信号与系统-cp6离散时间信号与系统的频域分析-下课件

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课程目录第1章绪论第2章连续时间信号与系统的时域分析第3章连续时间信号与系统的频域分析第4章连续时间信号与系统的复频域分析第5章离散时间信号与系统的时域分析第6章离散时间信号与系统的频域分析第7章离散时间信号与系统的Z域分析2022/12/222课程目录课程第6章离散时间信号与系统的

频域分析第6章离散时间信号与系统的

频域分析6.1引言6.2周期序列的离散时间傅立叶级数（DFS）6.3非周期序列的离散时间傅立叶变换（DTFT）6.4周期序列的离散时间傅里叶变换6.5离散时间傅里叶变换的性质6.6离散傅里叶变换（DFT）6.7离散傅里叶变换的性质6.8用离散傅里叶变换近似分析连续时间信号6.9离散时间系统的频域分析6.10应用实例—电力系统谐波分析习题第6章离散时间信号与系统的频域分析6.1引言第6章离散时间信号与系统的频域分析6.6离散傅里叶变换（DFT）2022/12/225

傅里叶变换建立了信号的时域特性与其频谱特性之间的关系，在信号与系统的分析、处理方面具有鲜明的物理意义及重要的应用作用，是不可或缺的重要分析工具。随着计算机技术的发展及其在工程领域的越来越深入和广泛的应用，自然，我们也希望能用计算机技术完成傅里叶分析。

前面我们已经建立了四种形式的傅里叶变换:在第3章，建立了连续时间下的傅里叶级数变换FS和傅里叶变换FT，这两种傅里叶变换中，其时域变量或频域变量两者至少有一个是连续变量。因此，这两种形式的傅里叶变换都是无法利用计算机实现的。

在本章，建立了离散时间傅里叶级数变换DFS和离散时间傅里叶变换DTFT。在DTFT中，频域变量是连续的，因此，它也无法利用计算机实现。只有DFS，其时域变量和频域变量都是离散的，具备由计算机实现的可能性。6.6离散傅里叶变换（DFT）2022/12/1656.6离散傅里叶变换（DFT）2022/12/226

但是，我们考查DFS的变换式不难发现，其无论是时域序列

还是频域序列

，都是无限长序列。计算机是不可能计算无限长序列的，因此，DFS也是无法利用计算机实现的。

为了能由计算机完成傅里叶变换，必须寻找新的途径。

考查DFS的变换式，虽然其无论是时域序列还是频域序列都是无限长的，但是却都是以N为周期的周期序列。对于周期序列，如果已知一个周期的序列值，则将其以N为周期进行周期扩展，就能得到长度为无限长的周期序列。

有鉴如此，我们在计算DFS时，可以不必计算无限长序列值，只要将其一个周期的序列值进行计算，得到了一个周期的序列值，即可通过周期扩展而得到整个序列值。这里通常取主值周期进行计算。6.6离散傅里叶变换（DFT）2022/12/1662022/12/227由DFS定义式：式中，

是周期为N的时域序列，

是周期为N的频域序列。

对

及

只取主值周期，分别变成

及

，得到：令

，

，

代入上式有：6.6离散傅里叶变换（DFT）2022/12/167由DFS定义式：6.6离散傅里叶变2022/12/228引入符号

，称为旋转因子，代入上式有：该式称为离散傅里叶变换式，即DFT。它定义了时域的N点有限长序列变换为频域的N点有限长序列的离散傅里叶变换。可见，DFT是将DFS的主值序列提取出来定义的一种变换对，因此其与DFS具有完全相同的形式。DFS是经过严格数学论证得到的变换对，而DFT是为了适应计算机的运算而建立的时域及频域有限长序列的变换对。DFS是符合实际信号特性的，它反映了信号的客观物理现象，而DFT则不然，因为在实际物理信号中，不可能存在时域是离散的而频域却是非周期的、或者频域是离散的而时域却是非周期的信号。6.6离散傅里叶变换（DFT）2022/12/168引入符号，称为旋转因子2022/12/229由DFT的定义可知，DFT与DFS存在如下的关系：即DFS的主值序列即为DFT的序列，DFT序列以N为周期的周期扩展序列即为DFS的序列。比较DFT与DTFT的变换式，有：该式表明，X(k)为的N点等间隔采样。可见，有限长序列x(n)的离散时间傅里叶变换可以用DFT来计算，其用DFT计算的X(k)就是的频域抽样。只要满足抽样定理，就可以由X(k)中恢复原连续信号的频谱。因此若对连续时间信号利用抽样得到的序列进行DFT变换，就可以近似分析其频谱。(2)(3)6.6离散傅里叶变换（DFT）2022/12/169由DFT的定义可知，DFT与DFS存在2022/12/2210

DFT与DFS具有类似的性质，掌握DFT的性质，对于DFT的运算及应用具有重要作用。6.7离散傅里叶变换的性质6.7.1线性若：则：6.7.2周期性若：则：（1）频域周期性证明：（2）时域周期性若：则：2022/12/1610DFT与DFS具有类似的性2022/12/2211由DFT的定义式有：设x(n)为实序列，对上式两边取共轭：（1）将X(k)写为实部与虚部的形式：6.7离散傅里叶变换的性质（6-69）由（6-69）式有：可见，

具有偶函数特性，而

具有奇函数特性。（2）将

写为模与幅角的形式：类似地可以得到：可见，|X(k)|具有偶函数特性，而arg[X(k)]具有奇函数特性。6.7.3奇偶性和对称性2022/12/16116.7离散傅里叶变换的性质（6-6.7离散傅里叶变换的性质2022/12/22126.7.4时频互易特性若：则：

（6-78）式（6-78）表明，如果序列

x(n)的DFT为X(k)，则当时域序列的表达式具有X(n)的形状时，其对应的DFT的频域序列则具有x(-k)的形状。6.7.5时域循环移位特性

对有限长序列x(n)的移位序列为x(n-m)，从一般意义讲，这是序列x(n)移位m位后形成的序列，但是，对于DFT来讲，由于DFT具有隐含周期性，故这个移位要用循环移位。记为：6.7离散傅里叶变换的性质2022/12/16126.76.7离散傅里叶变换的性质2022/12/2213若：则：式（6-79）说明，序列的时域循环移位，对应于频域的移相。6.7.6频域循环移位特性若：则：式（6-80）说明，序列的频域循环移位，对应于时域序列乘上一个虚指数序列，这相当于时域的调制。

