第十章定积分的应用§1平面图形的面积-课件

第十章

定积分的应用

§1

平面图形的面积

教学内容：平面图形面积的计算教学目的：理解定积分的意义；学会、掌握微元法处理问题的基本思想熟记平面图形面积的计算公式。教学难点：利用定积分对直角坐标系以及极坐标系下平面图形面积的计算。第十章

定积分的应用

§1

平面1一．

直角坐标系下平面图形的面积：1、由定积分的几何意义，连续曲线轴所围成的曲边梯形的面积为a0xyb一．

直角坐标系下平面图形的面积：1、由定积2bocdexyoabocdexyoa3yxoabyxoab4xyoabxyoab55、如果平面区域既不是x—型区域，也不是y—型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个x—型区域与y—型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总的面积等于各区域面积之和。如右下图：xEabABCDFGo5、如果平面区域既不是x—型区域，也不是y—型区域，6

显然：由图可以知道上部分曲线由三条不同的曲线：AB、BC与CD构成；下部分曲线由两条不同曲线：EF与FG所构成。为计算其面积，可分别过点B、C与F作平行于y轴的直线，这样则把平面区域分成4个x—型区域，然后利用前面的X——型区域的公式就可以计算了。下面看几个计算的例子我们就清楚利用定积分如何计算不规则图形的面积了。

7ABAB8分析1：所给的区域不是一个规范的x-域,

如图为了便于计算需将其图形进行分割,

即可化成两个x-形区域的面积问题。第一块的面积：分析1：所给的区域不是一个规范的x-域,

如图为9第十章定积分的应用§1平面图形的面积-课件10二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积设区间上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积11注记：计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法：

1、具体计算时常利用图形的几何特征

2、从参数方程定义域的分析确定例2

求摆线的一拱与x轴所围的平面图形的面积

(如图阴影部分)注记：计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常12由图可以看出由图可以看出13三、极坐标下平面图形面积

ox

和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确定。确定上下限方法通常也是1）利用图象；2）分析定义域（见下页示图）三、极坐标下平面图形面积ox

和参数方程一样，极坐14第十章定积分的应用§1平面图形的面积-课件15

例3

求双扭线

q2cos22ar=

围成的平面图形的面积

解

先看一下双纽线的图象，

xy例3求双扭线q2cos22ar=16第十章定积分的应用§1平面图形的面积-课件17第十章定积分的应用§1平面图形的面积-课件18第十章

定积分的应用

§1

平面图形的面积

教学内容：平面图形面积的计算教学目的：理解定积分的意义；学会、掌握微元法处理问题的基本思想熟记平面图形面积的计算公式。教学难点：利用定积分对直角坐标系以及极坐标系下平面图形面积的计算。第十章

定积分的应用

§1

平面19一．

直角坐标系下平面图形的面积：1、由定积分的几何意义，连续曲线轴所围成的曲边梯形的面积为a0xyb一．

直角坐标系下平面图形的面积：1、由定积20bocdexyoabocdexyoa21yxoabyxoab22xyoabxyoab235、如果平面区域既不是x—型区域，也不是y—型区域，则用一组平行于坐标轴的直线，把平面区域分成尽可能少的若干个x—型区域与y—型区域，然后计算每一区域的面积，则平面区域总的面积等于各区域面积之和。如右下图：xEabABCDFGo5、如果平面区域既不是x—型区域，也不是y—型区域，24

显然：由图可以知道上部分曲线由三条不同的曲线：AB、BC与CD构成；下部分曲线由两条不同曲线：EF与FG所构成。为计算其面积，可分别过点B、C与F作平行于y轴的直线，这样则把平面区域分成4个x—型区域，然后利用前面的X——型区域的公式就可以计算了。下面看几个计算的例子我们就清楚利用定积分如何计算不规则图形的面积了。

25ABAB26分析1：所给的区域不是一个规范的x-域,

如图为了便于计算需将其图形进行分割,

即可化成两个x-形区域的面积问题。第一块的面积：分析1：所给的区域不是一个规范的x-域,

如图为27第十章定积分的应用§1平面图形的面积-课件28二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积设区间上的曲边梯形的曲边由方程由参量方程表示二、由参数方程表示的曲线所围成平面图形的面积29注记：计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常有两种方法：

1、具体计算时常利用图形的几何特征

2、从参数方程定义域的分析确定例2

求摆线的一拱与x轴所围的平面图形的面积

(如图阴影部分)注记：计算中，主要的困难是上下限的确定。上下限的确定通常30由图可以看出由图可以看出31三、极坐标下平面图形面积

ox

和参数方程一样，极坐标情况面积的计算主要困难是积分上下限的确定。确定上下限方法通常也是1）利用图象；2）分析定义域（见下页示图）三、极坐标下平面图形面积ox

和参数方程一样，极坐32第十章定积分的应用§1平面图形的面积-课件33

例3

求双扭线