中考数学专题训练-菱形的判定和性质

中考专题训练——菱形的判定和性质.如图，在△ABC中，BA=BC,BD平分NABC交AC于点。，点E在线段BO上，点尸在8。的延长线上，且。E=。凡连接CE,AF,CF.(1)求证：四边形AEC尸是菱形；(2)若 AD=4,BC=4点,求80和AE的长..如图，AABC中，/4CB的平分线交A8于点。，作CO的垂直平分线，分别交4C、DC、BC于点E、G、F,连接。E、DF.(1)求证：四边形OFCE是菱形；(2)若NA8C=60°,ZACB=45°,BD=2,试求8尸的长..在RtZ\ABC中，NBAC=90°,。是BC的中点，E是AO的中点，过点A作AF〃BC交BE的延长线于点立(1)证明四边形AZXT是菱形；(2)若4C=4,AB=5,求菱形AOCF的面积..在RtZVIBC中，NB4c=90°,。是8c的中点，E是AO的中点，过点A作4尸〃BC交BE的延长线于点F.(1)证明四边形ADC尸是菱形；(2)若4C=4,AB=5,求菱形ACCF的面积..如图，ZXABC中，NBC4=90°,C£＞是边A8上的中线，分别过点C,。作BA和BC的平行线，两线交于点E,且OE交AC于点O,连接AE.

(1)求证：四边形4OCE是菱形；(2)若NB=60°,BC=6,求四边形AOCE的面积..在四边形A8CO中，AD//BC,AC平分NB4O,BO平分NABC.(1)如图1,求证：四边形A8CO是菱形；(2)如图2,过点。作交BC延长线于点E,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中所有与△CCE面积相等的三角形(△C3E除外).已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC,与边AB交于点E,连接CE,过点C作CF〃BA交尸。于点F,连接AF.(1)求证：四边形4ECF是菱形；(2)若AO=3,AE=5,则求菱形AEC尸的面积..如图，在△4BC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE,延长OE到点凡使得EF=BE,连接CF.(1)求证：四边形8CFE是菱形；(2)若CE=2,NBC尸=120°,求菱形8CFE的面积.

.如图，在13ABe。中，AE±BC,AFLCD,垂足分别为E,F,且BE=OF.(1)求证：回ABC£)是菱形；(2)若48=5,4c=6,求国4BCO的面积..如图，在△4BC中，AB=AC,E,D,尸分别是边A8,BC,C4的中点.(1)求证：四边形AEQF是菱形；(2)若/B=30°,A8=12,求四边形4EDF的面积..如图，在四边形4BC。中，AB//DC,过对角线AC的中点。作£F_LAC分别交边AB,CD于点E,F,连接CE,AF.(1)求证：四边形AEC尸是菱形；.如图，ZiABC中，ZBCA=90°,CO是边AB上的中线，分别过点C,。作84和8c的平行线，两线交于点E,且OE交AC于点。，连接AE.(1)求证：四边形AOCE是菱形；(2)若NB=60°,8c=6,求四边形AOCE的面积.A D B.如图，在团48co中，CE平分NBCD,交AO于点E,OF平分N4OC,交BC于点尸,CE与DF交于点P,连接EF,BP.(1)求证：四边形COEF是菱形；(2)若AB=2,BC=3,NA=120°,求BP的值.ED.如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AO是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点.(1)求证：四边形AEQF是菱形；(2)如果四边形尸的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形4EDF的面积S..如图，ZkABC中，ZACB=90°,/A=30°,CD为△ABC的中线，作CO_LAB于O,点E在C。延长线上，DE=AD,连接BE、DE.E(1)求证：四边形BCCE为菱形；(2)把△4BC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC=6,求两条分割线段长度的和..如图，ZkABC中，AO是边BC上的中线，过点A作4E〃BC,过点。作OE〃AB,DE与AC、AE分别交于点。、点E,联结EC.(1)求证：AD=EC；(2)若BC=24£>,AB—AO=m,求证：S四边形ADCE=m2.(其中S表示四边形4OCE的面积)

.如图，在△4BC中，NC=90°,8。平分NABC交4c于点。，过。作OE〃BC交A8于点E,。尸〃4B交BC于点凡连接EF.(1)求证：四边形BFCE是菱形；(2)若AB=8,AO=4,求8F的长.ABFC.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,AO平分NBAC交8c于点。，在线段AO上任取一点P(点A除外)，过点P作EF〃AB,分别交AC,BC于点E和点凡作尸。〃AC,交48于点Q,连接QE.(1)求证：四边形AEPQ为菱形；(2)当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？.已知：如图，四边形A8CO是平行四边形，分别以AB、AO为腰作等腰三角形△4BF和等腰三角形△4OE,且顶角NBAF=ND4E,连结80、£尸相交于点G,80与A尸相交于点H.(1)求证：BD=EF；(2)若NGHF=NBFG,求证：四边形4BCO是菱形；(3)在(2)的条件下，当/94/=/"4£=90°时，连结BE,若BF=4,求△BE产的面积.