（6-79）

（6-80）6.7离散傅里叶变换的性质2022/12/1613若：则2022/12/22146.7离散傅里叶变换的性质（1）线性卷积线性卷积的定义式为：设

的长度为L，

的长度为M由（6-81）式可知：（6-81）对于

有：对于

有：将这两个不等式相加，有：（6-82）

可见，线性卷积结果的序列长度是与参与卷积运算的两个有限长序列的长度有关的。（2）循环卷积定义循环卷积为：两个长度均为N的有限长序列

与（6-83）循环卷积的长度是与N有关的，称为N点循环卷积。6.7.7时域循环卷积特性2022/12/16146.7离散傅里叶变换的性质（1）2022/12/22156.7离散傅里叶变换的性质（3）循环卷积与线性卷积的关系对于长度为

L的序列与长度为

M的序列其线性卷积的长度为L+M-1，循环卷积的长度为N，计算循环卷积是为了得到线性卷积的结果。因此，要使循环卷积的结果完全包含线性卷积的结果，必须满足：在满足（6-84）式的条件下，循环卷积的前

L+M-1个值就正好是线性卷积的结果。（6-84）（4）时域循环卷积特性若：则：式（6-85）说明，两个有限长序列的循环卷积的离散傅里叶变换，等于该两个序列的离散傅里叶变换的乘积。该特性提供了一条利用离散傅里叶变换计算循环卷积的途径。（6-85）2022/12/16156.7离散傅里叶变换的性质（3）2022/12/22166.7离散傅里叶变换的性质图6-13离散傅里叶变换计算卷积原理框图

利用该特性，可以将求取系统零状态响应的方法由时域的卷积变换到频域的乘积来实现。虽然这样要花费的步骤更多，但是由于DFT具有快速算法

FFT，其实际花费的计算时间却更少，因而使得该方法成为计算机计算零状态响应的重要方法。2022/12/16166.7离散傅里叶变换的性质图6-2022/12/22176.7离散傅里叶变换的性质

例6-5已知4点有限长序列

x1(n)=[1，1，1，1]和3点有限长序列x2(n)=[1，2，3]。（1）求线性卷积m-3-2-1012345000111100

032100000100321000030003210006000032100600000321050000003213即：

x(n)=[1，3，6，6，5，3]2022/12/16176.7离散傅里叶变换的性质m012345

111100

1000321

2100033

3210006

0321006

0032105

0003213m01234567

11110000

100000321

210000033

321000006

032100006

003210005

000321003

000032100

0000032106.7离散傅里叶变换的性质2022/12/2218（2）求4点循环卷积m01231111

10326210363210603216（3）求6点循环卷积（4）求8点循环卷积m012345

111100

1000321

2100032022/12/2219%Matlabn=0:3;x1=1.^n;subplot(2,3,1);stem(n,x1);%x1(n)波形axis([-08-0.11.2]);xlabel('n');title('x1(n)');%---n=0:2;x2=n+1;subplot(2,3,2);stem(n,x2);%x2(n)波形axis([-08-0.33.5]);xlabel('n');title('x2(n)');

6.7离散傅里叶变换的性质%%(1)线性卷积xc1=conv(x1,x2);n=0:5;subplot(2,3,3);stem(n,xc1);axis([-08-0.77]);xlabel('n');title('x1(n)*x2(n)');

%%(2)N点循环卷积N=4;%N=6;N=8;X1=fft(x1,N);X2=fft(x2,N);X=X1.*X2;xc2=ifft(X,N);n=0:N-1;subplot(2,3,4);stem(n,xc2);axis([-08-0.57]);xlabel('n');title('x1(n)*x2(n),N=4');2022/12/1619%Matlab6.7离散傅里叶变2022/12/2220式（6-86）说明，两个有限长序列时域的乘积的离散傅里叶变换，等于该两个序列的离散傅里叶变换的循环卷积除以N。长序列矩形加窗或说截短后，频谱发生了改变。6.7离散傅里叶变换的性质若：则：（6-86）6.7.8帕塞瓦尔能量定理若：则：式（6-87）说明，序列的时域能量与频域能量是相等的。（6-87）6.7.7频域循环卷积特性2022/12/1620式（6-86）说明，两个有限长序列时2022/12/22216.8用离散傅里叶变换近似分析连续时间信号

工程实际中遇到的信号，大多为非周期连续时间信号，而且往往也不存在数学表达式。对这样的信号进行DFT分析，具有重要和普遍的工程实际意义。6.8.1近似分析的方法

设连续时间信号为x1(t)，其频谱为X1(jω)，如图6-15（a）。由于DFT只能对有限长离散时间信号进行运算，故首先要对x1(t)进行抽样，成为离散时间序列x2(n)，时域的离散化导致频域的周期化，故其频谱为X2(jω)，如图6-15（b）。为使x2(n)成为有限长序列，必须截短使其长度为N

的序列x3(n)。时域的截短，最简单的方法是将时域序列乘以矩形窗序列，由傅里叶变换的频域卷积特性可知，截短后的信号的频谱是原信号的频谱与矩形窗函数的频谱的卷积。因此截短后的信号的频谱为X3(jω)，如图6-15（c）。2022/12/16216.8用离散傅里叶变换近似分析连2022/12/2222由图6-15（c），信号的频谱X3(jω)仍为连续函数，为了能用计算机运算，还必须对频谱进行离散化，也就是进行频域抽样，得到X4(k)，而频域抽样导致时域周期化为x4(n)，如图6-16（d）。

