自回归移动平均模型课件

时间序列分析入门时间序列分析入门1主要内容确定性时间序列模型随机时间序列模型及其性质时间序列模型的估计和预测主要内容确定性时间序列模型2一.确定性时间序列模型时间序列：各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间次序排列起来的统计数据时间序列分析模型：解释时间序列自身的变化规律和相互联系的数学表达式一.确定性时间序列模型时间序列：各种社会、经济、自然现象3确定性时间序列模型滑动平均模型加权滑动平均模型二次滑动平均模型指数平滑模型确定性时间序列模型滑动平均模型4(1)滑动平均模型作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并用于预测趋势(1)滑动平均模型作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并5(2)加权滑动平均模型作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势预测更准确其中(2)加权滑动平均模型作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化6(3)二次滑动平均模型对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均(3)二次滑动平均模型对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑7(4)指数平滑模型平滑常数本期预测值是前期实际值和预测值的加权和(4)指数平滑模型平滑常数本期预测值是前期实际值和预测值的8二.随机时间序列模型及其性质随机时间序列平稳时间序列随机时间序列模型二.随机时间序列模型及其性质随机时间序列91.随机时间序列随机过程与随机序列时间序列的性质1.随机时间序列随机过程与随机序列10(1)随机过程与随机序列(1)随机过程与随机序列11随机序列的现实对于一个随机序列，一般只能通过记录或统计得到一个它的样本序列x1,x2,···,xn，称它为随机序列{xt}的一个现实随机序列的现实是一族非随机的普通数列随机序列的现实对于一个随机序列，一般只能通过记录或统计得到一12(2)时间序列的统计性质(特征量)均值函数：某个时刻t的性质(2)时间序列的统计性质(特征量)均值函数：某个时刻t的性13时间序列的统计性质自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质时间序列的统计性质自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质14时间序列的统计性质自相关函数时间序列的统计性质自相关函数152.平稳时间序列所谓平稳时间序列是指时间序列{xt,t=0,±1,±2,···}对任意整数t，，且满足以下条件：对任意t，均值恒为常数

对任意整数t和k，r

t,t+k只和k有关随机序列的特征量随时间而变化，称为非平稳序列2.平稳时间序列所谓平稳时间序列是指时间序列16txttxttxttxt17平稳序列的特性方差自相关函数：平稳序列的特性方差18自相关函数的估计自相关函数的估计19平稳序列的判断kρkkρ

