．（1）如图①，当PQ交CD于Q时，求证:△ABP∽△PCQ；（2）如图②，当PQ交CD的延长线于Q时，设DQ=y，请求出y与t之间的函数关系式；（3）请问当时间t等于多少时，以A、B、P为顶点的三角形与以Q、P、A为顶点的三角形相似？谢谢！当∠C、∠D、∠1在同一直线上，且满足

条件时，

。总结：

归纳巧记：一线三等角，相似两三角（形）△ACP∽△PDB

∠C=∠D=∠1K型图变式1：

如图，已知D为BC上一点，∠B=∠C=∠EDF=60°,BE=6,CD=3,CF=4,则BD=____,AF=____.EBCDFA例2：如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（2）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？（3）求△APQ的面积的最大值.提示：（1）（2）t=2或t=3（3）S△APQ的最大值为5五、拓展延伸1.如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．（1）若BK=

KC，求的值；（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=

AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．

再探究：当AE=

AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．如图，在△ABC中，BA=BC=20,AC=32，动点P从A开始在线段AB以每秒5个单位长度的速度向B点运动(点P不与A、B重合)，同时动点Q从点C开始在线段CA以每秒8个单位长度的速度向A点运动(点Q不与C、A重合)，设运动的时间为x.五、拓展延伸（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）ΔAPQ能否与ΔCQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．（3）是否存在x，使若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.如图，在△ABC中，BA=BC=20,AC=32，动点P从A开始在线段AB以每秒5个单位长度的速度向B点运动(点P不与A、B重合)，同时动点Q从点C开始在线段CA以每秒8个单位长度的速度向A点运动(点Q不与C、A重合)，设运动的时间为x.五、拓展延伸（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）ΔAPQ能否与ΔCQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．（3）是否存在x，使若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.例1：如图，在平行四边ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC.(2)若AB＝4，AD＝

，AE＝3，求AF的长．老师点评：解：(1)∵平行四边形ABCD∴AD∥BC,AB∥CD∴∠ADF=∠CED,∠B+∠C=180̊̊又∵∠AFE+∠AFD=180̊̊,∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)∵平行四边形ABCD∴AD∥BC,CD=AB=4又∵AE⊥BC,∴AE⊥AD例1：正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，

当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，

（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）当M点是BC中点时，求证：RtABM△∽Rt△AMN。例2：如图，在中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟P、B、Q构成的三角形与A、B、C构成的三角形相似？试说明理由。四、探究拓展1.如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点．（1）若BK=

KC，求的值；（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=

AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．

再探究：当AE=

AD（n＞2），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．（1）在此方格网中找出一个与△ABC相似且面积最大的格点三角形；（2）此网格中一共可找到多少个与△ABC相似的格点三角形呢？2.如图是一个5X5的方格网，横竖线相交的点叫“格点”，所有顶点都在格点上的三角形叫“格点三角形”，△ABC就是一个格点三角形。变式：（2008年浙江丽水）如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，△划格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P的坐标是

.

你能测量出这个红塔的高度吗？你能测量出这条河的宽度吗？例3：如图，为了测量一条河的宽度，测量人员进行了如下操作：（1）在对岸岸边P点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选择点A和B，使得B、A、P在一条直线上，且与河岸垂直。（2）随后确定点C、D，使BC⊥BP，AD⊥BP，由观测可以确定CP与AD的交点D。（3）他们测得AB=45m，BC=90m，AD=60m，从而确定河宽PA=90m。你认为他们的结论对吗？还有其他的测量方法吗？ABCDP45m90m60m解：结论正确！理由如下：由△PAD∽△PBC得PAPB=ADBCPAPA+45=6090PA=90改变点C的位置，仍可以得到相应的结论.？变式：教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图），经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高。他们测得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一起算一下，树高为多少？DBACEHFG解：首先在图上标上字母，过点C作CE⊥AB，垂足为E根据题意，可得：△AEC∽△FGH2.7m2.7m1.2m1.2m1m0.9AEFG=CEHGAE1=2.70.9AE=3m∴树高AB=3+1.2=4.2m变式1：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°，

如图4，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．

求证：△ABD∽△DCE．ABCDE若△ADE∽△ABC，你可以得出什么结论？角：∠ADE=∠B；∠AED=∠C边：DE∥BC面积：“A”型做一做：周长：做一做：ABOCD添加一个条件，使△AOB∽△DOC角：∠B=∠C或∠A=∠D“X”

型边：AB∥CD

或AO：OD=BO：CO二、巩固提升做一做用实战来证明自己2、如图，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（）CABD（1）AC︰CD=AB︰BC（2）CD︰AD=BC︰AC（3）AC=AD·AB2（4）CD=AD·AB2解：已知∠A是两个三角形的公共角，要使△ACD与△ABC相似，就要使△ACD中∠A的两边与△ABC中的∠A的两边对应成比例——即ADACACAB=AC=AD·AB2∴应该选：CC思路与方法点拨1.“证明”：“两角对应相等的两个三角形相似”在证明三角形相似中用得较多，在证明过程中应注意结合图形和已知条件去找相等的角，注意挖掘图形中的隐含条件，如公共角、对顶角等。2.“计算”：解题时要结合图形和已知条件，找出相似的三角形并把已知量和未知量集中在所找的三角形中，利用相似三角形的性质和判定解决有关计算线段长度和证明线段成比例的问题。3.方法：注意数形结合、函数、方程和转化等数学思想的运用。你能测量出这个红塔的高度吗？你能测量出这条河的宽度吗？CABEF（1）△ABE∽△ECF理由：(两角）∠B=∠C;∠A+∠AEB=90°∠AEB+∠FEC=90°

∠A=∠FEC∴△ABE∽△ECFC