.如图，在四边形ABC。中，AB=AD,CB=CD,£是CO上的点，BE交AC于点F,连接DF.(1)求证：NBAF=NDAF,NAFD=NCFE：(2)若AB〃CD,试证明：四边形A8CZ)是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使得并说理由.参考答案：1.如图，在△ABC中，BA=BC,8。平分NABC交AC于点。，点E在线段BD上，点尸在8。的延长线上，且。E=O凡连接A£,CE,AF,CF.(1)求证：四边形AEC尸是菱形；(2)若 AD=4,BC=4后,求BO和AE的长.【分析】(1)根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形AECF是菱形；(2)根据等腰三角形的性质和勾股定理可得8。=8,设DE=x,则DF=x,所以AF2=AD2+DF2=\6+x2,BF=BD+DF^+x,然后利用勾股定理即可解决问题.【解答】(1)证明：'：BA=BC,8。平分NABC,：.BDA.AC,AD=CD,'：DE=DF,二四边形AEC尸是菱形；(2)解：AD1BD,A£)=4,BA=BC=4遥,:・BD='^/aB2-AD2=V80-16=8,设OE=x,则OF=x,：.AF2=Ab1+DF1=16+7,,:BF=BD+DF=8+x,：.AB2+AF2=BF2,(4^5)2+16+x2=(8+x)2,•**x=2»：.DE=DF=2,AE=VaD2+DE2=742+22=2y-：.BD和AE的长分别为8和2b.2.如图，△A8C中，ZACB的平分线交AB于点D,作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F,连接OE、DF.(1)求证：四边形OFCE是菱形；(2)若NABC=60°,ZACB=45°,80=2,试求BF的长.【分析】(1)先根据垂直平分线的性质得：DE=CE,=FC,证明△CGEgACG/(ASA),根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得：四边形OFCE是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边是菱形可得结论：(2)作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形30°的性质可得BH=\,由勾股定理得：DH=M，根据尸是等腰直角三角形，可得DH=FH=a，从而得结论.【解答】(1)证明：是。C的垂直平分线，：.DE=EC,DF=CF,ZEGC=ZFGC=90a,DG=CG平分NACB,：.ZECG=ZFCG,:CG=CG,：.△CGE^△CGFCASA),:.GE=GF,：.四边形DFCE是平行四边形，DE=CE,四边形OFCE是菱形；(2)解：过力作O”_LBC于〃，则/£>“尸=/。〃8=90°,VZABC=60",：.ZBDH=30a,2在RtZ\O”B中，£>"=62_]2=百,•.•四边形OFCE是菱形，J.DF//AC,...N£)FB=NACB=45°,尸是等腰宜角三角形，:.DH=FH=M，:.BF=BH+FH=l+«.3.在RtZXABC中，ZBAC=90°,。是BC的中点，E是AO的中点，过点4作A尸〃BC交BE的延长线于点F.(1)证明四边形AOC尸是菱形；(2)若4c=4,AB=5,求菱形AOCF的面积.【分析】(1)首先根据题意画出图形，由E是AO的中点，AF//BC,易证得△AFEgADBE,即可得AF=BO,又由在RtZxABC中，ZBAC=90°,。是BC的中点，可得AO=BD=CD=AF,证得四边形AOC尸是平行四边形，继而判定四边形AQCF是菱形；(2)首先连接OF,易得四边形ABD尸是平行四边形，即可求得。尸的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案.【解答】(1)证明：如图，尸〃BC,NAFE=NDBE,是4。的中点，AO是BC边上的中线，：.AE^DE,BD=CD,在△AFE和中，fZAFE=ZDBE,ZFEA=ZBED>AE=DE.♦.△AFE宝△OBE(AAS)；:.AF=DB.'：DB=DC,：.AF=CD,四边形ADCF是平行四边形，•.,N8AC=90°,。是BC的中点，：.AD=DC=^BC,2...四边形AOC尸是菱形；(2)解：连接。F,"：AF//BC,AF=BD,：.四边形ABDF是平行四边形，：.DF=AB=5,•.•四边形4OCF是菱形，：.S=^AC-DF=IO.24.在RtZXABC中，ZBAC=90°,。