概率及概率分布课件

第三章

概率及概率分布第三章

概率及概率分布1本章主要内容：什么是随机事件以及其意义。概率的一般解释。随机变量的意义。随机变量的分布。随机变量的数学期望和方差。中心极限定理和大数定律。本章主要内容：什么是随机事件以及其意义。2第一节随机事件与概率随机事件随机事件的概率随机事件的概率简称概率，是随机事件发生可能性大小的度量。概率有多种定义，各适宜不同的场合。概率的古典定义概率的统计定义概率的几何定义概率的公理化定义NEXT第一节随机事件与概率随机事件NEXT3

一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象；l

对随机现象进行观测称为随机试验;l

随机试验的每一个可能结果称为随机事件，简称事件。常用A、B、C等表示。l

随机事件的关系和运算事件的包含与相等;事件的和（并）;事件的积（交）;事件的差;互不相容关系;互逆关系NEXT一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象4第二节常用的概率分布随机变量的概念数学期望和方差常见的离散型随机变量的分布二项分布常见的连续型随机变量的分布正态分布第二节常用的概率分布随机变量的概念5

1、随机变量设随机试验的样本空间为，对于每个属于的样本点（事件）有一个实数和它对应，则称实值函数随机变量，简记为、或。例如，掷三枚分币，反面向上的次数是随机变量

（正，正，正）0（正，正，负）1（正，负，负）2（负，负，负）3

1、随机变量设随机试验的样本空间为，62、离散型随机变量概率分布函数表达形式：表格表达形式：

…………离散型随机变量的概率分布具有下列性质：

2、离散型随机变量概率分布73、连续随机变量的概率密度对于连续型随机变量如果存在非负可积函数，对任意的都有则称为的概率分布密度函数，简称概率密度。

连续型随机变量的概率密度具有如下性质：3、连续随机变量的概率密度对于连续型随84、分布函数：设为随机变量，为任意实数，称函数为的累计分布函数，简称分布函数。

离散型随机变量的分布函数为

连续型随机变量的分布函数为

对任意实数有NEXT4、分布函数：设为随机变量，为任意实数，称函数9

随机变量的数学期望是随机变量所有可能取值的平均水平，记为或。

离散型随机变量连续型随机变量的数学期望

随机变量的数学期望是随机变量所有可能取值的平均水平，记为10

随机变量的方差是随机变量的各可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为或。离散型随机变量连续型随机变量的方差分别为

随机变量的方差是随机变量的各可能取值偏离其均值的离差平方的11

现有甲、乙两种股票，在未来不同经济状况下的可能报酬率和相应的概率如下：经济状况可能的报酬率（%）状况发生的概率

经济过热30-450.1繁荣20-150.2正常10150.3衰退0450.3萧条-10750.1

试计算两种股票的预期报酬率和标准差。并比较风险的大小。现有甲、乙两种股票，在未来不同经济状况12即乙股票的报酬率高，风险也高。NEXT即乙股票的报酬率高，风险也高。NEXT13

重贝努里试验：如果次重复试验都具有以下特点：每次试验只有“成功”或“失败”两种可能结果。每次试验“成功”的概率都为，“失败”的概率为，且。试验是相互独立的，即每次试验结果的概率不受其它各次试验结果的影响。则称次独立重复试验为“重贝努里试验”。重贝努里试验：如果次重复试验都具有以下特点：14二项分布：在重贝努里试验中，“成功”（事件发生）的次数是一个随机变量，其概率分布为

概率分布是二项式展开式的通项故称服从二项分布。其中为参数，记为二项分布的数学期望方差均方差二项分布：在重贝努里试验中，“成功”（事件发生）的次15例1：某车间里共有9台车床，每台车床使用电力是间歇的，平均每小时约有12分钟使用电力。假定车工们使用电力与否是相互独立的，试问

在同一时刻有7台或7台以上的车床使用电力的概率为多少？

最多有一台使用电力的概率为多少？解：设同一时刻使用电力的车床数为X，则服从二项分布。例1：某车间里共有9台车床，每台车床使用电力16例2、滨海市保险公司发现索赔要求中有15%是因为被盗而提出的。现在知道1999年中，公司共收到20个索赔要求，试求其中包含7个或7个以上被盗索赔的概率。

