2023年高三复习专项练习：第63练　立体几何小题综合练

第63练立体几何小题综合练（2022•温州模拟）三个平面将空间分成〃个部分，则"不可能是（）A.5B.6C.7D.8答案A解析按照三个平面中平行的个数来分类：（1）三个平面两两平行，如图1,可将空间分成4部分；（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2,可将空间分成6部分;（3）三个平面中没有平行的平面：①三个平面两两相交且交线互相平行，如图3,可将空间分成7部分；②三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4,可将空间分成8部分;图3 图4③三个平面两两相交且交线重合，如图5,可将空间分成6部分.综上，”可以为4,6,7,8,不可能为5.（2022・铁岭模拟）设a,（J是两个不同平面，，小n是两条不同直线，下列说法正确的是（ ）A.若zn±a.n//P，则a〃夕B.若aJ_夕，znJ_«,zn_Ln,则"〃£C.若m〃a,n邛,m//n,则a_L4D.若mJ_a,a_L£,则/n〃〃答案C解析如图，以正方体为例，,C,历--…\-JC

/rA项，令AB=m，BC=n,平面BCGBi=a,平面AOAAi与平面ABiCQi都可以是平面产,a与夕可能平行也可能相交，A错；B项，令平面8CCi5=a,平面A|BiGCi=£,AB=m,BB\=n,此时”与£相交，B错；C项，m//a,由线面平行的性质定理，a内有直线/〃机，m//n,则〃〃/,nVp,则/，夕，则aJ_£,C正确；D项，令平面BCGBi=a,平面AiBiCQi=£,AB=m,BB\=n,但机与〃相交，不平行，D错.3.正方体4BCQ-4&G。的棱长为2,E是棱OA的中点，则平面AGE截该正方体所得的截面面积为（）A.5 B.2邓C.4-76 D.2a/6答案D解析如图所示，设尸为BBi的中点，连接A凡FG,EF,设G为CG的中点，连接EG,GB,由EG〃A8且EG=AB,得四边形ABGE是平行四边形，则AE〃BG且AE=BG,又BG〃G尸且BG=GF,得AE〃GF且AE=GF,则A,E,Ci,尸共面，故平面AGE截该正方体所得的截面为平面AFCiE.又正方体4BCO—ABiGQi的棱长为2,AF=FCt=£C,=EA,ACj=2^3.EF=2y12,EF±AClt故S“fge=3义2小义2小=2乖..（2022•咸阳模拟）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，如图所示，在直角圆锥P—A8C中，AB为底面圆的直径，C在底面圆周上且为弧A8的中点，则异面直线以与BC所成的角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°答案C解析如图，设底面圆的圆心为O,分别取AC,尸C的中点O,E,连接P。，CO,OD,OE,DE,因为是等腰直角三角形，NAPB=90。，设圆锥的底面圆半径。4=1,则m=正，PC--\f2,则OE=g必=乎，且DE//PA,又NAC8=90°,且AC=BC=6,而OD=；BC=^,且OD〃BC,所以NEQO为异面直线PA与BC所成的角或其补角，在RtZ\PC。中，因为E为PC的中点，所以OE=^PC=2^所以△OOE是正三角形，即异面直线%与8c所成的角为60。..（2022•北京二中模拟）如图，四边形A8CO是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于4,3的一点，则下面结论中错误的是（）AEA.CEBE1.DEOEJ_平面BCE

D.平面4。£_1_平面8（7£：答案C解析因为四边形ABC。是圆柱的轴截面，则线段48是直径，BC,AO都是母线，又E是底面圆周上异于4,B的一点,于是得AELBE,而8CJ•平面ABE,AEU平面ABE,贝ijBCYAE,因为8CnBE=B,BC,BEU平面BCE,则AE_L平面BCE,CEU平面BCE,因此得AE_LCE,同理，BEYDE,A,B正确；点。不在底面ABE内，而直线AE在底面ABE内，即AE,OE是两条不同直线，若£）后，平面BCE,因为AE_L平面BCE,与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，C不正确；因为4E_L平面BCE,而AEU平面AOE,于是平面4OEJ_平面BCE,D正确.6.设正四面体A8CQ的棱长为a,E,F分别是BC,40的中点，则危/方的值为（）A.^a2 B.12C.a2 D.平标答案A解析由题意，正四面体A8CO如图所示，AA因为E,尸分别是BC,AO的中点,所以ae=2（ab+A^）,AF=-zAD,又因为正四面体ABC。的棱长都为a,所以（赢，AD）=（AC,AD）=60°,故初崩=；（油+而3r=；（矗励+启初432cos60。+02cos600）1.=产7.已知三棱锥A—BCO的外接球为球0,△BCO是边长为3小的正三角形，若三棱锥A-BCO体积的最大值为里卢，则球O的体积为（）D.64兀D.64兀答案A解析设三棱锥A-8CC的高为〃，当球心。在三棱锥A-BCC的高线上时，三棱锥A-BCD的体积最大，此时卜93小义3小义当普卢，解得仁9.设球。的半径为R,2 r-如图，AM是正三棱锥的高，BA/=rX-^-X3V3=3,OB=OA=R,则（9—R）2+32=R2,解得R=5,所以球。的体积为条/?3=当7t..已知在四面体ABC。中，AC=3,其余棱长均为2,则该四面体外接球的表面积是（）28兀A.一7B.8兀C.12兀D.32兀答案A解析取8。的中点E,连接AE,CE,在△4CE中，AE=CE=/,4c=3,可得/4EC=^.四面体外接球的球心必在过△ABO和△CB。的外接圆圆心且与所在面垂直的直线上，设ACBD,△4BO外接圆的圆心分别为Oi,O2,作OOi_L平面CBC,OO2J•平面AB。，则。即为四面体A8CD外接球的球心，连接OE,如图，在RtZXOOiE中，OiE=坐,/。£。|=?所以00|=1,在RtZ\OOC中，0C=¥，所以OG=12+（^）2=（所以四面体ABCD外接球的表面积为4兀义（=当三.（多选）（2022•辽宁六校联考）已知正六棱锥的侧面与底面所成的锐二面角6=30。，侧棱长为2小米，则（）A.正六棱锥的底面边长为2米B.正六棱锥的侧棱与底面所成角的正切值其