是BC的中点，E是AO的中点，过点A作A尸〃BC交BE的延长线于点F.(1)证明四边形AOC尸是菱形；(2)若AC=4,AB=5,求菱形AOCF的面积.【分析】(1)首先根据题意画出图形，由E是AO的中点，AF//BC,易证得△AFE/ADBE,即可得AF=B£>,又由在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,。是BC的中点，可得AO=BD=CD=AF,证得四边形AOC尸是平行四边形，继而判定四边形AOC尸是菱形；(2)首先连接OR易得四边形48。F是平行四边形，即可求得力尸的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案.【解答】(1)证明：如图，[4]〃BC,:.NAFE=NOBE,是AO的中点，AO是BC边上的中线，：.AE=DE,BD=CD,在△AFE和△OBE中，fZAFE=ZDBE<ZFEA=ZBED>,AE=DE:.△AFEgADBE(AAS)；：.AF=DB."：DB=DC,：.AF=CD,...四边形AOC尸是平行四边形，VZBAC=90",。是BC的中点，：.AD^DC=^BC,2二四边形AOCF是菱形：(2)解：连接。尸，'：AF//BC,AF=BD,：.四边形ABDF是平行四边形，：.DF=AB=5,•.•四边形4QCF是菱形，：.S=^AC-DF=IO.2BDCBDC5.如图，Z\ABC中，ZBCA=90°,CO是边48上的中线，分别过点C,。作84和BC的平行线，两线交于点E,且OE交AC于点O,连接AE.（1）求证：四边形AOCE是菱形；【分析】（1）欲证明四边形4OCE是菱形，需先证明四边形4OCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直：（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：5=工4c进行解答.2【解答】（1）证明：'.'DE//BC,EC//AB,：.四边形DBCE是平行四边形.：.EC//DB,MEC=DB.在RtZ\4BC中，CD为AB边上的中线，：.AD^DB^CD.：.EC^AD.：.四边形ADCE是平行四边形.J.ED//BC.：.ZAOD=^ACB.VZACB=90°,ZAOD=ZACB=90a.平行四边形AOCE是菱形；（2）解：RtZXABC中，CC为AB边上的中线，ZB=60°,BC=6,：.AD=DB=^CD=6.：.AB=12,由勾股定理得AC=6«.•••四边形DBCE是平行四边形，：.DE=BC=6..。_AOED,,S菱形ADCE=万6.在四边形ABCO中，AD//BC,4c平分NBA。，BO平分N4BC.（1）如图1,求证：四边形ABCZ）是菱形；(2)如图2,过点。作。工LBO交BC延长线于点E,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中所有与△CCE面积相等的三角形(△£!)£除外)【分析】(1)根据角平分线的定义可得/ABO=NCBD,据两直线平行，内错角相等可得NAOB=NC5O,然后求出NABO=NAOB=NCBO,再根据等角对等边可得AB=AD,再根据等腰三角形三线合一可得BO=DO,然后利用“角边角”证明△AOO和4COB全等，根据全等三角形对应边相等可得A£>=BC,再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可：(2)根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论.【解答】(1)证明：平分NABC,：.ZABD=^CBD,,JAD//BC,：.ZADB=ZCBD,：.ZABD=NADB=ZCBD,：.AB=AD,设AC、BO相交于点O,又平分NBA。，；.BO=DO,AC±BD,fZADB=ZCBD在△400和ACOB中，<OB=OD ，ZAOD=ZCOB=90°:.△AOD94COB(ASA),：.AD=BC,'：AD//BC,：.四边形ABCD是平行四边形，又四边形A8C。是菱形；(2)"：DE1BD,ACLBD,：.AC//DE,