只要使序列时域一个周期的点数与其频域一个周期的点数都为N，就可以利用DFT计算两者之间的变换。

下面从变换公式对上述过程进行分析。6.8.1近似分析的方法2022/12/1622由图6-15（c），信号的频谱X3(6.8.1近似分析的方法2022/12/2223已知非周期连续时间信号x(t)的连续时间傅里叶变换为：（1）首先对x(t)进行抽样，Ts为抽样周期，fs为抽样频率。（2）再对x

(n)截短为N点长度，有：（6-88）式（6-88）中，dt=(n+1)Ts-nTs=Ts，积分变为求和，有：（6-90）（6-92）6.8.1近似分析的方法2022/12/1623已知非周2022/12/22246.8.1近似分析的方法（3）再对X(jω)进行频域离散化，频域抽样间隔为ω0，有：保证对X(jω)的一个周期宽度抽样N个点，即：，或（6-94）频域抽样导致时域周期化，其周期为

，有：T0=NTs（6-95）于是，（6-93）式可写为：（6-98）即：（6-98）式说明，在已知x(t)的情况下，可用DFT对其频谱近似分析。同理：（6-99）（6-93）2022/12/16246.8.1近似分析的方法（3）再2022/12/22256.8.2近似分析出现的问题由于利用DFT对x(t)进行频谱分析时，必须对时域离散化，这必导致频域周期化。为使x(n)为

N

点有限长序列，必须对其进行截短，导致信号为有限长时间信号。由傅里叶变换特性(见图3-8)，时域有限长信号其频域必为无限宽频谱。

由于这三个方面的原因，利用

DFT分析连续时间信号的频谱，必然出现频谱混叠现象，如图6-15（c）所示。

频谱混叠现象的出现，导致分析计算的频谱的结果与信号的真实频谱之间出现误差。利用DFT分析连续时间信号的频谱，频谱混叠是不可避免的，我们只能寻找措施尽量减少误差，使其能达到工程要求。（1）

频谱混叠2022/12/16256.8.2近似分析出现的问题由于2022/12/2226

减少混叠误差可采取的措施：可以对连续时间信号采取抗混叠滤波。实际的工程信号的有效带宽总是有限的，抗混叠滤波实际上就是一个低通滤波器，使该滤波器的截止频率不低于信号的最高有效频率，于是，经抗混叠滤波后的信号，就会近似成为频带有限信号，该信号频谱周期化后，其频谱混叠造成的影响就会减少。可以加大连续时间信号的抽样频率。抽样频率越大，频谱周期化时，相邻周期的间隔距离也越大，其频谱混叠造成的影响也会越少。

抗混叠滤波器越接近理想低通滤波器，效果越好，当然，这必然导致滤波器越复杂，成本越高。

抽样频率越高，抗混叠效果越好，当然，这也必然导致同样时间长度内抽样数据点数的增加，要求抽样器件的工作频率越高，抽样数据的存储容量越大，DFT计算的数据量越大，计算所花费的时间越长，造成系统的实时性越低。

对抗混叠滤波器及抽样频率的选择，不可盲目追求高性能，而应以工程实际需求为目标，达到工程误差允许即可。6.8.2近似分析出现的问题2022/12/1626减少混叠误差可采取的措施：6.82022/12/22276.8.2近似分析出现的问题（2）

频谱泄露

利用DFT分析连续时间信号的频谱，一般在将x(t)抽样为序列后，必须对其截短为长度为N的有限长序列。时域序列的截短，最简单的方法就是将时域序列与长度为N的矩形序列相乘。由DFT的频域卷积性质可知，时域信号的乘积，对应于其频谱的卷积，即：时域截短不可避免要产生频谱泄露，工程上只能设法减少频谱泄露的影响。2022/12/16276.8.2近似分析出现的问题（22022/12/2228时域矩形窗序列及其频谱如图6-18所示：6.8.2近似分析出现的问题它有主瓣和旁瓣，正是矩形窗的频谱特性引起了频谱泄露。

不论选择什么样的宽度，其主瓣宽度与旁瓣幅度总是对立的，主瓣越窄，其旁瓣越高，反之，旁瓣越低，其主瓣越宽。2022/12/1628时域矩形窗序列及其频谱如图6-18所2022/12/22296.8.2近似分析出现的问题

要想较好地控制频谱泄露，在选择矩形窗截短的情况下，只能在边沿的陡峭性与平坦部分的起伏性之间做选择。要么追求边沿的陡峭性而不计平坦部分的起伏性，要么追求平坦部分的起伏性而不计边沿的陡峭性。要两方面同时最优是不可能的。

为了更好地抑制旁瓣，人们发明了不同于矩形窗（w=boxcar(N)）的许多窗函数，常见的有三角形窗（w=triang(N)）、bartlett窗（w=bartlett(N)）、hamming窗（w=hamming(N)）、hanning窗（w=hanning(N)）、blackman窗（w=blackman(N)）、chebyshev窗（w=chebwin(N)）、kaiser窗（w=Kaiser(N,b)）等，如图6-20~6-22所示，。这些窗函数在牺牲主瓣宽度下，能够起到降低旁瓣的作用。2022/12/16296.8.2近似分析出现的问题2022/12/22306.8.2近似分析出现的问题常见窗函数幅值频谱图常见窗函数对数幅值频谱图2022/12/16306.8.2近似分析出现的问题常见6.8.2近似分析出现的问题2022/12/2231（3）

栅栏效应

利用DFT分析连续时间信号的频谱，由于频域的离散性，只在有限个离散的频率点上有序列值，即：

即DFT只分析了这些离散频点上的频谱值，但是，在这些频率点之间的频谱的情况却是未知的，这就像是透过一个栅栏去看原信号的频谱，只能看到栅栏缝隙透过的频谱，而被栅栏遮挡的频谱就看不到了。这种现象就被形象地称为“栅栏效应”。

栅栏效应同样是利用DFT分析连续时间信号频谱时所无法避免的现象。如需查看被栅栏遮挡的频谱，能采取的办法有两个，一是改变栅栏的位置，使被遮挡的频谱移动到可见的栅栏缝隙处，二是加大栅栏缝隙数量。

