五年(2018-2022)全国高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题20立体几何多选、填空(含详解)

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题20立体几何多选、填空一、多选题（2022新高考全国II卷•第11题）如图，四边形ABC。为正方形，ED_L平面ABC。，FB//ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,R—ACE的体积分别为乂，匕，匕，则（2022新高考全国I卷•第9题）已知正方体ABC。-A4CQ,贝U（ ）A.直线与。A所成的角为90°B.直线BG与CA所成的角为90。C.直线BG与平面所成角为45°D.直线与平面A8CD所成的角为45°（2021年新高考全国II卷•笫10题）如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为

（2021年新高考I卷•第12题）在正三棱柱ABC-A4cl中，48=9=1,点尸满足以巨=22右+〃万瓦,其中 //e[0,l],则 （）A.当；1=1时，△ABJ的周长为定值B.当〃=1时，三棱锥P-A8C的体积为定值C.当；1=：时，有且仅有一个点P,使得D.当〃时，有且仅有一个点P,使得A8J_平面A8J二、填空题（2021年高考全国甲卷文科•第14题）已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30乃则该圆锥的侧面积为.（2021年全国高考乙卷文科•第16题）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.图，在棱长为2正方体ABC。一A瓦£2中，E为棱8c的中点，F为棱CD的中点.⑴⑴求证：。尸//平面AEC1；（II）求直线AG与平面AEG所成角的正弦值.（川）求二面角A-AG-E的正弦值.（2020年高考课标n卷文科•第16题）设有下列四个命题：Pi：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.P4：若直线/u平面a,直线m_L平面a,则m_L/则下述命题中所有真命题的序号是.①PlAP4②P|AP?③-1P2VP3④V（2020年高考课标m卷文科•第16题）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.（2020年新高考全国I卷（山东）•第16题）已知直四棱柱A8CD-4&GD1的棱长均为2,NBAD=60。.以D,为球心，75为半径的球面与侧面BCGBi的交线长为.（2020年新高考全国1卷（山东）•第15题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧A8所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，8是圆弧A8与直, 3线8c的切点，四边形DEFG为矩形，BCLDG,垂足为C,tanZODC=-,BH//DG,£F=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为lcm,则图中阴影部分的面积为

（2020年新高考全国卷n数学（海南）•第16题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧A8所在圆的圆心，A是圆弧A8与直线AG的切点，8是圆弧A8与宜3线8c的切点，四边形DEFG为矩形，8cLDG,垂足为C,tanZODC=-,BH//DG.EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为lcm,则图中阴影部分的面积为cm2.（2020年新高考全国卷I［数学（海南）•第13题）已知正方体A8CD-481GD1的棱长为2,M、N分别为88i、AB的中点，则三棱锥4NM5的体积为14.（2020天津高考•第15题）如图，在四边形A8CO中，ZB=60°,AB=3,BC=6,且则丽'•丽的最小值为一AD=ABC,ADAB=~,则实数4的值为,若是线段8C上的动点，且|则丽'•丽的最小值为一（2020江苏高考•第9题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半轻为0.5cm,则此六

角螺帽毛坯的体积是—cm.角螺帽毛坯的体积是—cm..（2019年高考天津文•第12题）已知四棱锥的底面是边长为3的正方形，侧棱长均为石.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为•.（2019年高考全国III文•第15题）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体A8CD-481GD1挖去四棱锥。一EFGH后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,例=4cm.3D打印所用的原料密度为0.9g/crr?,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g..（2019年高考全国H文•第16题）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是"半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.（本题第一空2分，第二空3分.）图1图219图1图219.（2019年高考全国I文•第16题）己知ZACB=90P,尸为平面ABC外一点，PC=2,点P到NACB两边AC,3c的距离均为公，那么P到平面ABC的距离为.20.（2019年高考江苏•第9题）如图，长方体ABCD-A4CQ的体积是120,E是的中点，则三棱椎E-BCD的体积是.7EC（2019年高考北京文•第13题）已知/,m是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：①②mlla；③/J_a.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正

确的命题：.（2019年高考北京文•第12题）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为..（2018年高考数学江苏卷•第10题）如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（第10题）24.（2018年高考数学天津（文）•第11题）如图，已知正方体ABC。—的棱长为1,则四棱锥A-BBRD的体积为.25.（2018年高考数学课标II卷（文）•第16题）已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°,若的面积为8,则该圆锥的体积为—