'.'AD//CE,四边形ACED是平行四边形，：.BC=AD=CE,图中所有与△(?£>£：面积相等的三角形有△BCD,△ABD,AACD,AASC.B C7.已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC,与边AB交于点E,连接CE,过点C作C/〃BA交尸。于点F,连接A尸.(1)求证：四边形AEC尸是菱形；(2)若AO=3,AE=5,则求菱形AEC尸的面积.B【分析】(1)首先利用AAS证明△(；£)「丝△AED,进而得到A£=CF,于是得到四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到结论：(2)首先利用勾股定理求出OE的长，再利用对角线乘积的一半求出菱形的面积.【解答】证明：(1),：CF//AB,：.ZDCF=ZDAE,•；PQ垂直平分AC,：.CD^AD,在△CCF和△4£；£)中'NDCF=/DAE,•<ZCDF=ZADE-CD=AD.".△CDF^AAED,：.AE^CF,四边形AECF是平行四边形，垂平分AC,：.AE=CE,四边形AEC尸是菱形；(2)二•四边形AECF是菱形，二△?!£)£是直角三角形，；AO=3,AE=5,：.DE=4,：.AC=2AD=6,EF=2DE=8,菱形AECF的面积为工AC・EF=24.28.如图，在△ABC中，D、E分别是A8、AC的中点，BE=2DE,延长OE到点尸，使得EF=BE,连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE=2,ZBCF=120°,求菱形BCFE的面积.:一b c【分析】(1)根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；(2)只要证明△EC8都是等边三角形，可得S菱形bcfe=2・SaEcf；【解答】解：(1)YD、E分别是AB、AC的中点，:・DE〃BC,BC=2DE,:EF=BEBE=2DE,:・EF=BC=BE,EF〃BC,・・四边形BCFE是平行四边形，:BE=BC,・・四边形BCFE是菱形.2)YEF〃BC,.\ZF+ZBCF=180°,VZBCF=120°,/.ZF=60°,•：FE=FC=CB=EF,AAECF,Z\ECB都是等边三角形，S菱形BCFE=2•SaECF=2X®X22=2百.4.如图，在EL4BCD中，AE1BC,AFLCD,垂足分别为E,F,且BE=OF.(1)求证：团ABC。是菱形；(2)若4B=5,AC=6,求回ABCC的面积.BE C【分析】(1)利用全等三角形的性质证明AB=A。即可解决问题；(2)连接BO交AC于O,利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题;【解答】(1)证明：•.•四边形ABC。是平行四边形，:.NB=ND,'：AELBC,AFLCD,:.NAEB=NAFD=90°,,:BE=DF,：.△AEBmXAFD：.AB^AD,...四边形ABC。是菱形.(2)连接BO交AC于O.•.•四边形ABC。是菱形，AC=6,：.AC±BD,AO=OC=XaC=Lx6=3,2 2•：AB=5,AO=3,BO=yJAB2-AO2=752-32=4,80=280=8,.•.5Wssa®ABCD=—XACXBD=24.2

10.如图，在△ABC中，AB=AC,E,D,尸分别是边AB,BC,CA的中点.(1)求证：四边形AEC尸是菱形；(2)若NB=30°,AB=12,求四边形AEQ尸的面积.【分析】(1)首先根据三角形中位线定理可得OE〃AC,DF//AB,ED=^AC,DF=12 2AB,进而可判定四边形4ECF是平行四边形，然后证明EO=O/即可；(2)连接A。、EF,利用直角三角形的性质和菱形面积公式解答即可.【解答】(1)证明：D,F分别是边4B,BC,AC的中点，J.DE//AC,DF//AB,ED—AC,DF=^AB,2 2•••四边形AEDF是平行四边形，"：AB=AC,：.ED=DF,二四边形AECF是菱形：(2)连接A。、EF,在△ABC中，AB=4C,:.BD=CD,AD±BC,在RtZ\ABO中，NB=30°,AB=\2,：.AD=6,EF=/bC=BO=>/aB2-AD2=673,菱形AEDF的面积=/EF・AD=18J§-11.如图，在四边形ABC。中，AB//DC,过对角线AC的中点。作EFJMC分别交边AB,CD于点、E,F,连接CE,AF.(1)求证：四边形4ECF是菱形；(2)若E尸=6,AE=5,求四边形AECF的面积.Df CA F.B【分析】(1)运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已知EFLAC,AO=OC,只需要证明OE=OF即可，用全等三角形得出；(2)菱形的面积可以用对角线积的一半来表示，由已知条件，解直角三角形AOE可求AC.E尸的长度.【解答】解：(1)证明：'：AB//DC,/.Z1=Z2.在△CFO和△AEO中，'N1=N2-ZF0C=ZE0A-OC=OA:ACFO与AAEO(ASA).