丰台区高二（下期）期末数学试题卷（含答案）

2022北京丰台高二(下)期末2022.07第一部分(选择题共40分)一.选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。.已知函数/(x)=cosx,则/吟)=TOC\o"1-5"\h\z(A)— (B) (C)- (D)--2 2 2 2.(x-2)3的展开式中V的系数是(A)-12 (B)12 (C)-6 (D)6.设5“是数列｛4｝的前〃项和，若S,,=〃2+2〃，则％=(A)-21 (B)11 (C)27 (D)35.经验表明，某种树的高度y(单位：m)与胸径x(单位：cm)(树的主干在地面以上1.3米处的直径)具有线性相关关系.根据一组样本数据(4其)(i=L2,…,〃)，用最小二乘法建立的经验回归方程为》=0.25x+15.据此模型进行推测，下列结论正确的是(A)y与x负相关(B)胸径为20cm的树，其高度一定为20m(C)经过一段时间，样本中一棵树的胸径增加1cm,估计其高度增加0.25m(D)样本数据(0»)(i=L2,…中至少有一对满足经验回归方程g=0.25x+15.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度人(单位：m)与起跳后的时间r(单位：s)存在函数关系力⑺=-4.9r+4.8r+ll.该运动员在uls时的瞬时速度(单位：m/s)为(A)10.9 (B)-10.9 (C)5 (D)-5.同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为1”为事件A,“两枚骰子的点数之和等于6”为事件B，则P(B|A)=(A)- (B)- (C)— (D)—3 6 12 36.甲，乙，丙3位同学从即将开设的4门校本课程中任选一门参加，则他们参加的校本课程各不相同的概率为(A)-8(A)-8(B)-4(D)号98.“4=2”是“函数/(x)=e，(x—0)在x=1处有极小值”的8.(A)充分而不必要条件(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件.某项活动需要把包含甲，乙，丙在内的6名志愿者安排到A,B,C三个小区做服务工作，每个小区安排2名志愿者.已知甲必须安排在A小区，乙和丙不能安排在同一小区，则不同安排方案的种数为（A）24 （B）36 （C）48 （D）72.已知a“是不大于〃的正整数，其中〃wN*.若4+/+%+…+4270,则正整数机的最小值为（A）23 （B）24 （C）25 （D）26第二部分（非选择题共110分）二.填空题共5小题，每小题5分，共25分。.为了解性别因素是否对某班学生打篮球的经常性有影响，对该班40名学生进行了问卷调查，得到如下的2x2列联表；经常打篮球不经常打篮球合计男生m420女生820合计n40则加=,n=..由两个“1”和两个“2”组成的不同的四位数有个.（用数字作答）.函数/*）=叱在x=l处的瞬时变化率为.X.数列｛《,｝的通项公式为=p”2+〃（pwR）,若则p的一个取值为..某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价H（单位：元）、瓶内饮料的获利尸2（单位：元）分别与瓶子的半径r（单位：cm,rW5）之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利润为/（「）=△-£,给出下列四个结论：①当re（0,7；）时，/（r）＜0；/（，）在区间（小5）上单调递减；/（，）在区间（0当）上存在极小值；f\r）在区间（0,7;）上存在极小值.其中所有正确结论的序号是.三.解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。.（本小题14分）某同学在上学途中要经过一个路口，假设他骑车上学在该路口遇到红灯的概率为,.已知该同学一周有3天骑3车上学.（I）求该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯的概率；（II）记该同学在这3天上学途中遇到红灯的天数为X,求X的分布列及数学期望E（X）..