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第2课时指数函数及其性质的应用人教版必修1第二章基本初等函数(I)2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质第2课时指数函数及其性质的应用人教版必修1第二章基1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.学习目标1.理解指数函数的单调性与底数的关系.学习目标知识点一指数型复合函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单调性(1)复合函数y=f(g(x))的单调性:当y=f(x)与u=g(x)有相同的单调性时,函数y=f(g(x))单调

,当y=f(x)与u=g(x)的单调性相反时,函数y=f(g(x))单调

,简称为

.(2)当a>1时,函数y=af(x)与y=f(x)具有

的单调性;当0<a<1时,函数y=af(x)与函数y=f(x)的单调性

.答案相反递增递减同增异减相同知识点一指数型复合函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单返回知识点二指数型函数y=k·ax(k∈R且k≠0,a>0且a≠1)模型1.指数增长模型设原有量为N,每次的增长率为p,经过x次增长,该量增长到y,则y=N(1+p)x(x∈N).2.指数减少模型设原有量为N,每次的减少率为p,经过x次减少,该量减少到y,则y=N(1-p)x(x∈N).返回知识点二指数型函数y=k·ax(k∈R且k≠0,a>0题型一利用指数型函数的单调性比较大小例1比较下列各组中两个值的大小:(1)1.72.5,1.73;解

(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7,故构造函数y=1.7x,则函数y=1.7x在R上是增加的.又2.5<3,所以1.72.5<1.73.解析答案题型一利用指数型函数的单调性比较大小解析答案(2)0.6-1.2,0.6-1.5;解

(单调性法)由于0.6-1.2与0.6-1.5的底数都是0.6,故构造函数y=0.6x,则函数y=0.6x在R上是减少的.因为-1.2>-1.5,所以0.6-1.2<0.6-1.5.(3)2.3-0.28,0.67-3.1.解

(中间量法)由指数型函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,所以2.3-0.28<0.67-3.1.解析答案反思与感悟(2)0.6-1.2,0.6-1.5;解析答案反思与感悟1.对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数型函数的单调性来判断.2.对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数型函数图象的变化规律来判断.3.对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较,应通过中间值来比较.4.对于三个(或三个以上)数的大小比较,则应先根据特殊值0,1进行分组,再比较各组数的大小.反思与感悟1.对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数型解析答案跟踪训练1比较下列各题中的两个值的大小:(1)0.8-0.1,0.8-0.2;解

由指数型函数的性质知,y=0.8x是减函数,-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.(3)3-x,0.5-x(-1<x<0).解

∵-1<x<0,∴0<-x<1.而3>1,因此有3-x>1,又0<0.5<1,∴有0<0.5-x<1,∴3-x>0.5-x(-1<x<0).解析答案跟踪训练1比较下列各题中的两个值的大小:(3)3-解析答案题型二利用指数型函数的单调性解不等式∴3x-1≥-1,∴x≥0.故原不等式的解集是{x|x≥0}.解析答案题型二利用指数型函数的单调性解不等式∴3x-1≥-解析答案解分情况讨论:①当0<a<1时,函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在R上是减函数,∴x2-3x+1>x+6,∴x2-4x-5>0,根据相应二次函数的图象可得x<-1或x>5;②当a>1时,函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在R上是增函数,∴x2-3x+1<x+6,∴x2-4x-5<0,根据相应二次函数的图象可得-1<x<5.综上所述,当0<a<1时,x<-1或x>5;当a>1时,-1<x<5.反思与感悟解析答案解分情况讨论:反思与感悟1.利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.反思与感悟1.利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数解析答案跟踪训练2

(1)不等式4x<42-3x的解集是_______.(2)因为0<a<1,所以y=ax在R上是减函数.所以2x2-3x+7<2x2+2x-3,解得x>2.所以不等式的解集是{x|x>2}.{x|x>2}解析答案跟踪训练2(1)不等式4x<42-3x的解集是__解析答案题型三指数型函数的单调性反思与感悟解析答案题型三指数型函数的单调性反思与感悟反思与感悟∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,反思与感悟∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上1.关于指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0<a<1;二是f(x)的单调性,它由两个函数y=au,u=f(x)复合而成.2.求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考查f(u)和φ(x)的单调性,求出y=f[φ(x)]的单调性.反思与感悟1.关于指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性解析答案令u=-x2+2x,则y=2u.当x∈(-∞,1]时,函数u=-x2+2x为增函数,函数y=2u是增函数,当x∈[1,+∞)时,函数u=-x2+2x为减函数,函数y=2u是增函数,解析答案令u=-x2+2x,则y=2u.当x∈[1,+∞)时解析答案题型四指数型函数的综合应用(1)求a的值;解

∵f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由);故f(x)在R上为减函数.解析答案题型四指数型函数的综合应用(1)求a的值;(2)判解析答案反思与感悟(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.解