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编专题20立体几何多选、填空一、多选题L（2022新高考全国II卷♦第11题）如图，四边形A8CD为正方形，EDI,平面A8CD,FB//ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E—ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为乂,匕，匕，则（）（）A.匕=2匕 B.匕=用C.匕=匕+匕 D,2匕=3四【答案】CD解析：设AB=E。=2EB=2a,因为ED,平面ABC。，FB\\ED,则K=g.即・山8=：2。,（2。）2=\。3,《连接3。交AC于点M,连接,易得8。LAC,又匹，平面ABCD,ACu平面ABCD,则£D，AC,又也＞。5。=。，ED,BDu平面BDEF,则AC平面BDEF，又BM=DM=、BD=^a,过F作FG工DE于G,易得四边形BDGF为2

矩形，则FG=8O=2缶,EG=a,则EM=J（2a）2+（缶J=#a,FM='/+（缶丫=耳，EF=.+（2岳丫=3a，1 3/?EM2+FM2=EF2^则EW_LfM，ShEFM=-EMFM=^~a2.AC=2叵a，则匕=匕一”“+匕一EFM=gACS.EFM=2^,则2匕=3匕，匕=3匕，匕=乂+匕，故A、B错误；C、D正确. 故选：CD.【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积'空间几何体的体积【题目来源】2022新高考全国II卷•第11题2.（2022新高考全国I卷•第9题）已知正方体ABC。-A4GA,贝lj（）A.直线BG与0A所成的角为90°B.直线BG与CA所成的角为90。C.直线BG与平面BBQO所成角为45°D.直线BG与平面A8CD所成的角为45°【答案】ABD解析：如图，连接用。、BClt因为。4//月。，所以直线BG与耳。所成的角即为直线BG与。4所AgJ.BC1,成的角，因为四边形85CC为正方形，则8c_LBG，故直线8G与0A所成的角为90。，AgJ.BC1,连接AC，因为4月，平面B8CC，8&<=平面8瓦。。，则因为片C_L8G，A181nBic=用，所以8C|_L平面A^C,又A,Cu平面A&C,所以BG~LCA，故B正确；连接AC],设4。|口与。]=。，连接8。，因为8月_L平面ABCR,C,Ou平面A^^D,,则C,O1B.B,因为CQ1BQ】,BRcB,B=瓦,所以C0J,平面88aO,

所以"BO为直线BC,与平面所成的角,设正方体棱长为1,则60=巫，BC1=y[i,sinZC,BO=1^=1.2 与Jz所以，直线8G与平面8瓦2。所成的角为30。，故C错误；因为£C_L平面ABCZ）,所以NG8C为直线8G与平面ABC。所成的角，易得NG8C=45。，故D正确. 故选：ABD【题目栏目】立体几何'空间角'直线与平面所成的角【题目来源】2022新高考全国I卷•第9题（2021年新高考全国H卷•第10题）如图，在正方体中，。为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点.则满足的是（）N【答案】BC解析:设正方体的棱长为正方体的顶点.则满足的是（）N【答案】BC解析:设正方体的棱长为2,对于A,如图⑴所示,连接AC,则MN〃AC,故ZPOC故ZPOC（或其补角）为异面直线OP,MN所成的角,在直角三角形OPC,OC=x/2.CP=l,故tanNPOC=，故tanNPOC=，故MNLQP不成立，故A错误.对于B,如图（2）所示，取NT的中点为Q,连接P。，OQ,则OQ_LNT,PQ1MN,由正方体SBCM-NADT可得SN_L平面ANDT，而OQu平面ANDT,故SNLOQ,而SN^MN=N,故。。_1_平面5?侬，又MZVu平面SN7M,OQ1MN,而0。0尸。=。，所以MN_L平面。PQ,而POu平面OPQ,故MNLOP,故B正确.图⑶图（2）故OP_LMN,图⑶图（2）故OP_LMN,故C正确.对于C,如图⑶，连接8£）,则由B的判断可得OPLBD,对于D,如图（4）,取4）的中点Q,的中点K,连接AC,PQ,OQ,PK,OK,贝IJAC7/MV,因为OP=PC,故PQ//AC,故PQMMN,所以NQP。或其补角为异面直线尸QMN所成的角,MAKB图（4）因为正方体的棱长为2,故PQ=；AC=J5,OQ=yjAO2+AQ1=71+2=73.po=4pk、ok2="Ti=石，qo2<pq2+op2,故nqpo不是直角，故pomv不垂直，故d错误.故选BC【题目栏目】立体几何'空间点、直线、平面之间的位置关系'空间中点线面的位置关系【题目来源】2021年新高考全国n卷•第10题（2021年新高考I卷•第12题）在正三棱柱ABC-A4G中，A8=A4,=1，点尸满足而=2而+〃西，其中；则 （）A.当；1=1时，的周长为定值B.当〃=1时，三棱锥P-A8C的体积为定值C.当2=g时，有且仅有一个点尸，使得A尸，8尸D.当〃=g时，有且仅有一个点P,使得平面A4P【答案】BD易知，点P在矩形8CG4内部（含边界）.对于A,当2=1时，BP=BC+fjBB^=BC+^Cq,即此时Pe线段CQ,ZXA4?周长不是定值，故A错误；对于B,当〃=1时，丽=义比+函=瓯+义相，故此时p点轨迹为线段4G,而B、G〃BC,AG〃平面A8C,则有尸到平面A8C的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.对于C,当马时，丽=轲+画,取BC,8c中点分别为。，H,则丽=丽+〃丽，所以p点轨迹为线段。4,不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A*Q1］，尸（0，°，"），则A2=［-李所以〃=。或〃=1.故〃，。均满足，故C错误；对于D,当〃=；时，B$BC+gBB；,取幽，CG中点为M,N.BP=BM+AMN，所以尸点轨迹为线段MN.设P（0,为，；），因为A与0，。］，所以丽=-y1.v,,，1,“=［岑；，-1），所31 1 1以1+2%-彳=0=>%=-5，此时尸与N重合，故D正确，故选BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【题目栏目】立体几何'空间向量及其运算'空间向量的运算【题目来源】2021年新高考I卷•第12题