DFT分析时，其时域序列及频域序列在一个周期内的点数都为N，我们可以通过在时域序列尾部添加零值从而加大N的办法来实现。添加零值的数量可以有两种情况：一是小于N个，二是等于N的整数倍个。前者会改变栅栏的位置，后者会成倍增加栅栏缝隙数量。6.8.2近似分析出现的问题2022/12/1631（32022/12/2232（4）

基于DFT分析连续时间信号频谱系统结构图6.8.2近似分析出现的问题抗混叠滤波采样

补零DFTx(t)x’(t)x(n)x’(n)x’’(n)X(k)

加窗图6-22基于DFT分析连续时间信号频谱2022/12/1632（4）基于DFT分析连续时间信号2022/12/22336.8.3频率分辨率利用DFT分析信号频谱时，其时域与频域的参数对应关系如图6-23所示。2022/12/16336.8.3频率分辨率利用DFT分2022/12/22346.8.3频率分辨率即X(k)的频率点为：故其离散域相邻频率点之间的间隔为：这就是DFT分析的离散域的频率分辨率。也称为数字域频率分辨率。由（6-100）式可见，数字域频率分辨率只与点数N有关，N越大，即一个周期内的点数越多，ΔΩ

就越小，频率分辨率就越高。（6-100）再由图6-23中各参数之间的关系，有：T0=NTs，fs=NF0可得：（6-103）（6-103）式表明，DFT频谱分析的模拟频率分辨率为时域信号采样记录总时间长度T0的倒数，也即模拟频率分辨率只与时域信号采样记录总时间长度T0有关，T0越大，F0

越小，模拟频率分辨率越高。2022/12/16346.8.3频率分辨率即X(k)的6.8.3频率分辨率2022/12/2235

理解（6-100）式及（6-103）式很重要。如果只对x(n)通过补零增加点数N，即一个周期内频谱的数量增加了，使

ΔΩ

减少，这是提高了数字域的频率分辨率，但是从（6-103）式可以看出，其F0并不减少，即模拟频率分辨率并没有提高。因为，在序列x(n)后面补零，实际并没有增加信号的有效记录长度T0，如果T0不增加，则F0也不会减少，当然也就不会提高模拟频率分辨率。例6-7：

设由频率为49Hz和51Hz合成信号为：就取不同点数N比较频谱分析结果。6.8.3频率分辨率2022/12/1635理6.8.3频率分辨率2022/12/2236解：采样频率选择为200Hz对x(t)离散化，得到x(n)为：（a）对x(n)只取N=50个点的长度信号，得到x1(n)及其频谱如图6-24（a）所示。（b）对x(n)仍然只取N=50个点的长度信号，但是在后面添加150个零得到x2(n)及其频谱如图6-24（b）所示。（c）对x(n)取满N=200个点的长度信号，得到x3(n)及其频谱如图6-24（c）所示。将图6-24（c）的频谱放大，如图6-24（d）所示，可以清楚看到两根频谱。6.8.3频率分辨率2022/12/1636解：采样频率2022/12/2237

在利用DFT分析连续时间信号的频谱时，其分析的结果是近似的，存在频谱混叠、频谱泄露、栅栏效应的问题，还要考虑模拟信号频率分辨率。该如何选择相关参数，才能使分析结果满足工程实际的要求，这是必须要解决的问题。

对被分析连续时间信号，首先要确定其最高有效频率

fm，这个参数通常情况下会由工程实际给定。也可依实际信号估计，如取信号的最短上升或下降时间td作为最高频率分量的半周期，有：6.8.4利用DFT近似分析连续时间信号频谱的参数选择

然后，要确定信号频谱分析的模拟频率分辨率F0，这个是分析的目标，一般按工程实际要求给定。2022/12/1637在利用DFT分析连续时间信2022/12/2238再依采样定理确定信号的最低采样频率：6.8.4利用DFT近似分析连续时间信号频谱的参数选择由模拟频率分辨率确定信号有效记录长度为：进一步可确定采样记录点数为：例6-8对于由频率为49Hz和51Hz合成的信号：确定DFT频谱分析所需参数。2022/12/1638再依采样定理确定信号的最低采样频率：6.8.4利用DFT近似分析连续时间信号频谱的参数选择2022/12/2239设要分辨49Hz和51Hz两个频点，取模拟频率分辨率为：

F0=1Hz；可得信号有效记录长度为：最后可得采样点数为：解：信号的最高频率为：fm=51Hz；可得采样频率为：6.8.4利用DFT近似分析连续时间信号频谱的参数选择26.9离散时间系统的频域分析2022/12/22406.9.1离散时间系统的频率响应

对任意离散周期信号，利用DFS可以将其表示为虚指数信号

的线性组合，如（6-4）式，对任意离散非周期信号，利用DTFT可以将其表示为虚指数信号

的线性组合，如（6-21）式，而且：

离散时间信号的频域分析，我们已经看到，在信号的频谱分析方面具有重要作用，同样，在离散时间系统分析方面也具有重要作用，可以对系统的频率特性进行分析，还可以用于求取系统的零状态响应。

因此，与连续时间系统时的情况一样，将虚指数信号

称为离散时间系统分析的基本信号。6.9离散时间系统的频域分析2022/12/16406.6.9.1离散时间系统的频率响应2022/12/2241设LSI系统的单位脉冲响应为h(n)，系统输入为基本信号

时，其零状态响应为：式中的求和项正好是h(n)的DTFT，记为

，即：

称为系统的频率响应特性函数，于是，式（6-110）可以写为：（6-110）（6-111）（6-112）6.9.1离散时间系统的频率响应2022/12/16416.9.1离散时间系统的频率响应2022/12/2242