（本小题13分）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，S2=9,请从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，解决下面的问题：（I）求数列｛《,｝的通项公式；（II）若数列出｝满足hn=2中,求数列0｝的前〃项和7；.条件①：%=7；条件②：S4=22.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分..（本小题14分）已知函数/（X）=V—2以2+/x,flaR.（I）当。=2时，求/（x）在区间［1,3］上的最大值和最小值;（II）求/（x）的单调区间..（本小题15分）一兴趣小组为了解5种APP的使用情况，在某社区随机抽取了200人进行调查，得到使用这5种APP的人数及每种APP的满意率，调查数据如下表：APP第1种第2种第3利।第4种第5种使用APP的人数160901509080满意率0.850.750.80.70.75（I）从这200人中随机抽取1人，求此人使用第2种APP的概率；（II）根据调查数据，将使用人数超过50%的APP称为“优秀APP”.该兴趣小组从这5种APP中随机选取3种，记其中“优秀APP”的个数为X,求X的分布列及数学期望E（X）；（III）假设每种APP被社区居民评价为满意的概率与表格中该种APP的满意率相等，用“4=1”表示居民对第火种APP满意，"刍=0”表示居民对第攵种APP不满意伏=1,2,3,4,5）.写出方差。（刍），。©），。（刍），。（或），£＞（备）的大小关系.（只需写出结论）.(本小题15分)已知函数f(x)=ae2，+(a-2)e—x(aeR).(I)当4=0时，求曲线y=/(x)点(0,7(0))处的切线方程；(II)求证：当a>0时，函数f(x)存在极值；(III)若函数/(x)在区间(-1,一)上有零点，求a的取值范围..(本小题14分)已知数列｛4｝是无穷数列.若-%，则称｛勿｝为数列｛%｝的1阶差数列；若%=6用-々，则称数列｛c,｝为数列｛q｝的2阶差数列；以此类推，可得出数列｛%｝的。阶差数列，其中peN*.(I)若数列｛«“)的通项公式为4=〃2,求数列｛《,｝的2阶差数列的通项公式；(II)若数列｛4｝的首项为1，其一阶差数列｛4｝的通项公式为"=2〃，求数列｛4｝的通项公式；(III)若数列｛4｝的通项公式为a"=〃"'(mGN*),写出数列｛a“｝的机阶差数列的通项公式，并说明理由.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案DCBCDBACAB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.16；16 12.6 13.114.一1(答案不唯一，只要满足"p＜一,”即可) 15.①③©三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.(本小题14分)解：(I)记“该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯”为事件A,贝lJP(A)=Gxgx(l—g)2=1,所以，该同学在这3天上学途中恰有1天遇到红灯的概率为士 5分9(IDX的所有可能取值为：0,123.P(X=O)=^x(1)ox(1-1)3=A,P(X=l)=C；xgx(l一;)2=1，TOC\o"1-5"\h\z1 I2P(X=2)=C^x(-)2x(l--)'=-,P(X=3)=C^x(1)3x(1-1)°=±,X的分布列为X0I23P8274929127TOC\o"1-5"\h\zq 4 7 1数学期望E(X)=0x£+1x2+2x*+3x」-=1 14分27 9 9 27(另解：X~B(3,9,数学期望E(X)=3xg=l).(本小题13分)解：选择条件①：(I)设公差为d,e, ~+d=9因为S2=9,4=7,所以《 ，