NEXT例2、滨海市保险公司发现索赔要求中有15%是17正态分布1、正态分布密度函数：如果连续型随机变量的概率密度为则称服从参数为,的正态分布，记为.正态分布182、正态分布的分布函数：

正态分布曲线具有如下特征：正态曲线呈钟形，以为对称轴，曲线在处达到极大值曲线的陡缓程度取决于，对同样的，当愈大曲线愈平缓；愈小曲线愈陡峭。2、正态分布的分布函数：193、标准正态分布：当正态分布，时，则称服从标准正态分布，分别用表示概率密度函数和分布函数，即

标准化：若，则可以将其标准化。即服从标准正态分布。3、标准正态分布：当正态分布，20例3服从标准正态分布，查标准正态分布表求概率。

例3服从标准正态分布，查标准正态分布表求概率。21例4意趣玩具厂准备实行计件超产奖，为此需要对生产定额做出新规定。根据以往的记录，可知各个工人每月装配的产品数服从正态分布。假定车间希望有10%的工人能拿到超产奖，试问工人每月需完成多少件产品才能或得奖金？

解：设X为工人每月装配的产品数，设C是能拿到超产奖的工人完成定额。根据题意，有能拿到超产奖的工人完成定额4077件。例4意趣玩具厂准备实行计件超产奖，为22

查表求解正态分布的概率:

用Excel计算正态分布的概率

fx/常用函数/Normdist/按对话框的提示键入所需变量（Cumulation是逻辑值，true是要求计算累计概率，flase是要求计算概率密度值）。

用Excel计算已知累计概率相对应的x

fx/统计/Norminv/按对话框的提示键入所需变量。

NEXT查表求解正态分布的概率:

用Excel计23第三节大数定律和

中心极限定律大数定律中心极限定律第三节大数定律和

中心极限定律大24大数定律—大量随机变量的平均数具有统计稳定性的总称。贝努里大数定律：设是次重复独立试验中事件发生的次数，是事件在每次试验中发生的概率，则取任意小数，有即当试验次数足够大时，有事件发生的频率接近于概率。

大数定律—大量随机变量的平均数具有统计稳定性的总称。25切比雪夫大数定律：设独立随机变量序列,且存在有限的数学期望和方差,则取任意小数，有即当足够大时，序列的平均数趋近于数学期望。NEXT切比雪夫大数定律：NEXT26中心极限定理：中心极限定理是阐述大量的随机变量之和的极限分布，可以证明，在某些条件成立的情况下：

1、服从二项分布的随机变量，当试验次数足够大时，近似服从均值为np，方差为npq的随机变量。

2、设是独立同分布的随机变量，均值和方差均存在。当时，

趋于均值为，方差为的正态分布。

NEXT中心极限定理：中心极限定理是阐述大量的随机变量27第三章

概率及概率分布第三章

概率及概率分布28本章主要内容：什么是随机事件以及其意义。概率的一般解释。随机变量的意义。随机变量的分布。随机变量的数学期望和方差。中心极限定理和大数定律。本章主要内容：什么是随机事件以及其意义。29第一节随机事件与概率随机事件随机事件的概率随机事件的概率简称概率，是随机事件发生可能性大小的度量。概率有多种定义，各适宜不同的场合。概率的古典定义概率的统计定义概率的几何定义概率的公理化定义NEXT第一节随机事件与概率随机事件NEXT30

一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象；l

对随机现象进行观测称为随机试验;l

随机试验的每一个可能结果称为随机事件，简称事件。常用A、B、C等表示。l

随机事件的关系和运算事件的包含与相等;事件的和（并）;事件的积（交）;事件的差;互不相容关系;互逆关系NEXT一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象31第二节常用的概率分布随机变量的概念数学期望和方差常见的离散型随机变量的分布二项分布常见的连续型随机变量的分布正态分布第二节常用的概率分布随机变量的概念32