k0011平稳序列的自相关函数非平稳序列的自相关函数迅速下降到零缓慢下降平稳序列的判断kρkkρk0011平稳序列的自相关函数非平20一类特殊的平稳序列

——白噪声序列随机序列{xt}对任何xt和xt都不相关，且均值为零，方差为有限常数正态白噪声序列：白噪声序列，且服从正态分布一类特殊的平稳序列

——白噪声序213.随机时间序列模型自回归模型（AR）移动平均模型（MA）自回归—移动平均模型（ARMA）3.随机时间序列模型自回归模型（AR）22(1)自回归模型及其性质定义平稳条件自相关函数偏自相关函数滞后算子形式(1)自回归模型及其性质定义23①自回归模型的定义描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列值之间的相互关系随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk（k<t）不相关，称为p阶自回归模型，记为AR(p)①自回归模型的定义描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序24②(一阶)自回归序列平稳的条件是否平稳？均值为零？方差为有限常数？自协方差与t无关？②(一阶)自回归序列平稳的条件是否平稳？均值为零？25AR(1)平稳的条件均值方差成立满足这两个条件成立AR(1)平稳的条件成立满足这两个条件成立26AR(1)平稳的条件自协方差仅与k有关，与t无关结论：时，一阶自回归序列渐进平稳AR(1)平稳的条件自协方差仅与k有关，与t无关结论：27③AR(p)的自相关函数自协方差函数自相关函数两边同除以r0③AR(p)的自相关函数自协方差函数两边同除以r028AR(p)的自相关函数耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程AR(p)的自相关函数耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)29例：求AR(1)的自相关函数例：求AR(1)的自相关函数30例：AR(2)的自相关函数取k=1取k=2取k=3例：AR(2)的自相关函数取k=1取k=2取k=331AR(p)自相关函数的拖尾性对AR(p)模型，其自相关函数不能在某一步之后为零（截尾），而是按指数衰减，称其具有拖尾性AR(p)自相关函数的拖尾性对AR(p)模型，其自相关函数32举例10ρkk举例10ρkk33的序列tyt20的序列tyt2034④偏自相关函数耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程AR(p)的偏自相关函数具有截尾性④偏自相关函数耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程A35⑤AR(p)的滞后算子形式引进滞后算子B：一般有：AR(p)记或⑤AR(p)的滞后算子形式引进滞后算子B：AR(p)记或36(2)移动平均模型及其性质定义自相关函数滞后算子形式(2)移动平均模型及其性质定义37①移动平均模型的定义在序列{xt}中，xt表示为若干个白噪声的加权平均和其中{εt}是白噪声序列，这样的模型称为q阶移动平均模型，计为MA(q)①移动平均模型的定义在序列{xt}中，xt表示为若干个白38②MA(1)的自相关函数②MA(1)的自相关函数39MA(q)的自相关函数k=0k=1,2,···,qk>qMA(q)的自相关函数k=0k=1,2,···,qk>q40举例10ρkk0.5123举例10ρkk0.512341的序列yt-1135t的序列yt-1135t42③滞后算子形式其中③滞后算子形式其中43AR(p)与MR(q)的比较AR(1)MR(1)AR(p)与MR(q)的比较AR(1)MR(1)44(3)自回归移动平均模型定义性质滞后算子形式(3)自回归移动平均模型定义45①自回归移动平均模型自回归模型与移动平均模型的综合计为ARMA(p,q)①自回归移动平均模型自回归模型与移动平均模型的综合计为AR46②ARMA(p,q)的性质ARMA(p,q)兼有AR(p)和ARMA(q)的性质平稳条件：与AR(p)相同ARMA(1,1)平稳条件②ARMA(p,q)的性质ARMA(p,q)兼有AR(p47ARMA(1,1)的自相关函数自协方差函数ARMA(1,1)的自相关函数自协方差函数48ARMA(1,1)的自相关函数ARMA(p,q)的自相关函数与AR(p)一样，具有拖尾性ARMA(1,1)的自相关函数ARMA(p,q)的自相关函数49③滞后算子形式③滞后算子形式50性质总结模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相关函数拖尾截尾拖尾偏自相关函数截尾拖尾拖尾平稳的条件特征根在单位圆外无条件平稳特征根在单位圆外可逆的条件无条件可逆特征根在单位圆外特征根在单位圆外性质总结模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相关拖尾51三.时间序列模型的估计和预测模型识别与参数估计时间序列预测三.时间序列模型的估计和预测模型识别与参数估计521.模型识别与参数估计模型识别参数估计阶数的确定模型检验1.