C.正六棱锥的侧面积为48平方米D.正六棱锥的体积为16小立方米答案BCD解析由题设，可得如图所示的正六棱锥.G为AB的中点，。为底面中心，则NPG0=6=30°,且PA=PB=PC=PD^PE=PF=2y[5,设PO=/j,则PG=2〃，若底面边长为r,则Q4=r,AG=],PO2+OA2=h2+r1=20,户PG户PG2+AG2=4/?2+^=20,解得PO=/i=2,且r=4,・••由正六边形的性质知，AB=BC=CD=DE=EF=FA=—=4,A错误;正六棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为今B正确;Sams=|pGAB=8,故侧面积为48平方米，C正确；由S正六边形AACDEr=6X^OGAB=24yf3,故此正六棱锥的体积V=^POS正六边彬A&CDEF=16V3，D正确.10.（多选）（2022•石家庄模拟）正方体ABC£>-4BiCQi的棱长为6,M,N为底面AiBCQi内两点，+14^1[0,1]）,异面直线BN与CG所成角为30。，则下列结论正确的是（）A.CMLBDB.直线与DA为异面直线C.线段MN长度的最小值为3熄一2小D.三棱铢B-AiMN的体积可能取值为16答案AC解析由俞=以|+1461+2/力|得舟=就一京i=447^+A]bi）=Z4Ni,0W2W1,所以点M的轨迹是线段4G,因为BBi〃CG,直线BN与CG所成角为30。，所以/B|BN=30。，所以8N是以为轴，B为顶点，顶角为60。的圆锥的母线，该圆锥侧面与上底面4SGA的交线为以以为圆心，BBitan30。=2小为半径的圆在正方形ABiGOi内的圆弧，即为点N的轨迹.因为AAi_L平面ABC。，BOU平面ABCO,则AAi_LBO,又BO_L4C,AAlQAC=A,A4UACU平面ACGAi,所以8O_L平面AAiGC,而CMU平面AAiGC,所以BO_LCM,A正确；在平面AiBiGQi内作直线与线段4G,和N点轨迹圆弧分别交于点M,N,则。。与MN相交，B错；Bi到直线4G的距离是为-义6=3由，所以MN的最小值为36一2仍，C正确；设N点轨迹圆瓠交BtCt于点P,在正方形AliCQi中知产到直线4G的距离等于N到距离的最大值，此最大值为乎X（6-2巾）=3啦一巡，因此SA41NM的最大值为^X（3也一班）XM=18-&V§,三棱锥8—AiMN体积的最大值为!X（18-6\「）X6=12（3—黄）＜16,D错.（2022・唐山模拟）圆台的轴截面上、下底边边长分别为2和4,母线长为2,则圆台的体积是.答案7平兀解析如图所示，不妨设圆台的轴截面为4BCC,过A,B分别作AELCC,8C£＞于E,A2B由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此。E=CF=-y=l,AE=42-]2=小由圆台的体积公式V=/t〃（/?2+3+R.r）,其中，/?=当=2,「=券=1,h=AE=y[3,V4tx小XQ2+12+2X1）=等5.（2022•洛阳模拟）在三棱锥P-ABC中，AB=2#,BC=\,AC=5,侧面是以P为直角顶点的直角三角形，若平面布平面ABC,则该三棱锥体积的最大值为.答案2解析由题意，A"+BGmAC2,贝iJAB_LBC,又平面平面ABC,平面RIBA平面ABC=AB,8CU平面ABC,...BCL平面办B,故要使三棱锥的体积最大，只需Samb最大,此时，△以8在三棱锥P—ABC外接球截面圆上有B4=PB,又侧面以B是以P为直角顶点的直角三角形，...△以8为等腰直角三角形，则以=尸8=2小，二三棱锥体积的最大值为:国义2小X2于=2.已知正四棱锥S-ABC。的侧棱长与底面边长都相等，E是S8的中点，则AE,SZ）所成的角的余弦值为.较案近口米3解析设AC,BD的交点、为O,连接EO（图略），则N4E。为AE,5。所成的角或其补角.设正四棱锥的棱长为a,则AE=芈a,EO=^a,OA=^a,叱，、， ,AE2+EO2~OA2所以cos/AEO= 、AE-EO 2X^0% 3（2022•西安模拟）已知四面体ABCO的所有棱长均为M,N分别为棱AO,BC的中点，尸为棱4B上异于A,B的动点.则下列结论中正确结论的序号为.①线段MN的长度为1；②若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CO都是异面直线；③NM尸N的余弦值的取值范围是0,期；④周长的最小值为6+1.答案①④

解析在棱长为1的正方体上取如图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长为也的四面体ABCD,显然，M,N分别为正方体前后两个面的中心，故线段的长度为正方体棱长1,故①对;对于②，如图，取A8的中点尸，取MN的中点G,取C。的中点/,则由正方体的性质易知,F,G,/三点在一条直线上，故此时FG与CO相交于/,故②错;AA11=