2023年高三复习专项练习：第40练　解三角形小题综合练

第40练解三角形小题综合练1.在△4BC中，a=3,b=6,sinA=T，则B等于（ ）▲兀 c2兀A3 BT瑞或冬 D.寺或普答案CJ3解析*•*a=3,b=6,sinA=4，Avir»A 4 a/3由正弦定理可得，sinB=型詈1=y=竽，T7• 4 a/31 , .4兀An又smA=H<^,a<h,・・4<4，A<B,解得B=：或号.2.（多选）已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=l,c=小,且asinBcosC+csin8cosA=；,则a等于（ ）A.1B.巾C.2D.a/2答案AC解析由asinBcosC+csinBcosA得sin3（〃cosC+ccosA）=bsin8=5,又b=T,所以sin8=J,Xc>b,所以角B一定是锐角,TOC\o"1-5"\h\z所以8=点.再由一得sinC=哗,所以。=聂。=乌，当C=与时，A=?,所以aO.7tsinC Z JJ 3 2s,n6=2,当C=专时，ZVIBC为等腰三角形，所以a=l.故a的值为1或2.（2022•南昌模拟）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB+bsinA=c,若a=2,ZVIBC的面积为3（啦-1）,则b+c等于（ ）A.5 B.2巾C.16 D.4答案D解析因为acosB+bsinA=c.所以由正弦定理可得，sinAcosB+sinBsinA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA.因为sinBWO,所以sinA=cosA,即tanA=l,又0<A5,所以A=因为S^ABc=^bcsinA=^hc=3(^f2-1),所以bc=6(2—yf2).因为。=2,所以由余弦定理可得，a2=4=b2+c1-2bccosA=(b+c)2-2bc-y[2bc=(b+c)2-6(2-y/2)(2+让)=(b+c)2—12,故b+c=4.4.已知四边形A8CO为圆内接四边形，AD=CD=2,AB=1,sinN3OC=2sinNCBD,则四边形A8CO的面积为()A.乎B.平C.市D.平答案D解析在△BCO中，由正弦定理得BC CDsinZBDC-sinZCBD,因为CO=2,sinZBDC=2sinZCBD,所以BC=4,由余弦定理得BD1=BC2+CD1-IBCCDcosC=20-16cosC,在△4BO中，由余弦定理得BZAuAl+A加-248AO.cosA=5-4cosA,所以20—16cosC=5—4cosA.因为四边形ABC。为圆内接四边形，所以A+C=tt,所以cosACOS(7t—C)=—cosC,所以20-16cosC=5+4cosC,3 3所以cosC=z，cosA=-4，一 S所以sinA=sinC=,所以四边形ABC。的面积为S=；XABXAOXsinA+；XBCXC£)XsinC=^p.5.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15。方向上，与灯塔S相距20nmile,随后货轮按北偏西30。的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）20（由+巡）nmile/h20（yj6—y[2）nmile/h20（巾+#）nmile/h20（加一小）nmile/h答案B解析由题意知SM=20nmile,NNMS=45。,・・・SM与正东方向的夹角为75。，MN与正东方向的夹角为60°,：.ZSNM=\05°：.NMSN=30。,在AMNS中,在AMNS中,利用正弦定理可得,MN20sin30o==sin105°，MN=/°质=10（-\/6—V2）nmile,76+72...货轮航行的速度10（加一的 r-r-v- ।——=20（46—y2）nmile/h.2.在△ABC中，设a,h,c分别是角4,B,C所对的边长，且直线ar+ycosA-cosB=0与xcosB—by+cosA=0垂直，则△ABC一定是（ ）A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形答案C解析当（：054=0且£：（«8=0时，两直线方程为x=0,y=0,相互垂直，因为角A,B,C是△ABC的内角，所以cosA与cosB不可能同时为0,故排除这种情况，因为直线ar+ycosA—cos8=0与xcosB-by+cosA=0垂直，所以acosB—bcosA=0,BPsinAcosB—cosAsinB=0,sin（A—B）=0,A=B,故aABC一定是等腰三角形..（多选）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,h,c,下列结论中正确的选项有（ ）A.若△ABC是锐角三角形，则sinA>cosB.若sin24=sin28,则△ABC为等腰三角形C.若片+/一/乂），则△ABC一定为锐角三角形D.若8=$。=2且该三角形有两解，则b的取值范围是（小，2）答案AD解析对于A选项，C=n—A—B<^,则 sinA>sin（T—B）=cos8,故A选项正确；对于B选项，由于sin2A=sin23=sin（7c—28）,由于A,B是三角形的内角，所以2A=2B或7T2A=n-2B,即A=B或A+B=E，所以△4BC可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项不正确；/+/一d对于C选项，由余弦定理得cosC=_五石_>0,可得C为锐角，但A或8可能为钝角，故C选项不正确；JT对于D选项，B=,,。=2,且该三角形有两解,所以asinB<b<a,即2sin 也即小v/?v2,故D选项正确..己知M是△ABC内的一点，且油•危=4小，NB4C=30。.若△M8C,△MCA和△AMB的面积分别为1，x,y,贝吐+?的最小值是（）xyA.12B.14C.16D.18答案c解析由Ak启=4/，ZBAC=30°,可得前||而=8,故Saabc=：丽II而sinNB4C=2,则x+y+l=2,即x+y=1,且x>0,>>0,故铝=©+凯+H+^+i。^2^?+10=16,当且仅当?=?,xy