∵f(x)为奇函数,∴f(t2-2t)+f(2t2-k)<0可化为f(t2-2t)<f(k-2t2),由(2)知f(x)在R上单调递减,∴t2-2t>k-2t2,即3t2-2t-k>0对于一切t∈R恒成立,解析答案反思与感悟(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-21.由f(x)为奇函数求参数值,常用赋值法:若0在定义域内,则利用f(0)=0;若0不在定义域内,可考虑使用f(1)+f(-1)=0.而由f(x)为偶函数求参数值,则常常利用f(1)-f(-1)=0.2.指数型函数是一种基本的初等函数,常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起,按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可.反思与感悟1.由f(x)为奇函数求参数值,常用赋值法:若0在定义域内,解析答案(1)求a的值;解依题意,对一切x∈R,有f(x)=f(-x),即a2=1.又a>0,∴a=1.解析答案(1)求a的值;即a2=1.又a>0,∴a=1.解析答案(2)求证f(x)在(0,+∞)上是增函数.证明设0<x1<x2,∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2).即f(x)在(0,+∞)上是增函数.解析答案(2)求证f(x)在(0,+∞)上是增函数.∴f(x利用图象解决复合函数的单调性解题思想方法解析答案反思与感悟利用图象解决复合函数的单调性解题思想方法解析答案反思与感悟因为u≥0,所以f(u)是增函数.反思与感悟所以f(g(x))的单调递增区间为[0,+∞),单调递减区间为(-∞,0].因为u≥0,所以f(u)是增函数.反思与感悟所以f(g(x)求复合函数y=f(g(x))的单调区间时,如果内函数y=g(x)的图象容易画出,那么就可以通过图象求出这个函数的单调区间,从而简化解题过程.反思与感悟求复合函数y=f(g(x))的单调区间时,如果内函数y=g((1)作出图象;解析答案(1)作出图象;解析答案返回(2)由图象指出其单调区间;解由图象观察知函数在(-∞,-2]上是增函数,在(-2,+∞)上是减函数.(3)由图象指出,当x取什么值时,函数有最大值或最小值.解析答案返回(2)由图象指出其单调区间;解析答案解析答案1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则a,b,c的大小关系是(

)A.a>b>c

B.b>a>cC.c>b>a

D.c>a>b解析

先由函数y=0.8x判断前两个数的大小,再用“1”作为中间量比较1.20.8与其他两个数的大小.D当堂检测解析答案1.已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.解析答案B解析答案B解析答案A.(-∞,+∞) B.(0,+∞)C.(1,+∞) D.(0,1)A∵u=1-x在(-∞,+∞)上为减函数.解析答案A.(-∞,+∞) B.(0,+∞)A∵u=1-∴f(x)为R上的减函数,∴由f(m)>f(n)可知m<n.故填m<n.解析答案m<n∴f(x)为R上的减函数,解析答案m<n解析答案解析∵函数f(x)为奇函数,解析答案解析∵函数f(x)为奇函数,1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小,可运用指数型函数y=ax的单调性.(2)比较形如am与bn的大小,一般找一个“中间值c”,若am<c且c<bn,则am<bn;若am>c且c>bn,则am>bn.2.指数型函数单调性的应用(1)形如y=af(x)的函数的单调性:令u=f(x),x∈[m,n],如果两个函数y=au与u=f(x)的单调性相同,则函数y=af(x)在[m,n]上是增函数;如果两者的单调性相异(即一增一减),则函数y=af(x)在[m,n]上是减函数.(2)形如ax>ay的不等式,当a>1时,ax>ay⇔x>y;当0<a<1时,ax>ay⇔x<y.返回课堂小结1.比较两个指数式值大小的主要方法返回课堂小结第2课时指数函数及其性质的应用人教版必修1第二章基本初等函数(I)2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质第2课时指数函数及其性质的应用人教版必修1第二章基1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.学习目标1.理解指数函数的单调性与底数的关系.学习目标知识点一指数型复合函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单调性(1)复合函数y=f(g(x))的单调性:当y=f(x)与u=g(x)有相同的单调性时,函数y=f(g(x))单调

,当y=f(x)与u=g(x)的单调性相反时,函数y=f(g(x))单调

,简称为

.(2)当a>1时,函数y=af(x)与y=f(x)具有

的单调性;当0<a<1时,函数y=af(x)与函数y=f(x)的单调性

.答案相反递增递减同增异减相同知识点一指数型复合函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单返回知识点二指数型函数y=k·ax(k∈R且k≠0,a>0且a≠1)模型1.指数增长模型设原有量为N,每次的增长率为p,经过x次增长,该量增长到y,则y=N(1+p)x(x∈N).2.指数减少模型设原有量为N,每次的减少率为p,经过x次减少,该量减少到y,则y=N(1-p)x(x∈N).返回知识点二指数型函数y=k·ax(k∈R且k≠0,a>0题型一利用指数型函数的单调性比较大小例1比较下列各组中两个值的大小:(1)1.72.5,1.73;解

(单调性法)由于1.72.5与1.73的底数都是1.7,故构造函数y=1.7x,则函数y=1.7x在R上是增加的.又2.5<3,所以1.72.5<1.73.解析答案题型一利用指数型函数的单调性比较大小解析答案(2)0.6-1.2,0.6-1.5;解