二、填空题5.（2021年高考全国甲卷文科•第14题）已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30万则该圆锥的侧面积为.【答案】39万19解析：VV=-^62A=30^3,5••h——2I=I=13=nrl=4x6x万=394.故答案为：39%.故答案为：39%.体的体积【题目来源】2021年高考全国甲卷文科•第14题6.（2021年全国高考乙卷文科•第16题）以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和（写出符合要求的一俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为

（写出符合要求的一解析：选择侧视图为③，俯视图为④,如图所示，长方体Abe。—A4GQ中，解析：选择侧视图为③，俯视图为④,如图所示，长方体Abe。—A4GQ中，AB=BC=2,BBi=\,E,尸分别为棱BQ],BC的中点，则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥£一皿匚故答案为：③④.【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.【题目栏目】立体几何、空间几何体的结构特征及其直观图、三视图'空间几何体的三视图【题目来源】2021年全国高考乙卷文科•第16题7.（2021高考天津•第17题）如图，在棱长为2正方体ABC。一4四£。中，E为棱8c的中点，F为棱CD的中点.⑴求证：⑴求证：。，//平面AE£（ID求直线AG与平面AEG所成角的正弦值.（川）求二面角A-AG-E的正弦值.【答案】⑴证明见解析；（II）也；（III）.9 3解析：⑴以A为原点，ARADAA,分别为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系，则A（0,0,0）,A（0，。，2）,5（2,0,0）,C（2,2,0）,0（0,2,0）,C1（2,2,2）,"（0,2,2）,因为E为棱bc的中点,F为棱cd的中点，所以E（2』,0）,F（1,2,0）,所以麻=（1,0,-2）,而=（2,2,0）,4E=（2,l,-2）,设平面的一个法向量为而=（内,X,zj,则,令再=2,则m=（2,—2,1）,加•AE=2%[+y-2Z]=0因为方•记=2—2=0,所以即_L浣，因为。尸0平面AEC，所以。尸//平面A^C；（II）由⑴得，福=（2,2,2）,设直线AG与平面AEG所成角为，，则sin6=Icos（m,离）|=m：AC'=-^-==3；।“同阳3x269，（III）由正方体的特征可得，平面AAG的一个法向量为丽=（2,-2,0）,