模型识别与参数估计模型识别53模型识别参数估计模型检验确定模型具体形式判断模型是否可取是否模型识别参数估计模型检验确定模型具体形式判断模型是否可取是否54(1)模型识别自相关函数截尾——MA(q)自相关函数拖尾偏自相关函数截尾——AR(p)偏自相关函数拖尾——ARMA(p,q)(1)模型识别自相关函数截尾——MA(q)55(2)模型参数估计AR(p)的最小二乘估计ARMA(p,q)的最小二乘估计(2)模型参数估计AR(p)的最小二乘估计56①AR(p)的最小二乘估计普通最小二乘法①AR(p)的最小二乘估计普通最小二乘法57②ARMA(p,q)的最小二乘估计非线性最小二乘估计②ARMA(p,q)的最小二乘估计非线性最小二乘估计58(3)模型阶数的确定——MA(q)或AR(p)自相关函数的截尾偏自相关函数的截尾(3)模型阶数的确定——MA(q)或AR(p)59模型阶数的确定——ARMA(p,q)AIC准则(Akaikeinfocriterion) 选择使AIC最小的(p,q)组合模型阶数的确定——ARMA(p,q)AIC准则(Aka60(4)模型的检验目的与标准：残差项是否为白噪声序列K是自相关函数的个数(4)模型的检验目的与标准：残差项是否为白噪声序列K是自相612.时间序列模型预测AR(1)2.时间序列模型预测AR(1)62时间序列模型预测MA(1)时间序列模型预测MA(1)63时间序列模型预测ARMA(1,1)时间序列模型预测ARMA(1,1)64四.非平稳时间序列与协整单整虚假回归协整误差修正模型四.非平稳时间序列与协整单整65非平稳时间序列举例随机游走随机游走序列的方差无穷大非平稳时间序列举例随机游走66(1)单整差分：用变量的当期值减去其滞后值而得到新序列的方法单整：若一个非平稳的时间序列必须经过d次差分之后才能变换成一个平稳的ARMA时间序列，则称具有d阶单整性。记作单整性也称齐次非平稳性(1)单整差分：用变量的当期值减去其滞后值而得到新67单整自回归移动平均模型随机时间序列经过d次差分后变换成一个p阶自回归、q阶移动平均的平稳序列，则称为单整自回归移动平均序列，记作ARIMA(p,d,q)也称为d阶齐次非平稳时间序列，求和自回归移动平均序列，或综合自回归移动平均序列，或单积自回归移动平均序列单整自回归移动平均模型随机时间序列经过d次差分后68(2)虚假回归两个相互独立的非平稳序列，如对和的一个现实，作如下一元线性回归：和相互独立，因此应该有但如果假设检验的结果是，即T检验显著，这就是虚假回归问题。(2)虚假回归两个相互独立的非平稳序列，如69虚假回归的原因当两个相互独立的I(1)序列进行回归时，回归系数的t统计量不服从通常意义的t分布，而是发散的（服从维纳Wiener过程函数分布）051015-15-10-5t分布虚假回归的原因当两个相互独立的I(1)序列进行回归时，回归系70(3)协整若时间序列一般来说，若但如果的单整阶数小于d，则称和存在协整关系(3)协整若时间序列71协整的经济含义是什么？协整是对非平稳的经济变量长期均衡关系的统计描述均衡是一种状态，当一个经济系统达到均衡时将不存在破坏均衡的内在机制当系统偏离均衡点时，平均来说，系统将在下一期移向均衡点协整的经济含义是什么？协整是对非平稳的经济变量长期均衡关系的72(4)误差修正模型短期波动误差修正项，反映y和z的长期均衡关系(4)误差修正模型短期波动误差修正项，反映y和z的长期均衡关73时间序列分析入门时间序列分析入门74主要内容确定性时间序列模型随机时间序列模型及其性质时间序列模型的估计和预测主要内容确定性时间序列模型75一.确定性时间序列模型时间序列：各种社会、经济、自然现象的数量指标按照时间次序排列起来的统计数据时间序列分析模型：解释时间序列自身的变化规律和相互联系的数学表达式一.确定性时间序列模型时间序列：各种社会、经济、自然现象76确定性时间序列模型滑动平均模型加权滑动平均模型二次滑动平均模型指数平滑模型确定性时间序列模型滑动平均模型77(1)滑动平均模型作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并用于预测趋势(1)滑动平均模型作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并78(2)加权滑动平均模型作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势预测更准确其中(2)加权滑动平均模型作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化79(3)二次滑动平均模型对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均(3)二次滑动平均模型对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑80(4)指数平滑模型平滑常数本期预测值是前期实际值和预测值的加权和(4)指数平滑模型平滑常数本期预测值是前期实际值和预测值的81二.随机时间序列模型及其性质随机时间序列平稳时间序列随机时间序列模型二.随机时间序列模型及其性质随机时间序列821.随机时间序列随机过程与随机序列时间序列的性质1.随机时间序列随机过程与随机序列83(1)随机过程与随机序列(1)随机过程与随机序列84随机序列的现实对于一个随机序列，一般只能通过记录或统计得到一个它的样本序列x1,x2,···,xn，称它为随机序列{xt}的一个现实随机序列的现实是一族非随机的普通数列随机序列的现实对于一个随机序列，一般只能通过记录或统计得到一85(2)时间序列的统计性质(特征量)均值函数：某个时刻t的性质(2)时间序列的统计性质(特征量)均值函数：某个时刻t的性86时间序列的统计性质自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质时间序列的统计性质自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质87时间序列的统计性质自相关函数时间序列的统计性质自相关函数882.平稳时间序列所谓平稳时间序列是指时间序列{xt,t=0,±1,±2,···}对任意整数t，，且满足以下条件：对任意t，均值恒为常数