式（6-112）可见，一个稳定的LSI系统，对基本信号的零状态响应，是基本信号本身乘以一个与时间序数n无关的复常数

（系统单位脉冲响应h(n)的DTFT）。这表明LSI系统在虚指数序列

信号的激励下，系统的输出仍然为同频率的虚指数序列，只是幅值和相位发生了改变。

通常，

是Ω的连续复函数，将其写成模与幅角的形式，有：

则称

为系统的幅频特性，称

为系统的相频特性。

由于h(n)是实序列，故由DTFT的奇偶性可知：

系统的幅频特性是Ω的偶函数，相频特性是Ω的奇函数。6.9.1离散时间系统的频率响应2022/12/16426.9.2离散时间系统的零状态响应2022/12/2243已知，LSI系统对任意输入序列

x(n)的零状态响应为：

（6-114）对该式两边取DTFT，并利用时域卷积特性有：

（6-115）将得到的

取DTFT反变换，即得到系统的零状态响应序列，即：

由（6-115）式可见，把时域的卷积运算转化为频域的乘积运算，这为系统响应的求取带来了极大地方便。

工程实际中，一般利用DFT计算，其运算过程如图6-25所示。6.9.2离散时间系统的零状态响应2022/12/1646.9.2离散时间系统的零状态响应2022/12/2244

由图6-25可见，要计算

，需要做两次DFT变换、一次乘法运算和一次IDFT变换。其计算过程比直接利用（6-114）式的卷积复杂，但是，由于DFT有快速算法FFT和IFFT，从而使依图（6-25）的运算比利用（6-114）式的运算所需的时间要少得多。DFTDFTIDFTx(n)h(n)X(k)H(k)Yzs(k)yzs(n)6.9.2离散时间系统的零状态响应2022/12/1646.9.2离散时间系统的零状态响应2022/12/2245对于

的求取，当已知系统的h(n)时，可由（6-111）式求取，即：当已知系统的差分方程时，可由对差分方程两边取DTFT求取。离散时间LSI系统的差分方程一般式为：对该式两边取DTFT，并利用时移特性，有：即：6.9.2离散时间系统的零状态响应2022/12/1646.9.2离散时间系统的零状态响应2022/12/2246例6-9：

已知离散时间因果稳定LSI系统的差分方程为：（a）求系统的单位脉冲响应h(n)；（b）当

时，求系统的零状态响应。解：（a）对差分方程两边取DTFT，有：整理得：故：6.9.2离散时间系统的零状态响应2022/12/1646.9.2离散时间系统的零状态响应2022/12/2247（b）由

得到：6.9.2离散时间系统的零状态响应2022/12/1646.10应用实例—电力系统谐波分析2022/12/22486.10.1信号的表示电力系统的交流电是频率为50Hz的工频正弦信号，实际系统中还有频率为工频的整数倍频率的谐波，进行谐波分析，就是要从实际的电力系统交流信号中分析出工频信号及谐波信号的具体参数。设电力系统交流信号的表达式为：式中，L为拟分析的谐波最高次数。这里，我们假定：（6-119）6.10应用实例—电力系统谐波分析2022/12/1646.10.1信号的表示2022/12/2249利用MATLAB画出x(t)的波形,如图6.26所示。%信号的表示w=2*pi*50;t=0:0.00001:0.04;x1=10*sin(w*t);x2=5*sin(w*t*5);x3=3*sin(w*t*9);x4=sin(w*t*13);x=x1+x2+x3+x4;plot(t,x);xlabel('t/s');ylabel('x(t)/V');title('x(t)');gridon;6.10.1信号的表示2022/12/1649利用MAT6.10.2信号的采样2022/12/2250电力系统谐波是工频（50Hz）的整数倍。故可知频率分辨率为

确定采样时长至少为：再由要分析测量的最高次谐波要求，比如(6-1119)式设为13次，可知被测信号的最高频率为

fmax=650Hz。采样定理要求:我们先取：故可得最少采样点数为:按此参数，对图6.26的信号采样，得到波形如图6.27所示。（6-120）6.10.2信号的采样2022/12/1650电力系统谐6.10.2信号的采样2022/12/2251%信号的抽样w=2*pi*50;T=1./(50*13*5);N=65;n=0:1:N-1;x1=10*sin(w*n*T);x2=5*sin(w*n*T*5);x3=3*sin(w*n*T*9);x4=sin(w*n*T*13);x=x1+x2+x3+x4;stem(n,x);xlabel('n');title('x(n)');gridon;6.10.2信号的采样2022/12/1651%信号的抽6.10.3DFT变换2022/12/2252求时域信号的频谱，实际就是作频域变换。通过按照6.10.2的计算要求，得到实际信号的采样序列x(n)，对x(n)作傅里叶变换，实际就是DFT变换，可以得到X(k)。如图6-28所示。%DFT变换:w=2*pi*50;T=1./(50*13*5);N=65;n=0:1:N-1;x1=10*sin(w*n*T);x2=5*sin(w*n*T*5);x3=3*sin(w*n*T*9);x4=sin(w*n*T*13);x=x1+x2+x3+x4;X=fft(x,N);k=0:1:N-1;w1=2*pi/N*k;stem(w1/pi,abs(X));xlabel('k*2*pi/N');title('X(k)');gridon;6.10.3DFT变换2022/12/1652求时域信号6.10.4谐波数据的确定2022/12/2253得到了X(k)，怎么得到具体的谐波数据呢？这里要涉及模拟域频率与数字域频率的问题。结合课程内容，我们知道：信号的模拟域频率ω与其数字域频率Ω之间的关系是：结合式：可得：，即：将fs及N代入该式，可得：故对于某一个k值，其对应的模拟域频率为：f=50k查图6.28，有4根谱线，其对应的k值为1、5、9、13，可知其含有的频率为工频及其5次、9次和13次谐波，与式（6.119）的表示符合。6.10.4谐波数据的确定2022/12/1653得到了6.10.4谐波数据的确定2022/12/2254再来看谐波的幅值，由6.10.3的计算，查看|X(k)|得到对应k=±1、±5、±9、±13的值分别为：325、162.5、97.5、32.5。对于某k时，其频谱幅值A由|X(k)|与|X(-k)|组成：由该式可计算得到对应

k=1、5、9、13的幅值分别为：10、5、3、1。与式（6.119）的表示符合。从这里可以看出，只要计算出

X(k)，实际就得到了信号的频谱了。6.10.4谐波数据的确定2022/12/1654再来看6.10.5问题的进一步分析2022/12/2255由前面可以看到，要完成电力系统谐波分析，已经涉及了本课程的多个重点内容，但是，这只是最基本的，我们还可以做进一步的分析研究。（1）改变采样频率式（6.120）给出的采样频率是