/-DBm8 2V2则叫四止的二荻7r亍，所以二面角所以二面角A-A6-E的正弦值为Jl-cos2（函行）=1.【题目来源】2021【题目来源】2021高考天津•第17题8.（2020年高考课标II卷文科•第16题）设有下列四个命题:Pi:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.P4：若直线/u平面a,直线m_L平面a,则m_L/则下述命题中所有真命题的序号是.①PlAP4②PlAP2③W2VP3④V「P4【答案】①③④【解析】对于命题P1,可设4与4相交，这两条直线确定的平面为a；若4与4相交，则交点A在平面a内，同理，&同理，&与4的交点B也在平面a内,所以，ABua,即gua,命题p1为真命题:对于命题，2,若三点共线，则过这三个点的平面有无数个,命题Pl为假命题；对于命题生，空间中两条直线相交、平行或异面，命题〃3为假命题；对于命题小，若直线”_L平面a,则加垂直于平面a内所有直线，•••直线/u平面a,.•.直线机J_直线/,命题Pi为真命题.综上可知，马，r为真命题，%,乃为假命题，，1八。4为真命题，21人。2为假命题，rP2Vp3为真命题，—V—104为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.【题目栏目】立体几何'空间点、直线、平面之间的位置关系'空间中点线面的位置关系【题目来源】2020年高考课标II卷文科•第16题（2020年高考课标H1卷文科•第16题）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.【答案】也乃3【解析】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中8C=2,A8=AC=3,且点M为8c边上的中点，设内切圆的圆心为。，A由于AM=J??—F=2>/5，故S△业=万*2x2a=2应，设内切圆半径为r,则：S^abc=SAaob+ +§△hoc=/'A8x〃+5x8Cx〃+耳xACxr=^x（3+3+2）xr=25/2,解得：r=X2,其体积：V=土兀户=立■兀.2 3 3故答案为：见*3【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.【题目栏目】立体几何'球的问题'球的其它问题【题目来源】2020年高考课标in卷文科•第16题（2020年新高考全国【卷（山东）•第16题）已知直四棱柱A8CD-481GD1的棱长均为2,N8AD=60。.以R为球心，乐为半径的球面与侧面BCCiBi的交线长为.取用G的中点为E,6月的中点为尸，CG的中点为G,因为N3A£>=60。，直四棱柱A8CO—A4GA的棱长均为2,所以△A4G为等边三角形，所以=\/3，D}E1.B[C\,又四棱柱ABC。-为直四棱柱，所以84，平面A,旦GA,所以与G，因为8月0月。]=3],所以AE_L侧面4GC5,设P为侧面与GC8与球面的交线上的点，则D.E1EP,因为球的半径为石，D]E=6,所以|EP|=J|Of12TAe『==§=&，所以侧面耳GCB与球面的交线上的点到E的距离为0,因为|EE|=|EG|=&,所以侧面B©CB与球面的交线是扇形EFG的弧FG，7[ 71因为NB]EF=NGEG=a，所以NEEGu,,所以根据弧长公式可得FG=-xV2=也乃2 2【题目栏目】立体几何'空间距离【题目来源】2020年新高考全国I卷（山东）•第16题（2020年新高考全国I卷（山东）•第15题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧A8所在圆的圆心，A是圆弧48与直线AG的切点，8是圆弧A8与直3线8C的切点，四边形DEFG为矩形，BC1DG,垂足为C,tanZODC=-,BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为lcm,则图中阴影部分的面积为【答案】4+*乃2解析：设O8=Q4=r,由题意AM=AN=7,EF=12,所以N/=5,因为AP=5,所以NAGP=45°，因为BH//DG,所以NAHO=45°，因为AG与圆弧A3相切于A点，所以。A_LAG,即△OA/7为等腰直角三角形：在直角ZXOQ。中，。。=5r，£）0=7-—r-

因为tan/OOC因为tan/OOC=^=彳，所以21—逑「二25一逑解得r=2>/2；等腰直角△04”的面积为E=-x2>/2x2V2=4；2137c/ 2扇形AOB的面积82=5乂7「、（2&）=3%,1 51所以阴影部分的面积为$+52-耳左=4+万.故答案为:故答案为:【题目栏目】立体几何'简单几何体的表面积和体积'空间几何体的表面积【题目来源】2020年新高考全国I卷（山东）•第15题（2020年新高考全国卷H数学（海南）•第16题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧A8所在圆的圆心，A是圆弧A8与直线AG的切点，8是圆弧A8与直3线BC的切点，四边形DEFG为矩形，8CJ_DG,垂足为C,tanZODC=-,BHUDG,EF=12cm,DE=2cm,cm2.cm2.因为AP=5,所以NAGP=45°，因为BH/1DG,所以NA”O=45°，因为AG与圆弧A8相切于A点，所以。4_LAG,即△OAH为等腰直角三角形；TOC\o"1-5"\h\z在直角ZX。。。中，OQ=5一显r，OQ=7-也r，因为tanNOOC=段=[,所以2 2 DQ53>/2供5>/221 r=25 r»2 2解得r=2>/2；等腰直角△Q4/7的面积为S,=-x2>/2x2>/2=4；2137r/ 2扇形AOB的面积S?=5X7x（212）=3%,1 57r所以阴影部分的面积为，+52-耳左=4+万.故答案为：4H .2Q" ’【题目栏目】立体几何'简单几何体的表面积和体积'空间几何体的表面积【题目来源】2020年新高考全国卷II数学（海南）•第16题（2020年新高考全国卷H数学（海南）•第13题）已知正方体A8CCM181c0的棱长为2,M、N分别为BBi,A8的中点，则三棱锥A-NMDi的体积为【答案】-3解析：因为正方体48CD-481GD1的棱长为2,M.N分别为881、48的中点所以匕-Ng = =T