即X=/y=3时取等号..(多选)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sin(B+A)+sin(B—4)=3sin2A,且c=市，C=1,则△ABC的面积是( )A.乎 B.平C画 D2答案AB解析由sin(B+A)+sin(B-A)=3sin2A,可得2sinBcosA=6sinAcosA.TT当cosA=0时，得A=],TT TT因为C=1,则B=&,又。=巾，由正弦定理得6=管霍=卑,由三角形的面积公式知△ABC的面积S=zZ?csinA=S=zZ?csinA=7<3当cosAW0时，由2sinBcosA=6sinAcosA,cr~\~hr-cr~\~9序一7得sin8=3sinA,根据正弦定理可知人=3a,由余弦定理可知cos。= = 7-2 =cosj=1,可得。=1,b=3,此时△A8C的面积S=/sinC=§F，综上可知，AABC的面积为手或乎..（多选）（2022•徐州模拟）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若。=®,a2+b2—c1=absinC»acosB+bsinA=c,则下列结论正确的是（ ）A.tanC=2 B.C.b=巾或b=3巾 D.ZXABC的面积为6答案ABD片+/一Q解析选项A,因为『+从一/=。戾me,所以，一=即sinC=2cosC,所以tanC=2,故选项A正确；选项B,因为acosB+bsinA=c,所以sinAcos8+sinBsinA=sinC,

即sinAcosB+sinBsinA=sin(A+B)=sinAcos8+cosAsinB,所以sinBsinA=cosAsinB,因为sinB>0,TT所以tanA=l,0<Avm即4=子故选项B正确;小、，小.，小“2#3®

2*5+2X—小、，小.，小“2#3®

2*5+2X—所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC—因为总=而方所以2啦一=3出故选项C错误;2选项D,SAA8C=%AinC=gx/X3^x¥=6,故选项D正确..如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔尸的南偏西75。，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为海里/小时.口 D解析在△A/NP中，由正弦定理可得，68sin120068二恒二，石由、MN=灯口45。=母=349（海里）,则这艘船的航行速度。=当值=挈（海里/小时）..在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若小sinA-cosA=1,a=2,则△ABC的面积的最大值为.答案S解析小sinA—cos4=2sin（A一聿）=1,即sin（AA£（0,Jr）,故4=争根据余弦定理a2=/?2+c2—2bccosA,得4=b2+c1—bc^2bc—bc=bc.当且仅当b=c=2时等号成立，

故△ABC的面积S=|hcsinA《小.故△ABC的面积的最大值为市..设AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若aABC的三边的长为连续的三个正整数，MA>B>C,A=2C,则sinA:sin8：sinC=.答案6：5：4解析在△ABC中，因为4>B>C,所以a>b>c,又a,b,c为连续的三个正整数，所以可设。=〃+1,b=n,c—n—1(〃23,〃WN*).由于A=2C,则sinA—sin2C,即a=2ccosC,所以n+l=2(n—所以n+l=2(n—1)•/+(〃+1)2—(〃-

2n(n+\)解得n=5,所以〃+1=6,n—1=4,即a：b：c=6：5：4.由正弦定理得sinA：sin3：sinC=〃：b:c=6：5：4..（2022•河北衡水中学模拟）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3AosC+23ccosB=56rsinA,且A为锐角，则当言取得最小值时，1片的值为.冬案卫m口