：.OF=OE,又；OA=OC,四边形AECF是平行四边形.VEF1AC,四边形AECF是菱形；(2)解：•••四边形4ECF是菱形，EF=6,：.OE=^EF=4.2在RtAAEO中，；tan/OAE=^=2,OA5：.OA=5,；.AC=2AO=8,•••S麦彩AECF=^EF-AC=AX6X8=24.2 2D C'B12.如图，△ABC中，ZBCA=90°,CO是边4B上的中线，分别过点C,。作B4和BC的平行线，两线交于点E,且OE交AC于点O,连接AE.（1）求证：四边形AOCE是菱形；【分析】（1）欲证明四边形4OCE是菱形，需先证明四边形4OCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直：（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：5=工4c进行解答.2【解答】（1）证明：'.'DE//BC,EC//AB,：.四边形DBCE是平行四边形.：.EC//DB,MEC=DB.在RtZ\4BC中，CD为AB边上的中线，：.AD^DB^CD.：.EC^AD.：.四边形ADCE是平行四边形.J.ED//BC.：.ZAOD=^ACB.VZACB=90°,ZAOD=ZACB=90a.平行四边形AOCE是菱形；（2）解：RtZXABC中，8为AB边上的中线，ZB=60°,BC=6,：.AD=DB=^CD=6.：.AB=12,由勾股定理得AC=6百.•；四边形DBCE是平行四边形，：.DE=BC=6.:・S菱形AQCE=A£,EP一==后2 2.如图，在团ABCQ中，CE平分NBCD,交AO于点E,。尸平分N4OC,交BC于点凡CE与DF交于点、P,连接EF,BP.(1)求证：四边形CDEF是菱形；(2)若AB=2,BC=3,ZA=120°,求B尸的值.【分析】(1)利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得CF=CO=QE,可证得结论；(2)过P作PG_L8C于G,在RtAPGC中可求得PG和CG的长，则可求得BG的长，在RtZ\BPG中，由勾股定理可求得8尸的长.【解答】(1)证明：:四边形ABCD为平行四边形，J.AD//BC,：.NEDF=Z.DFC,•.•。尸平分/AOC,NEDF=NCDF,：.NDFC=4CDF,：.CD=CF,同理可得CD=DE,:.CF=DE,MCF//DE,四边形C£»EF为菱形：(2)解：如图，过户作PG_LBC于G,AEDBFGC'：AB=2,8c=3,ZA=120°,且四边形CDEF为菱形，:.CF=EF=CD=AB=2,Z£CF=—ZBCD=—ZA=60°,2 2.••△C£尸为等边三角形，：.CE=CF=2,：.PC=—CE=\,2；.CG=^PC=—,PG=^-PC=®,2 2 2 2ir，BG=BC-CG=3H,22在Rt^BPG中，由勾股定理可得BP={bg2+Pg2=Q号)2+(^-)2=行即BP的值为我..如图，△ABC是以8c为底的等腰三角形，AO是边BC上的高，点E、尸分别是AB、AC的中点.(1)求证：四边形AE£)尸是菱形；(2)如果四边形AECF的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形AEQF的面积S.【分析】(1)先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=^AB=AE,DF=^AC2 2=AF,再根据A8=4C,点E、尸分别是AB、4c的中点，即可得到AE=AF=OE=。凡进而判定四边形尸是菱形；(2)设EF=x,AD=y,则x+y=7,进而得到x2+2xy+y2=49,再根据RtAAOE中，AO2+EO2=AE2,得到)+y2=36,据此可得盯=旨，进而得到菱形AECF的面积S.【解答】解：(1)-：ADLBC,点E、/分别是AB、AC的中点，.•.□△ABO中，DE=—AB=AE,2心△ACO中，DF=^-AC=AF,2又•.•ABuAC,点E、尸分别是AB、AC的中点,：.AE^AF,：.AE=AF=DE=DF,四边形AEC尸是菱形;(2)如图，•.•菱形AEOF的周长为12,：.AE=3,设EF=x,AD=y,则x+y=7,.'.x2+2xy+j2=49,①,：ADLEFTO,：.RtAAOE中，AO^+EO^^AE1,(—y)2+(—x)2=32,2 2即7+9=36,②把②代入①，可得的=13,.如图，△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,CO为△ABC的中线，作CO_L48于O,点E在CO延长线上，DE=AD,连接8E、DE.