故答案为：I【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积'空间几何体的体积【题目来源】2020年新高考全国卷II数学（海南）•第13题（2020天津高考•第15题）如图，在四边形中，ZB=60\A8=3,BC=6,且AD=ABC,ADAB=--,则实数4的值为,若M,N是线段上的动点，且|丽上1,则的最小值为【答案】则的最小值为【答案】【答案】 （1）.76【解析】・.・4【解析】・.・4方=；13C，..AD//BC,/.ZBAD=180-ZB=120，ABAD=2BCAB=2|bc||ab|cos120=2x6x3x3-9A=-1,解得2以点8为坐标原点，3C所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系八⑥y,・•・•・A的坐标为132132,设M（x,0）,则N（x+l,0）（其中0Wx<5）,13+一,

213 1所以，当x=2时，丽・丽取得最小值了.故答案为：-三、解答题【题目栏目】立体几何'线面、面面垂直的判定与性质'线线垂直的问题【题目来源】2020天津高考•第15题（2020江苏高考•第9题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半轻为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是【答案】【答案】126-g2【解析】正六棱柱体积为6x正*2晨2=12百，圆柱体积为万（》2-2=1所求几何体体积为故答案为：12x/3-1【题目栏目】立体几何'简单几何体的表面积和体积'空间几何体的体积【题目来源】2020江苏高考•第9题（2019年高考天津文•第12题）已知四棱锥的底面是边长为3的正方形，侧棱长均为右.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.【答案】【答案】t【思路分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可.【解析】：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2,且垂直相交平分，由勾股定理得：正四棱锥的高为2,由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1,即半径等于g;由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1.则该圆柱的体积为：v=s〃=H；）2xl=7；故答案为?【归纳与总结】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题.【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积'空间几何体的体积【题目来源】2019年高考天津文•第12题（2019年高考全国III文•第15题）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体A8CD-4B1GD1挖去四棱锥。一EFGH后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,=4cm.3D打印所用的原料密度为0.9g/crr^,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.

【答案】【答案】118.8【解析】该模型为长方体ABC。-AAGA，挖去四棱锥。-E/「G〃后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,尸，G,H,分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A4,=4cw,..该模型体积为VyABCD-^CyDy-VO_EFCH=6x6x4-gx(4x6-4xgx3x2)x3=144-12=1VyABCD-^CyDy•••3。打印所用原料密度为0.9g/5?,不考虑打印损耗,..制作该模型所需原料的质量为：132x0.9=118.8（g）.故答案为：118.8.【题目栏目】立体几何\简单几何体的表面积和体积'空间几何体的体积【题目来源】2019年高考全国III文•第15题（2019年高考全国H文•第16题）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是"半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为.（本题第一空2分，第二空3分.）图1 图2 【答案】【答案】26,V2-1【解析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18+8=26个面.解法一：如图，设该半正多面体的棱长为X,则A8=8E=X,延长C8与EE交于点G,延长交正方体棱于”，由半正多面体对称性可知，A8GE为等腰直角三角形，.•.BG=GE=C”='Zx,2G”=2x等x+xG”=2x等x+x=（、巧+I）x=l，，％=7占=戊-1,即该半正多面体棱长为近一1.a=0—1，则棱长为0—1.【点评】本题考察数学文化，立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键.立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形.【题目栏目】立体几何'空间几何体的结构特征及其直观图、三视图'空间几何体的直观图【题目来源】2019年高考全国11文•第16题（2019年高考全国I文•第16题）已知NAC8=90。，P为平面ABC外一点，PC=2,点尸到4C8两边AC,BC的距离均为陋，那么P到平面ABC的距离为一.【答案】【答案】＞/2【解析】如图，过尸点做平面A8C的垂线段，垂足为O,则PO的长度即为所求，再做PE±CB,PF±CA,由线面的垂直判定及性质定理可得出OE，Cfi,OF_LC4,在RtSPCF中，由PC=2,PF=相,可得出CF=1,同理在aAPCE中可得出CE=1，结合NAC8=90。，0£_1。8,0/，04可得出0£=0尸=1,OC=0,PO^y/PC2-OC2=72.【题目栏目】立体几何'空间距离【题目栏目】立体几何'空间距离【题目来源】2019年高考全国I文•第16题（2019年高考江苏•第9题）如图，长方体的体积是12。，E是CQ的中点，则三棱椎E-BCD的体积是.EC【答案】【答案】10【解析】因为4