fs=5fmax

，可见满足采样定理的要求，现在，我们来考虑减小采样频率。与第6.10.2节一样，保证信号采样时长为1个工频周期，分别取fs为fmax的5、3、2、1倍，对应的采样点数分别取为65、39、26、13，得到X(k)的结果如图6.29所示。6.10.5问题的进一步分析2022/12/1655由前（1）改变采样频率2022/12/2256%改变采样频率:w=2*pi*50;p=5;%p=5,3,2,1;倍数T=1./(50*13*p);N=65;%N=65,39,26,13;采样点数n=0:1:N-1;x1=10*sin(w*n*T);x2=5*sin(w*n*T*5);x3=3*sin(w*n*T*9);x4=sin(w*n*T*13);x=x1+x2+x3+x4;subplot(1,2,1);stem(n,x);%时域波形xlabel('n');title('N=65');gridon;X=fft(x,N);k=0:1:N-1;w1=2*pi/N*k;subplot(1,2,2);stem(w1/pi,abs(X));%频域波形xlabel('k*2*pi/N');title('fs=5*50Hz');gridon;（1）改变采样频率2022/12/1656%改变采样频率:（2）改变采样时长2022/12/2257保证采样频率为

fs=5fmax

，改变采样点数N，相当于改变采样时长。现在，我们来考虑减小采样时长。我们使采样时长为1、0.5、0.25个工频周期，对应的采样点数分别取为65、33、17，得到X(k)的结果如图6.30所示。%改变采样时长:w=2*pi*50;T=1./(50*13*5);N=65;%N=65,33,17;采样时长n=0:1:N-1;x1=10*sin(w*n*T);x2=5*sin(w*n*T*5);x3=3*sin(w*n*T*9);x4=sin(w*n*T*13);x=x1+x2+x3+x4;subplot(1,2,1);stem(n,x);%时域波形xlabel('n');title('x(n):N=65（T/1）');gridon;X=fft(x,N);k=0:1:N-1;w1=2*pi/N*k;subplot(1,2,2);stem(w1/pi,abs(X));%频域波形xlabel('k*2*pi/N');title('X(k):fs=5*50Hz');gridon;（2）改变采样时长2022/12/1657保证采样频率为（3）采样信号补02022/12/2258对于图6.30的第2种情况（采样时长为0.5个工频周期），我们在x(n)后面补0使信号时长达到1个工频周期，结果如图6.31所示。%采样信号补0:w=2*pi*50;T=1./(50*13*5);N=65;%采样点数n=0:1:N-1;x1=10*sin(w*n*T);x2=5*sin(w*n*T*5);x3=3*sin(w*n*T*9);x4=sin(w*n*T*13);x=x1+x2+x3+x4;

N2=65;n2=0:1:N2-1;x2=[x(1:1:33)zeros(1,32)];subplot(1,2,1);stem(n2,x2);%时域波形xlabel('n');title('N=65');gridon;

X=fft(x2,N);k=0:1:N-1;w1=2*pi/N*k;subplot(1,2,2);stem(w1/pi,abs(X));%频域波形xlabel('k*2*pi/N');title('X(k):fs=5*50Hz');gridon;（3）采样信号补02022/12/1658对于图6.30的（4）非整周期采样分析2022/12/2259由图6.29可见，N=65时是信号的整整一个周期，现在，我们增加一些点数，如N=80、95，使采样信号不再是整周期的，结果如图6.32所示。%非整周期抽样w=2*pi*50;T=1./(50*13*5);N=80;%N=65,80,95;采样点数n=0:1:N-1;x1=10*sin(w*n*T);x2=5*sin(w*n*T*5);x3=3*sin(w*n*T*9);x4=sin(w*n*T*13);x=x1+x2+x3+x4;subplot(1,2,1);stem(n,x);%时域波形xlabel('n');title('x(n):N=80');gridon;X=fft(x,N);k=0:1:N-1;w1=2*pi/N*k;subplot(1,2,2);stem(w1/pi,abs(X));%频域波形xlabel('k*2*pi/N');title('X(k):fs=5*50Hz');gridon;（4）非整周期采样分析2022/12/1659由图6.29可6.10.6问题的扩展研究2022/12/22606.10.5

节的内容是课程的教学内容范围之内的，如果考虑电力系统的实际，要能很好地分析电力系统谐波，仅有“信号与系统”课程的内容是远远不够的，我们来看看以下几点。（1）电网频率非恒定的影响（2）非整数倍谐波的影响（3）可变频谱分辨率（4）噪声和随机干扰（5）测量实时性要求诸如此类的实际问题，需要进一步的信号与系统的理论和方法的支撑，通过问题的扩展研究，我们要看到“信号与系统”课程的基础性，要认识到该课程在实际问题应用中的局限性和不足，需要我们进一步地去学习信号处理类后续课程。6.10.6问题的扩展研究2022/12/16606.12022/12/22616-19；6-23；6-24；6-28；6-30；6-33；6-35；6-39；6-42；6-45；习题2022/12/16616-19；6-23；习题信号与系统信号与系统课程目录

课程目录第1章绪论第2章连续时间信号与系统的时域分析第3章连续时间信号与系统的频域分析第4章连续时间信号与系统的复频域分析第5章离散时间信号与系统的时域分析第6章离散时间信号与系统的频域分析第7章离散时间信号与系统的Z域分析2022/12/2263课程目录课程第6章离散时间信号与系统的

频域分析第6章离散时间信号与系统的

频域分析6.1引言6.2周期序列的离散时间傅立叶级数（DFS）6.3非周期序列的离散时间傅立叶变换（DTFT）6.4周期序列的离散时间傅里叶变换6.5离散时间傅里叶变换的性质6.6离散傅里叶变换（DFT）6.7离散傅里叶变换的性质6.8用离散傅里叶变换近似分析连续时间信号6.9离散时间系统的频域分析6.10应用实例—电力系统谐波分析习题第6章离散时间信号与系统的频域分析6.1引言第6章离散时间信号与系统的频域分析6.6离散傅里叶变换（DFT）2022/12/2266

