2023年高三复习专项练习：第57练　球的切、接问题

第57练球的切、接问题—基础对点练考点一定义法（2022•荆州中学模拟）已知三棱锥。-A8C的四个顶点在球。的球面上，若A8=AC=BC=DB=DC=\,当三棱锥。-A8C的体积取到最大值时，球。的表面积为（）‘5兀c-c C2°兀A.-B.2兀C.5兀D.-^-答案A解析如图所示，当三棱锥。一A8C的体积取到最大值时，则平面ABCJ_平面08c.取BC的中点G,连接AG,DG,贝ij4G_L8C,DG±BC,分别取/XABC与△QBC的外心E,F,分别过E,F作平面48c与平面08c的垂线，相交于点。，连接80,0G,则。为三棱锥。一ABC外接球的球心，由AB=AC=BC=DB=DC=1,得正方形OEGF的边长为坐，贝UOG=*，二三棱锥D-ABC的外接球的半径R=y]OG2+BG2=...球。的表面积为47rx（2022•云南师大附中模拟）已知在直三棱柱ABC-AiBiCi中，ABLBC,AB=3,BC=4,A4i=3,设该直三棱柱的外接球的表面积为S,,该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为S2,S-S25-2

Uy」

贝S-S25-2

Uy」

贝A34--9D.9-2C答案D解析易知RtZXABC的外接圆直径为AC,所以半径长为|,设外接球半径为R,则尸=（1）2+倒2=¥，・・・51=4兀/?2=34兀,设氐△ABC的内切圆半径为r,则;X（3+4+5>r=gx3X4,：.r=\,V2r=2<3,故该直三棱柱内部半径最大的球的半径为『，/.52=47tr=47i,.5_34兀_17••豆=G=T.已知在三棱锥C-AB。中，△A3。是等边三角形，BCLCD,平面平面3CQ,若该三棱锥的外接球表面积为4n,则AC等于（）A亚R逅「、cd3答案c解析根据题意，画出图形，如图，取BO的中点凡连接CF,AF,设该外接球球心为O,半径为上贝《4兀/?2=4兀，解得R=],可知球心。为正△4B。的中心，连接0£）,所以。0=1,A0=l,所以正△ABO的边长为小，1因为BCVCD,所以 2'因为平面ABOJ_平面BCD,考点二补形法.（2022・广州模拟）已知直三棱柱ABC—4B6的6个顶点都在球。的球面上.若4BHC,4B=1,4c=3,44尸加，则球O的体积为（ ）

A.87t C.16ttD.3^答案D解析在直三棱柱ABC-AiBiCi中，AB_LAC,将直三棱柱ABC-A\B\C\补成长方体ABDC-AtBiDiCt,如图所示,所以球0的直径为2R=、AB2+Ad+AA彳=4,可得R=2,因此球。的体积为丫=平=苧..蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.已知某“鞠”的表面上有四个点A,B,C,D,满足AB=CO=9cm,8£）=AC=15cm,4O=BC=13cm,则该“鞠”的表面积为（）B.B.235ttcm2D.230兀cm?.475 2A.下fcm一「465 )cm-答案A解析将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示,则“鞠”的表面积为四面体4—3C。外接球的表面积,即为长方体外接球的表面积,设长方体棱长为a,b,c,则有/+力2=92,o2+c2=152,fe2+c2=132,设长方体外接球半径为七则有475(2R)2=a2+b2+c2,解得4收=亍，C475 -所以外接球的表面积S=4ti/?〜=~^7(cnr)..（2022•上饶模拟）在三棱锥P—4BC中，以，平面ABC,且附=AB=2,AB1BCS.BC=4,则三棱锥P-ABC的外接球表面积为.答案247r解析因为在三棱锥2一ABC中，以_£平面ABC,ABLBC,不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，且以=AB=2,BC=4,则长方体的长、宽、高分别为4,2,2,所以三棱锥尸一ABC外接球的半径R=1x严乔不=#,故三棱锥P-ABC外接球的表面积5=4成2=247t.考点三截面法.如图，圆柱的底面半径为r,高为h,记圆柱的表面积为S，圆柱外接球的表面积为S2,唔号，则例值为（）A.gB.|或1D.；或1答案D、/4/+.2解析・・•圆柱的表面积$=2兀7+2兀仍，圆柱的外接球的半径为、一，・，.其外接球的表面积S?=4兀）=兀（47+人2）,.Si42nr+2nrh=而=5=兀（4>+4）'即2〃2—5用+37=0,/*2：.（2h—3r）（h—r）=O,则石=Q或石=L已知△4BC是面积为乎的等边三角形，其顶点均在球。的表面上，当点P在球。的表面上运动时，三棱锥P—ABC的体积的最大值为日产，则球。的表面积为（ ）^32兀-27花一A.16兀B.每- D.4兀答案A解析如图所示，设点M为△ABC外接圆的圆心，当点P,O,M三点共线时，且尸，M位于点。的异侧时，三棱锥P-ABC的体积取得最大值.因为△ABC的面积为苧，所以边长为3,由于三棱锥P-ABC的体积的最大值为:X乎XPM=乎，得PM=3,易知PM_L平面ABC,则三棱锥「一ABC为正三棱锥，△ABC的外接圆直径为2AM= =2小，所以4M=小，sin3设球0的半径为R,则R2=OA2=AM2+（PM-PO）2=3+（3~R）2,解得R=2,所以球。的表面积S=4ttR2=]6兀（2022•肇庆第二中学模拟）在半径为R的球内放置一圆柱体，使圆柱体的两底面圆周上所有的点都在球面上，当圆柱体的体积最大时，其高为（）A.-j/? B.。迄 dA?答案A解析设圆柱底面圆半径为r,高为〃，如图，则OA=R,OG=专,GA=r,