1、随机变量设随机试验的样本空间为，对于每个属于的样本点（事件）有一个实数和它对应，则称实值函数随机变量，简记为、或。例如，掷三枚分币，反面向上的次数是随机变量

（正，正，正）0（正，正，负）1（正，负，负）2（负，负，负）3

1、随机变量设随机试验的样本空间为，332、离散型随机变量概率分布函数表达形式：表格表达形式：

…………离散型随机变量的概率分布具有下列性质：

2、离散型随机变量概率分布343、连续随机变量的概率密度对于连续型随机变量如果存在非负可积函数，对任意的都有则称为的概率分布密度函数，简称概率密度。

连续型随机变量的概率密度具有如下性质：3、连续随机变量的概率密度对于连续型随354、分布函数：设为随机变量，为任意实数，称函数为的累计分布函数，简称分布函数。

离散型随机变量的分布函数为

连续型随机变量的分布函数为

对任意实数有NEXT4、分布函数：设为随机变量，为任意实数，称函数36

随机变量的数学期望是随机变量所有可能取值的平均水平，记为或。

离散型随机变量连续型随机变量的数学期望

随机变量的数学期望是随机变量所有可能取值的平均水平，记为37

随机变量的方差是随机变量的各可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为或。离散型随机变量连续型随机变量的方差分别为

随机变量的方差是随机变量的各可能取值偏离其均值的离差平方的38

现有甲、乙两种股票，在未来不同经济状况下的可能报酬率和相应的概率如下：经济状况可能的报酬率（%）状况发生的概率

经济过热30-450.1繁荣20-150.2正常10150.3衰退0450.3萧条-10750.1

试计算两种股票的预期报酬率和标准差。并比较风险的大小。现有甲、乙两种股票，在未来不同经济状况39即乙股票的报酬率高，风险也高。NEXT即乙股票的报酬率高，风险也高。NEXT40

重贝努里试验：如果次重复试验都具有以下特点：每次试验只有“成功”或“失败”两种可能结果。每次试验“成功”的概率都为，“失败”的概率为，且。试验是相互独立的，即每次试验结果的概率不受其它各次试验结果的影响。则称次独立重复试验为“重贝努里试验”。重贝努里试验：如果次重复试验都具有以下特点：41二项分布：在重贝努里试验中，“成功”（事件发生）的次数是一个随机变量，其概率分布为

概率分布是二项式展开式的通项故称服从二项分布。其中为参数，记为二项分布的数学期望方差均方差二项分布：在重贝努里试验中，“成功”（事件发生）的次42例1：某车间里共有9台车床，每台车床使用电力是间歇的，平均每小时约有12分钟使用电力。假定车工们使用电力与否是相互独立的，试问

在同一时刻有7台或7台以上的车床使用电力的概率为多少？

最多有一台使用电力的概率为多少？解：设同一时刻使用电力的车床数为X，则服从二项分布。例1：某车间里共有9台车床，每台车床使用电力43例2、滨海市保险公司发现索赔要求中有15%是因为被盗而提出的。现在知道1999年中，公司共收到20个索赔要求，试求其中包含7个或7个以上被盗索赔的概率。

NEXT例2、滨海市保险公司发现索赔要求中有15%是44正态分布1、正态分布密度函数：如果连续型随机变量的概率密度为则称服从参数为,的正态分布，记为.正态分布452、正态分布的分布函数：

正态分布曲线具有如下特征：正态曲线呈钟形，以为对称轴，曲线在处达到极大值曲线的陡缓程度取决于，对同样的，当愈大曲线愈平缓；愈小曲线愈陡峭。2、正态分布的分布函数：463、标准正态分布：当正态分布，时，则称服从标准正态分布，分别用表示概率密度函数和分布函数，即

标准化：若，则可以将其标准化。即服从标准正态分布。3、标准正态分布：当正态分布，47例3服从标准正态分布，查标准正态分布表求概率。

例3服从标准正态分布，查标准正态分布表求概率。48例4意趣玩具厂准备实行计件超产奖，为此需要对生产定额做出新规定。根据以往的记录，可知各个工人每月装配的产品数服从正态分布。假定车间希望有10%的工人能拿到超产奖，试问工人每月需完成多少件产品才能或得奖金？

解：设X为工人每月装配的产品数，设C是能拿到超产奖的工人完成定额。根据题意，有能拿到超产奖的工人完成定额4077件。例4意趣玩具厂准备实行计件超产奖，为49

查表求解正态分布的概率:

用Excel计算正态分布的概率

f