傅里叶变换建立了信号的时域特性与其频谱特性之间的关系，在信号与系统的分析、处理方面具有鲜明的物理意义及重要的应用作用，是不可或缺的重要分析工具。随着计算机技术的发展及其在工程领域的越来越深入和广泛的应用，自然，我们也希望能用计算机技术完成傅里叶分析。

前面我们已经建立了四种形式的傅里叶变换:在第3章，建立了连续时间下的傅里叶级数变换FS和傅里叶变换FT，这两种傅里叶变换中，其时域变量或频域变量两者至少有一个是连续变量。因此，这两种形式的傅里叶变换都是无法利用计算机实现的。

在本章，建立了离散时间傅里叶级数变换DFS和离散时间傅里叶变换DTFT。在DTFT中，频域变量是连续的，因此，它也无法利用计算机实现。只有DFS，其时域变量和频域变量都是离散的，具备由计算机实现的可能性。6.6离散傅里叶变换（DFT）2022/12/1656.6离散傅里叶变换（DFT）2022/12/2267

但是，我们考查DFS的变换式不难发现，其无论是时域序列

还是频域序列

，都是无限长序列。计算机是不可能计算无限长序列的，因此，DFS也是无法利用计算机实现的。

为了能由计算机完成傅里叶变换，必须寻找新的途径。

考查DFS的变换式，虽然其无论是时域序列还是频域序列都是无限长的，但是却都是以N为周期的周期序列。对于周期序列，如果已知一个周期的序列值，则将其以N为周期进行周期扩展，就能得到长度为无限长的周期序列。

有鉴如此，我们在计算DFS时，可以不必计算无限长序列值，只要将其一个周期的序列值进行计算，得到了一个周期的序列值，即可通过周期扩展而得到整个序列值。这里通常取主值周期进行计算。6.6离散傅里叶变换（DFT）2022/12/1662022/12/2268由DFS定义式：式中，

是周期为N的时域序列，

是周期为N的频域序列。

对

及

只取主值周期，分别变成

及

，得到：令

，

，

代入上式有：6.6离散傅里叶变换（DFT）2022/12/167由DFS定义式：6.6离散傅里叶变2022/12/2269引入符号

，称为旋转因子，代入上式有：该式称为离散傅里叶变换式，即DFT。它定义了时域的N点有限长序列变换为频域的N点有限长序列的离散傅里叶变换。可见，DFT是将DFS的主值序列提取出来定义的一种变换对，因此其与DFS具有完全相同的形式。DFS是经过严格数学论证得到的变换对，而DFT是为了适应计算机的运算而建立的时域及频域有限长序列的变换对。DFS是符合实际信号特性的，它反映了信号的客观物理现象，而DFT则不然，因为在实际物理信号中，不可能存在时域是离散的而频域却是非周期的、或者频域是离散的而时域却是非周期的信号。6.6离散傅里叶变换（DFT）2022/12/168引入符号，称为旋转因子2022/12/2270由DFT的定义可知，DFT与DFS存在如下的关系：即DFS的主值序列即为DFT的序列，DFT序列以N为周期的周期扩展序列即为DFS的序列。比较DFT与DTFT的变换式，有：该式表明，X(k)为的N点等间隔采样。可见，有限长序列x(n)的离散时间傅里叶变换可以用DFT来计算，其用DFT计算的X(k)就是的频域抽样。只要满足抽样定理，就可以由X(k)中恢复原连续信号的频谱。因此若对连续时间信号利用抽样得到的序列进行DFT变换，就可以近似分析其频谱。(2)(3)6.6离散傅里叶变换（DFT）2022/12/169由DFT的定义可知，DFT与DFS存在2022/12/2271

DFT与DFS具有类似的性质，掌握DFT的性质，对于DFT的运算及应用具有重要作用。6.7离散傅里叶变换的性质6.7.1线性若：则：6.7.2周期性若：则：（1）频域周期性证明：（2）时域周期性若：则：2022/12/1610DFT与DFS具有类似的性2022/12/2272由DFT的定义式有：设x(n)为实序列，对上式两边取共轭：（1）将X(k)写为实部与虚部的形式：6.7离散傅里叶变换的性质（6-69）由（6-69）式有：可见，

具有偶函数特性，而

具有奇函数特性。（2）将

写为模与幅角的形式：类似地可以得到：可见，|X(k)|具有偶函数特性，而arg[X(k)]具有奇函数特性。6.7.3奇偶性和对称性2022/12/16116.7离散傅里叶变换的性质（6-6.7离散傅里叶变换的性质2022/12/22736.7.4时频互易特性若：则：

（6-78）式（6-78）表明，如果序列

x(n)的DFT为X(k)，则当时域序列的表达式具有X(n)的形状时，其对应的DFT的频域序列则具有x(-k)的形状。6.7.5时域循环移位特性

对有限长序列x(n)的移位序列为x(n-m)，从一般意义讲，这是序列x(n)移位m位后形成的序列，但是，对于DFT来讲，由于DFT具有隐含周期性，故这个移位要用循环移位。记为：6.7离散傅里叶变换的性质2022/12/16126.76.7离散傅里叶变换的性质2022/12/2274若：则：式（6-79）说明，序列的时域循环移位，对应于频域的移相。6.7.6频域循环移位特性若：则：式（6-80）说明，序列的频域循环移位，对应于时域序列乘上一个虚指数序列，这相当于时域的调制。

（6-79）

（6-80）6.7离散傅里叶变换的性质2022/12/1613若：则2022/12/22756.7离散傅里叶变换的性质（1）线性卷积线性卷积的定义式为：设

的长度为L，

的长度为M由（6-81）式可知：（6-81）对于

有：对于

有：将这两个不等式相加，有：（6-82）

可见，线性卷积结果的序列长度是与参与卷积运算的两个有限长序列的长度有关的。（2）循环卷积定义循环卷积为：两个长度均为N的有限长序列

与（6-83）循环卷积的长度是与N有关的，称为N点循环卷积。6.7.7时域循环卷积特性2022/12/16146.7离散傅里叶变换的性质（1）2022/12/22766.7离散傅里叶变换的性质（3）循环卷积与线性卷积的关系对于长度为