(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC=6,求两条分割线段长度的和.【分析】(1)容易证三角形88为等边三角形，又再证三角形。BE为等边三角形四边相等的四边形BCDE为菱形.(2)画出图形，证出BM+MN=4M+MC=4C=6即可.【解答】(1)证明：VZACB=90°,NA=30°,C£)为△ABC的中线，BC=—AB,CD=—AB=AD,2 2AZACD=ZA=30°,，NBOC=30°+30°=60°,...△BC。是等边三角形，CO.LAB,：.OD=OB,，DE=BE,t：DE=AD,：・CD=BC=DE=BE,・・・四边形BCDE为菱形;(2)解：作/ABC的平分线交AC于N,再作MN_LA8于M如图所示:则A/N=MC=』BALN/WM=NA=30°,2VAC=6,BM+MN=AM+MC=AC=6；即两条分割线段长度的和为6.16.如图，△A8C中，AD是边8c上的中线，过点A作AE〃8C,过点。作。E〃AB,DE与AC、AE分别交于点O、点E,联结EC(1)求证：AD=EC\(2)若BC=2A£),AB=AO=m,求证：S四边形aoce=m2.(其中S表示四边形4£>CE【分析】(1)由AE〃BC,DE//AB,可证得四边形ABQE为平行四边形，又由4。是边8C上的中线，可得AE=C£>,即可证得四边形ADCE是平行四边形，继而证得结论；(2)由3C=2A。，易得四边形AOCE是菱形，继而求得S四边形4OCE=〃?.【解答】证明：(1)\UAE//BC,DE//AB,・・・四边形ABDE为平行四边形，:・AE=BD,■:BD=CD,:.AE=CD,四边形AQCE是平行四边形,：.AD=CE-,(2)\'BC=2AD,BC=2CD,：.AD=CD,•.•四边形AOCE是平行四边形，二四边形4OCE是菱形，VDE=AB=m,AC=2AO=2m,2..S四边胫adce=—AC'DE—m.17.如图，在△ABC中，ZC=90°,8。平分NA8C交AC于点。，过。作OE〃8C交A8于点E,DF〃AB交BC于点F,连接EF.(1)求证：四边形BFCE是菱形；(2)若AB=8,AO=4,求的长.BFC【分析】(1)易证四边形BFOE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边即可得到平行四边形BFDE是菱形；(2)设Bf=x,所以可得£>E=BE=x,AE=8-x,在RtZXAOE中，由勾股定理可得AE2=DE2+AD1,求出x的值即可.【解答】(1)证明：'：DE//BC,DF//AB,二四边形BFDE是平行四边形.「BO平分/4BC,，NABD=NCBD.'：DE//BC,:.NCBD=4EDB.二ZABD=NEDB.：.EB=ED.平行四边形BFDE是菱形：(2)解：'.'ED//BF,ZC=90",ZAD£=90".设BF=x,：.DE=BE=x.：.AE=S-x.在RtZkAQE中，AE2=DE2+AD2(8-x)2=j?+42解得x=3,：.BF=3.18.如图，等腰三角形ABC中，AB^AC,AO平分NBAC交BC于点O,在线段A£)上任取一点P(点4除外)，过点P作分别交AC,BC于点E和点F,作PQ〃AC,交48于点Q,连接。£.(1)求证：四边形AEPQ为菱形；【分析】(1)先证出四边形AEP。为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由A。平分NBAC和PE〃4Q可证NEAP=N£7A得出AE=EP,即可得出结论；C2)S^AEPQ=EP-h,S平行四边形efbq=E/、〃，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，贝因此P为E尸中点时，S^iAEPQ=—SnWEFBQ.2【解答】(1)证明：/〃AB,PQ//AC,二四边形AEPQ为平行四边形，：.ZBAD=ZEPA,'：AB=AC,AO平分NCAB,：.ZCAD=ZBAD,：.ZCAD=ZEPA,:.EA=EP,...四边形AEP。为菱形.(2)解：P为EF中点,即AP=2a。时，S^kaepq=—SnmKEFBQ2•••四边形AEP。为菱形,：.AD1.EQ,'：AB=AC,AO平分/8AC,：.AD±BC,：.EQ//BC,又,：EF〃AB,：.四边形EFBQ为平行四边形.作ENLAB于N,如图所示：贝ijS室%aepq=EP・EN=——EF・EN=——S四边彩efbq.2 219.已知：如图，四边形A8CO是平行四边形，分别以AB、AO为