对任意整数t和k，r

t,t+k只和k有关随机序列的特征量随时间而变化，称为非平稳序列2.平稳时间序列所谓平稳时间序列是指时间序列89txttxttxttxt90平稳序列的特性方差自相关函数：平稳序列的特性方差91自相关函数的估计自相关函数的估计92平稳序列的判断kρkkρ

k0011平稳序列的自相关函数非平稳序列的自相关函数迅速下降到零缓慢下降平稳序列的判断kρkkρk0011平稳序列的自相关函数非平93一类特殊的平稳序列

——白噪声序列随机序列{xt}对任何xt和xt都不相关，且均值为零，方差为有限常数正态白噪声序列：白噪声序列，且服从正态分布一类特殊的平稳序列

——白噪声序943.随机时间序列模型自回归模型（AR）移动平均模型（MA）自回归—移动平均模型（ARMA）3.随机时间序列模型自回归模型（AR）95(1)自回归模型及其性质定义平稳条件自相关函数偏自相关函数滞后算子形式(1)自回归模型及其性质定义96①自回归模型的定义描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列值之间的相互关系随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk（k<t）不相关，称为p阶自回归模型，记为AR(p)①自回归模型的定义描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序97②(一阶)自回归序列平稳的条件是否平稳？均值为零？方差为有限常数？自协方差与t无关？②(一阶)自回归序列平稳的条件是否平稳？均值为零？98AR(1)平稳的条件均值方差成立满足这两个条件成立AR(1)平稳的条件成立满足这两个条件成立99AR(1)平稳的条件自协方差仅与k有关，与t无关结论：时，一阶自回归序列渐进平稳AR(1)平稳的条件自协方差仅与k有关，与t无关结论：100③AR(p)的自相关函数自协方差函数自相关函数两边同除以r0③AR(p)的自相关函数自协方差函数两边同除以r0101AR(p)的自相关函数耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程AR(p)的自相关函数耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)102例：求AR(1)的自相关函数例：求AR(1)的自相关函数103例：AR(2)的自相关函数取k=1取k=2取k=3例：AR(2)的自相关函数取k=1取k=2取k=3104AR(p)自相关函数的拖尾性对AR(p)模型，其自相关函数不能在某一步之后为零（截尾），而是按指数衰减，称其具有拖尾性AR(p)自相关函数的拖尾性对AR(p)模型，其自相关函数105举例10ρkk举例10ρkk106的序列tyt20的序列tyt20107④偏自相关函数耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程AR(p)的偏自相关函数具有截尾性④偏自相关函数耶尔-瓦克尔(Yule-Walker)方程A108⑤AR(p)的滞后算子形式引进滞后算子B：一般有：AR(p)记或⑤AR(p)的滞后算子形式引进滞后算子B：AR(p)记或109(2)移动平均模型及其性质定义自相关函数滞后算子形式(2)移动平均模型及其性质定义110①移动平均模型的定义在序列{xt}中，xt表示为若干个白噪声的加权平均和其中{εt}是白噪声序列，这样的模型称为q阶移动平均模型，计为MA(q)①移动平均模型的定义在序列{xt}中，xt表示为若干个白111②MA(1)的自相关函数②MA(1)的自相关函数112MA(q)的自相关函数k=0k=1,2,···,qk>qMA(q)的自相关函数k=0k=1,2,···,qk>q113举例10ρkk0.5123举例10ρkk0.5123114的序列yt-1135t的序列yt-1135t115③滞后算子形式其中③滞后算子形式其中116AR(p)与MR(q)的比较AR(1)MR(1)AR(p)与MR(q)的比较AR(1)MR(1)117(3)自回归移动平均模型定义性质滞后算子形式(3)自回归移动平均模型定义118①自回归移动平均模型自回归模型与移动平均模型的综合计为ARMA(p,q)①自回归移动平均模型自回归模型与移动平均模型的综合计为AR119②ARMA(p,q)的性质ARMA(p,q)兼有AR(p)和ARMA(q)的性质平稳条件：与AR(p)相同ARMA(1,1)平稳条件②ARMA(p,q)的性质ARMA(p,q)兼有AR(p120ARMA(1,1)的自相关函数自协方差函数ARMA(1,1)的自相关函数自协方差函数121ARMA(1,1)的自相关函数ARMA(p,q)的自相关函数与AR(p)一样，具有拖尾性ARMA(1,1)的自相关函数ARMA(p,q)的自相关函数122③滞后算子形式③滞后算子形式123性质总结模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相关函数拖尾截尾拖尾偏自相关函数截尾拖尾拖尾平稳的条件特征根在单位圆外无条件平稳特征根在单位圆外可逆的条件无条件可逆特征根在单位圆外特征根在单位圆外性质总结模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相关拖尾124三.时间序列模型的估计和预测模型识别与参数估计时间序列预测三.时间序列模型的估计和预测模型识别与参数估计1251.模型识别与参数估计模型识别参数估计阶数的确定模型检验1.模型识别与参数估计模型识别126模型识别参数估计模型检验确定模型具体形式判断模型是否可取是否模型识别参数估计模型检验确定模型具体形式判断模型是否可取是否127(1)模型识别自相关函数截尾——MA(q)自相关函数拖尾偏自相关函数截尾——AR(p)偏自相关函数拖尾——ARMA(p,q)(1)模型识别自相关函数截尾——MA(q)128(2)模型参数估计AR(p)的最小二乘估计ARMA(p,q)的最小二乘估计(2)模型参数估计AR(p)的最小二乘估计129①AR(p)的最小二乘估计普通最小二乘法①AR(p)的最小二乘估计普通最小二乘法130②ARMA(p,q)的最小二乘估计非线性最小二乘估计②ARMA(p,q)的最小二乘估计非线性最小二乘估计131(3)模型阶数的确定——MA(q)或AR(p)自相关函数的截尾偏自相关函数的截尾(3)模型阶数的确定——MA(q)或AR(p)132模型阶数的确定——ARMA(p,q)AIC准则(Akaikeinfocriterion) 选择使AIC最小的(p,q)组合模型阶数的确定——ARMA(p,q)AIC准则(Aka133(4)模型的检验目的与标准：残差项是否为白噪声序列K是自相关函数的个数(4)模型的检验目的与标准：残差项是否为白噪声序列K是自相1342.时间序列模型预测AR(1)2.时间序列模型预测AR(1)