L的序列与长度为

M的序列其线性卷积的长度为L+M-1，循环卷积的长度为N，计算循环卷积是为了得到线性卷积的结果。因此，要使循环卷积的结果完全包含线性卷积的结果，必须满足：在满足（6-84）式的条件下，循环卷积的前

L+M-1个值就正好是线性卷积的结果。（6-84）（4）时域循环卷积特性若：则：式（6-85）说明，两个有限长序列的循环卷积的离散傅里叶变换，等于该两个序列的离散傅里叶变换的乘积。该特性提供了一条利用离散傅里叶变换计算循环卷积的途径。（6-85）2022/12/16156.7离散傅里叶变换的性质（3）2022/12/22776.7离散傅里叶变换的性质图6-13离散傅里叶变换计算卷积原理框图

利用该特性，可以将求取系统零状态响应的方法由时域的卷积变换到频域的乘积来实现。虽然这样要花费的步骤更多，但是由于DFT具有快速算法

FFT，其实际花费的计算时间却更少，因而使得该方法成为计算机计算零状态响应的重要方法。2022/12/16166.7离散傅里叶变换的性质图6-2022/12/22786.7离散傅里叶变换的性质

例6-5已知4点有限长序列

x1(n)=[1，1，1，1]和3点有限长序列x2(n)=[1，2，3]。（1）求线性卷积m-3-2-1012345000111100

032100000100321000030003210006000032100600000321050000003213即：

x(n)=[1，3，6，6，5，3]2022/12/16176.7离散傅里叶变换的性质m012345

111100

1000321

2100033

3210006

0321006

0032105

0003213m01234567

11110000

100000321

210000033

321000006

032100006

003210005

000321003

000032100

0000032106.7离散傅里叶变换的性质2022/12/2279（2）求4点循环卷积m01231111

10326210363210603216（3）求6点循环卷积（4）求8点循环卷积m012345

111100

1000321

2100032022/12/2280%Matlabn=0:3;x1=1.^n;subplot(2,3,1);stem(n,x1);%x1(n)波形axis([-08-0.11.2]);xlabel('n');title('x1(n)');%---n=0:2;x2=n+1;subplot(2,3,2);stem(n,x2);%x2(n)波形axis([-08-0.33.5]);xlabel('n');title('x2(n)');

6.7离散傅里叶变换的性质%%(1)线性卷积xc1=conv(x1,x2);n=0:5;subplot(2,3,3);stem(n,xc1);axis([-08-0.77]);xlabel('n');title('x1(n)*x2(n)');

%%(2)N点循环卷积N=4;%N=6;N=8;X1=fft(x1,N);X2=fft(x2,N);X=X1.*X2;xc2=ifft(X,N);n=0:N-1;subplot(2,3,4);stem(n,xc2);axis([-08-0.57]);xlabel('n');title('x1(n)*x2(n),N=4');2022/12/1619%Matlab6.7离散傅里叶变2022/12/2281式（6-86）说明，两个有限长序列时域的乘积的离散傅里叶变换，等于该两个序列的离散傅里叶变换的循环卷积除以N。长序列矩形加窗或说截短后，频谱发生了改变。6.7离散傅里叶变换的性质若：则：（6-86）6.7.8帕塞瓦尔能量定理若：则：式（6-87）说明，序列的时域能量与频域能量是相等的。（6-87）6.7.7频域循环卷积特性2022/12/1620式（6-86）说明，两个有限长序列时2022/12/22826.8用离散傅里叶变换近似分析连续时间信号

工程实际中遇到的信号，大多为非周期连续时间信号，而且往往也不存在数学表达式。对这样的信号进行DFT分析，具有重要和普遍的工程实际意义。6.8.1近似分析的方法

设连续时间信号为x1(t)，其频谱为X1(jω)，如图6-15（a）。由于DFT只能对有限长离散时间信号进行运算，故首先要对x1(t)进行抽样，成为离散时间序列x2(n)，时域的离散化导致频域的周期化，故其频谱为X2(jω)，如图6-15（b）。为使x2(n)成为有限长序列，必须截短使其长度为N

的序列x3(n)。时域的截短，最简单的方法是将时域序列乘以矩形窗序列，由傅里叶变换的频域卷积特性可知，截短后的信号的频谱是原信号的频谱与矩形窗函数的频谱的卷积。因此截短后的信号的频谱为X3(jω)，如图6-15（c）。2022/12/16216.8用离散傅里叶变换近似分析连2022/12/2283由图6-15（c），信号的频谱X3(jω)仍为连续函数，为了能用计算机运算，还必须对频谱进行离散化，也就是进行频域抽样，得到X4(k)，而频域抽样导致时域周期化为x4(n)，如图6-16（d）。

只要使序列时域一个周期的点数与其频域一个周期的点数都为N，就可以利用DFT计算两者之间的变换。

下面从变换公式对上述过程进行分析。6.8.1近似分析的方法2022/12/1622由图6-15（c），信号的频谱X3(6.8.1近似分析的方法2022/12/2284已知非周期连续时间信号x(t)的连续时间傅里叶变换为：（1）首先对x(t)进行抽样，Ts为抽样周期，fs为抽样频率。（2）再对x

(n)截短为N点长度，有：（6-88）式（6-88）中，dt=(n+1)Ts-nTs=Ts，积分变为求和，有：（6-90）（6-92）6.8.1近似分析的方法2022/12/1623已知非周2022/12/22856.8.1近似分析的方法（3）再对X(jω)进行频域离散化，频域抽样间隔为ω0，有：保证对X(jω)的一个周期宽度抽样N个点，即：，或（6-94）频域抽样导致时域周期化，其周期为

，有：T0=NTs（6-95）于是，（6-93）式可写为：（6-98）即：（6-98）式说明，在已知x(