九年级数学中考总复习【知识精讲+备课精研】平行四边形的存在性

题型三平行四边形的存在性问题解题策略

以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强。

这类题，一般有两个类型：

（1）“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题：

以A，B，C三点为顶点的平行四边形构造方法有：作平行线：如图，连结AB，BC，AC，分别过点A，B，C作其对边的平行线，三条直线的交点为D，E，F．则四边形ABCD，ACBE，ABFC均为平行四边形．②倍长中线：如图，延长边AC，AB，BC上的中线，使延长部分与中线相等，得点D，E，F，连结DE，EF，FD．则四边形ABCD，ACBE，ABFC均为平行四边形．（2）“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题：

先确定其中一个动点的位置，转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题，再构造平行四边形．注意：解平行四边形存在性问题，无论是以上哪种类型，若没有指定四边形顶点顺序，都需要分类讨论．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．计算小技巧：根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．◆例题1.

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．(-3,0)(0,3)(-1,4)由于A(－3,0)C(0,3)所以P(－1,4)D1(2,7)D2(-4,1)D3(-2,-1)用坐标平移的方法，比用解析式构造方程组求交点方便多了。(1,0)三定一动：作平行◆小试牛刀：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A（3，0），B（0，﹣3），P是直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的表达式；解：（1）将点A，B的坐标代入抛物线的表达式，得y＝x2－2x＋3．设直线AB的表达式为y＝kx＋b，将点A，B的坐标代入，得y＝x－3．（2）存在．因为PM∥OB，所以当PM＝OB时，四边形即为平行四边形．设点P的坐标为（p，p－3），则点M的坐标为（p，p2－2p－3）．所以解得：故满足条件的点P的横坐标为（2）是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．◆例题2.

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．(-1,0)(3,0)◆例题2.

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．(-1,0)(3,0)①当AB是平行四边形的对角线时M的横坐标为2．此时M(2，3)②当AB是平行四边形的边时PM//AB，PM＝AB＝4以点M的横坐标为4或－4M(4,－5)或(－4,－21)两定两动：定边作一边或作对角线◆小试牛刀：如图，抛物线

y=x2+bx+c的顶点为D（－1，－4），与y轴交于点C（0，－3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．解

（1）将点C，D的坐标代入抛物线的表达式，

得y=x2+2x-3.（2）存在．

令x2+2x-3=0，解得x1=1，x2=-3。所以点A的坐标为（－3，0），B的坐标为（1，0）．由点F在抛物线上，设点F的坐标为

（m,m2+2m-3）两定两动：定边作一边或作对角线方法一：①如图1、图2，当AC为平行四边形的边时，过点F作FP垂直于抛物线的对称轴，垂足为P．易证△PEF≌△OCA．所以PF＝AO＝3，从而点F的坐标为（2，5）或（－4，5）．总结：②如图3，当AC为平行四边形的对角线时，过点F作FP⊥y轴于点P．令抛物线的对称轴交x轴于点Q，易证△PCF≌△QEA．所以PF＝AQ＝2，从而点F的坐标为（－2，－3），此时点F与点C纵坐标相同，所以点E在x轴上．◆试一试

如图，已知抛物线与x轴的负半轴交于点C，点E的坐标为(0,－3)，点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M、N，使得以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(-4,0)

◆试一试

如图，已知抛物线与x轴的负半轴交于点C，点E的坐标为(0,－3)，点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M、N，使得以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(-4,0)

以CE为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：

①当CE为平行四边形的边时

C、E两点间的水平距离为4M的横坐标为－6或2M、N两点间的水平距离也为4将x＝-6和x＝2分别代入抛物线的解析式，得M(-6,16)或(2,16)(-4,0)

②当CE为平行四边形的对角线时

M为抛物线的顶点只讨论已知线段的水平距离◆试一试

如图，已知抛物线与x轴的负半轴交于点C，点E的坐标为(0,－3)，点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M、N，使得以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．◆练1：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．经过点A的直线l：y＝ax＋a与抛物线的另一交点为C，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，那么以点A，C，P，Q为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P的坐标;若不能，请说明理由．◆练1：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．经过点A的直线l：y＝ax＋a与抛物线的另一交点为C，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，那么以点A，C，P，Q为顶点是四边形能否成为矩形?若能，求出点P的坐标;若不能，请说明理由．解：以点A，C，P，Q为都顶点的四边形能成为矩形．令ax2－2a－3a＝ax＋a．解得x1＝－1，x2＝4，所以点A的坐标为（－1，0），C的坐标为（4，5a）因为y＝ax2－2ax－3a，所以抛物线的对称轴为x＝1．则xP＝1．①若AC是矩形的一条边，如图，则xA＋xP＝xC＋xQ，可得xQ＝－4，从而点Q坐标为（－4，21a）．同样yA＋yP＝yC＋yQ，可得yP＝26a，从而点P坐标为（1，26a）．因为AC＝PQ，所以有22＋（26a）2＝82＋（16a）2，解得此时点P的坐标为（1，）②若AC是矩形的一条对角线，如图．则xA＋xC＝xP＋xQ，可得xQ＝2，从而点Q坐标为（2，－3a）．同样yA＋yC＝yP＋yQ，可得yP＝8a，从而点P坐标为（1，8a）．因为AC＝PQ，所以有52＋（5a）2＝12＋（11a）2，算得所以此时点P的坐标为（1，－4）◆练2.

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．(4,0)O、A是确定的，以线段OA为分类标准(0,4)◆练2.

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．(4,0)O、A是确定的，以线段OA为分类标准①OA是菱形的对角线时点C在OA的垂直平分线上C(2,2)D(2,－2)②OA是菱形的边时O为圆心，D的坐标为(4,4)以A为圆心(0,4)◆练3.交于A、B两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．以AD为分类标准，分两种情况讨论：

①如果AD为矩形的边

AD//QP，AD＝QP,邻边相互垂直(-1,0)

(3,0)

(4,5a)

(1,？)

A、D两点间的水平距离为5所以点Q的横坐标为－4或6(舍去)Q(－4,21a)A、D两点间的竖直距离为－5aP的纵坐标为26a所以P(1,26a)AP2＝QD222＋(26a)2＝82＋(16a)2整理，得7a2＝1②如果AD为矩形的对角线

AP//QD，AP＝QD(-1,0)

(3,0)

(4,5a)

(1,？)

由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1,8a)AD2＝PQ252＋(5a)2＝12＋(11a)2整理，得4a2＝1◆练3.交于A、B两