(单调性法)由于0.6-1.2与0.6-1.5的底数都是0.6,故构造函数y=0.6x,则函数y=0.6x在R上是减少的.因为-1.2>-1.5,所以0.6-1.2<0.6-1.5.(3)2.3-0.28,0.67-3.1.解

(中间量法)由指数型函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,所以2.3-0.28<0.67-3.1.解析答案反思与感悟(2)0.6-1.2,0.6-1.5;解析答案反思与感悟1.对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数型函数的单调性来判断.2.对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数型函数图象的变化规律来判断.3.对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较,应通过中间值来比较.4.对于三个(或三个以上)数的大小比较,则应先根据特殊值0,1进行分组,再比较各组数的大小.反思与感悟1.对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数型解析答案跟踪训练1比较下列各题中的两个值的大小:(1)0.8-0.1,0.8-0.2;解

由指数型函数的性质知,y=0.8x是减函数,-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.(3)3-x,0.5-x(-1<x<0).解

∵-1<x<0,∴0<-x<1.而3>1,因此有3-x>1,又0<0.5<1,∴有0<0.5-x<1,∴3-x>0.5-x(-1<x<0).解析答案跟踪训练1比较下列各题中的两个值的大小:(3)3-解析答案题型二利用指数型函数的单调性解不等式∴3x-1≥-1,∴x≥0.故原不等式的解集是{x|x≥0}.解析答案题型二利用指数型函数的单调性解不等式∴3x-1≥-解析答案解分情况讨论:①当0<a<1时,函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在R上是减函数,∴x2-3x+1>x+6,∴x2-4x-5>0,根据相应二次函数的图象可得x<-1或x>5;②当a>1时,函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在R上是增函数,∴x2-3x+1<x+6,∴x2-4x-5<0,根据相应二次函数的图象可得-1<x<5.综上所述,当0<a<1时,x<-1或x>5;当a>1时,-1<x<5.反思与感悟解析答案解分情况讨论:反思与感悟1.利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.反思与感悟1.利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数解析答案跟踪训练2

(1)不等式4x<42-3x的解集是_______.(2)因为0<a<1,所以y=ax在R上是减函数.所以2x2-3x+7<2x2+2x-3,解得x>2.所以不等式的解集是{x|x>2}.{x|x>2}解析答案跟踪训练2(1)不等式4x<42-3x的解集是__解析答案题型三指数型函数的单调性反思与感悟解析答案题型三指数型函数的单调性反思与感悟反思与感悟∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,反思与感悟∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上1.关于指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a>1还是0<a<1;二是f(x)的单调性,它由两个函数y=au,u=f(x)复合而成.2.求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考查f(u)和φ(x)的单调性,求出y=f[φ(x)]的单调性.反思与感悟1.关于指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性解析答案令u=-x2+2x,则y=2u.当x∈(-∞,1]时,函数u=-x2+2x为增函数,函数y=2u是增函数,当x∈[1,+∞)时,函数u=-x2+2x为减函数,函数y=2u是增函数,解析答案令u=-x2+2x,则y=2u.当x∈[1,+∞)时解析答案题型四指数型函数的综合应用(1)求a的值;解

∵f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由);故f(x)在R上为减函数.解析答案题型四指数型函数的综合应用(1)求a的值;(2)判解析答案反思与感悟(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围.解

∵f(x)为奇函数,∴f(t2-2t)+f(2t2-k)<0可化为f(t2-2t)<f(k-2t2),由(2)知f(x)在R上单调递减,∴t2-2t>k-2t2,即3t2-2t-k>0对于一切t∈R恒成立,解析答案反思与感悟(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-21.由f(x)为奇函数求参数值,常用赋值法:若0在定义域内,则利用f(0)=0;若0不在定义域内,可考虑使用f(1)+f(-1)=0.而由f(x)为偶函数求参数值,则常常利用f(1)-f(-1)=0.2.指数型函数是一种基本的初等函数,常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起,按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可.反思与感悟1.由f(x)为奇函数求参数值,常用赋值法:若0在定义域内,解析答案(1)求a的值;解依题意,对一切x∈R,有f(x)=f(-x),即a2=1.又a>0,∴a=1.解析答案(1)求a的值;即a2=1.又a>0,∴a=1.解析答案(2)求证f(x)在(0,+∞)上是增函数.证明设0<x1<x2,∴f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2).即f(x)在(0,+∞)上是增函数.解析答案(2)求证f(x)在(0,+∞)上是增函数.∴f(x利用图象解决复合函数的单调性解题思想方法解析答案反思与感悟利用图象解决复合函数的单调性解题思想方法解析答案反思与感悟因为u≥0,所以f(u)是增函数.反思与感悟所以f(g(x))的单调递增区间为[0,+∞),单调递减区间为(-∞,0].因为u≥0,所以f(u)是增函数.反思与感悟所以f(g(x)求复合函数y=f(g(x))的单调区间时,如果内函数y=g(x)的图象容易画出,那么就可以通过图象求出这个函数的单调区间,从而简化解题过程.反思与感悟求复合函数y=f(g(x))的单调区间时,如果内函数y=g((1)作出图象;解析答案(1)作出图象;解析答案返回

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