TOC\o"1-5"\h\z解得I1=4,所以4=〃+3,(”wN*) 7分d=1(II)因为仇=2"「3,所以4=2-3=2",所以数列他J是以2为首项，2为公比的等比数列,21-2" ,、 13分Tn=bl+b2+.：+bn=^--l=2(2"-1)=2"+'-2所以 I、 / 13分(I)设公差为“，因为52=9,S4=22,所以2q+d=94q+6d=22解得4,所以q=〃+3,(〃eN*).[a=1(H)与选择条件①时的第(H)问答案相同..(本小题14分)解:(I)当。=2时,f(x)=、-4〉+4x,/'(x)=3/_8x+4=(3x-2)(x-2)_2令r(x)=0得，x=§或x=2.当x在区间口，3]上变化时，的变化情况如下表X(1,2)2(2,3)r(x)-0+/(X)单调递减0单调递增因为/⑴="⑶=3,所以f(x)在区间口，3］上的最大值为3,最小值为0 6分(II)/(x)=3x2-4ax+a2=(3x-a)(x-a)令八x)=0得，或x=a,当a=°时，r(x)=3x2>0(/(x)的单调递增区间为R,无单调递减区间;当a>°时，3<a,随着x的变化，r*)，f(x)的变化情况如下表Xa3,a、a(a,+8)f(x)+00+/(X)单调递增4/单调递减0单调递增a a所以/（x）的单调递增区间为（-8,g）,（a,+00）；/（X）的单调递减区间为（§,a）.a当a＜°时，随着x的变化，r（x），〃x）的变化情况如下表X(-8,4)a3,三）a3(p+°°)fXx)+0-0+/（X）单调递增0单调递减4/~ri单调递增所以/（x）的单调递增区间为（一吗a）,（§,+oo）；A©的单调递减区间为（a,§）. 14分19.（本小题15分）解：（I）记“从这200人中随机抽取1人，此人选择第2种APP”为事件A,由表中数据可得：200人中有90人选择使用了第2种APP,~ 9所以，P（A）=—.20o从这200人中随机抽取1人，此人选择第2种APP的概率为之.…4分20（H）样本数据中有5种APP,其中“优秀APP”有2种，X的所有可能取值为：0,1,2,P（X=0）=^~^」,C：10X的分布列为X012P1lo353WTOC\o"1-5"\h\z^^XH^£(X)=0x—+lx-+2x—=- 11分10 5 105（HI）。（。）＜。（刍）＜。（刍）=）＜。（刍） 15分20.（本小题15分）解：（I）当a=0时，f（x）=-2ex-x,f'（x）=-2e'-\,f'（0）=-3,因为/(0)=-2,所以曲线y=/(x)在x=0处的切线方程为y—(-2)=—3*-0),即3x+y+2=0 4分/'(x)=2ae~'+(a—2)e'一1=(ae、-l)(2e'+1).当。>0时，由/'(x)=0得，x=In—.a随着工的变化，;(幻，/(幻的变化情况如下表X(-co,In-)aIna(In—,+oo)a/'(X)-0+/(X)单调递减,11In67 F1a单调递增所以/(外存在极小值，且极小值为Ina-，+1 9分af'(x)=2i+(a-2)ex-l=(aev-l)(2er+1),当aWO时，r(x)<0,7(x)在区间(一l,+a>)上单调递减，且/(0)=2。-2<0,因为/(x)在区间(-1,+OO)上有零点，所以〃-1)==+"匚+1>0,解得a>一+2e,e,e e+l-e2+2e所以y十“〈awoe+1、i,八2 /aa—2.ea+a-2+e,_TOC\o"1-5"\h\z当a>0时，/(-1)=—+ +1= >0,ee e~因为/(x)在区间(-1，长。)上有零点，由(II)可知，/(X)mjn=/(ln-!-)=lna--+l<0,a a因为函数g(x)=lnx-'+l是增函数，且g⑴=。，x所以0<a41.综上所述，。的取值范围是 15分e+121.(本小题14分)解：(I)因为a“="2,所以2=a“+|=(〃+1)2。=2〃+1,。“=%*=2(〃+1)+1-(2〃+1)=2 4分(H)因为b“=a”+「a”,且或=2"，所以a.+]=2〃，所以q=2,6一%=4, %=6,…，=2(〃—1),6分把上面n-1个等式左右两边分别依次相加，得到q-q=2+4+6+…+2(〃-1),于是a”-at=n2-n,又因为q=l,所以+l 9分(III)数列｛凡｝的机阶差数列的通项公式为=m!.理由如下：当机=1时，。“=〃，其1阶差数列的通过项公式勿=〃+1-〃=1,r(r>l)阶差数列各项均为0.当机=2时，an-n2,其1阶差数列的通过项公式或=(〃+1)2-〃2=2〃+1,2阶差数列的通项公式为cn=2,t(t>2)阶差数列各项均为0.假设m44时，a„=n\ieN,0<i4幻的邛介差数列为常数k\,t(