故％则h=2y]R2-r2,圆柱体积V=itr2-h=Inr^R^—t2,设邓2—户=1,则/=/?2—产，所以V=2M(R2-t2),故V'=-6nl2+2nR2=—6n(P—^,n2 n2 n2当产=5•时，S=0,当户>了时，S<0,当Fvy时，V>0,d2所以当尸=^■时，圆柱体积取得最大值，此时〃=2r=2一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2,底面边长为2,则该球的表面积为.答案97r解析如图所示，。为底面正方形的中心,则OP=2,AB=2,则正四棱锥的外接球的球心O'在O尸上,则外接球的半径R满足（2—7?）2+（出）2=/?2,解得/?=-该球的表面积5=4兀/?2=9兀.能力提升练（2022・南昌质检）《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵ABC—ABiG中，AAt=AC=5,48=3,BC=4,则在堑堵48C-A|B|G中截掉阳马4一4884后的几何体的外接球的表面积是（）A.507t„125啦兀 __nnC.6 D,200兀答案A解析在堑堵ABC-AiB.Ci中截掉阳马Ct-ABB.Ai后，剩余的几何体为三棱锥A-BCC\,该几何体与堑堵ABC-4B1G的外接球是同一个球，因为A8=3,BC=4,AC=5,所以AB2+BC2=AC2,所以N4BC=90。，所以RtZkABC的外接圆直径为AC=5,所以堑堵ABC-AiBiG的外接球的直径为2R=、AC2+CG=5®所以R=平，因此，在堑堵4BC-48G中截掉阳马G-A83Al后的几何体的外接球的表面积是4兀依=50n.12.（多选）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内有一个方锥,方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18,则关于半球的说法正确的是（）A.半径是3 B.体积为18兀C.表面积为277t D.表面积为187t答案ABC解析如图，△以C是正四棱锥的对角面，设半球的半径为r,4c是半球的直径，则正四棱1 9锥底面边长为也r,棱锥体积为％='X（、「r）2Xr=3，=18,得r=3,2 ?半球体积为％=］兀，=1兀X3?=18兀，表面积为2nX32+nX32=27n.PAOC.（多选）（2022・重庆模拟）己知三棱柱ABC—481G的6个顶点全部在球。的表面上，AB=AC,NBAC=120。，三棱柱A8C-A|8iG的侧面积为8+4小，则球。的表面积可能是（）A.4兀B.8兀C.167rD.32兀答案CD解析设三棱柱ABC-ABiG的高为〃，A8=AC=a.因为N8AC=120。，所以BC=/a,则该三棱柱的侧面积为（2+小）勘=8+4小，故励=4.设N,M分别是三棱柱上、下底面的外心，则三棱柱外接球球心。是MN的中点，

设△A3C的外接圆半径为r,则例。=，==”后=〃.设球0的半径为R,则。02=/?2=/

/s1n倒2=〃2+牛=$+与24,当且仅当人=2啦时取等号，故球O的表面积为4兀叱216兀.（2022•西安模拟）A,B,C,。为球面上四点，M,N分别是A8,8的中点，以MN为直径的球称为AB,CC的“伴随球”，若三棱锥A-BCC的四个顶点在表面积为647t的球面上，它的两条边AB,CD的长度分别为2市和4小，则AB,CO的伴随球的体积的取值范围是.答案总甯］解析由题意知，三棱锥A-BCO的外接球。的半径为4,故。4=0。=4,且ONLCD,由勾