自控课后习题答案-第7章非线性

7－1

x2(x1)2x02(x0

1

x2(x1)2x(x x-143210 图7- 相轨迹x0

x x 图7- 相轨迹

sin 2 00图7- 相轨迹2u2u11 7－4 cucuc2c开关线为c100000（2）c1时 00（3）c<-1c2，积分得c24(c0由于c(0c01c(00，满足（1，即00

当相轨迹与开关线c1c

c0107-5TT4tab 1c0tc0

dc2c02c0c01T

4c0200c0c0nnx2

2n

0x0n

A2x2,x0,x 2T2

dxnA2nA2x

x02(1xA xA

1n

) 周期Tn

aaxcb3210 x图7- 相轨迹7－37-6c（0）=-3,c(0)=02u21s(sc7-6非线性控制系统

cc2,c开关线为c2

2

0c2,0, 33此时特征方程为210，特征根为

0.5

2c0时,0时,2时,cc图7- 相轨迹ct7-8

ax1bx2cx1讨论常数a、b、c、d与相平面（x1、x2）解令dx1

ax1bx2cx1

（0，0cc

bx1令A

2 bd d

2 det[IA]2(ad)ad1

22

2若ad-bc<0,则1020若ad-bc>03、当（a+d）<0,且（a+d）2-4(ad-bc)<0，1，2为实部小于零的共轭复根，奇点为稳定的焦点4、当（a+d）>0,且（a+d）2-4(ad-bc)>0，1，2为正实根，奇点为不稳定的节5、当（a+d）<0,且（a+d）2-4(ad-bc)>0，1，2为负实根，奇点为稳定的节点e(03h、e(0)0Ks(TsKs(TsMh图7- E(s)U

即s(Ts eu euM,e

e0,0,e开关线为eh

e<-,

eKM;

0eKM;eh图7- 相轨迹TdedeKueh图7- 相轨迹

TdedeKudtK

t uT(e0e0)K(uu)

KM7-10MM -1 c7－6用用

7－11C(s)U s

u

0有，开关线为c00000c0时，cM，积分 00007-12图7- 相轨迹(2)00时，开关线变为c1c07-137-14 图7-13相轨迹 图7-14相轨迹cc-505.5 7-15所示，若要求温度保持200C，温箱由常温20CccTc(s)U

100s

cc

u

将e200Tc

c cc

ccc c

7-15

605Tct

605

36.77s，精度50c7-16图7- 相轨迹7－87－4所示非线性系统。若r(t)r0r1t(t0解：选取e和e为相坐

e

uu

ee其中ercr(tr0r1t(t0，将其代入22

eee开关线为e1

积分得e2e2

7-177-18eet图7- 相轨迹 图7-18时间响应曲 - ∆

- ∆△b 图7- jkjk1/N(X7-207=19（(a)Xsint作用下MkXsinyMkXsin2

0ttB1 (MkXsint)sintd02[McostkX(1t1sin 2[2M1kX]4MNX

4M1

4MkM M kkMMk

7-

k，

1N(X

的最小值为 1k1ΔKΔkΔKΔkΔΔΔ

图7-1()XN(X)2k[arcsin 1()X 441(Xk

X

，X1负倒描述函数曲线如图7-23所示，其最小值为 kk kk kΔkb

图7-则描述函 N(X)2k

arcsin

1 )1

arcsinb

XbX1(bXbX1(bXbX1(bXbX1(bX

X1(X负 描述函数曲线如图X1(X k

1/N(X

1/N(X 图7-23非线性特性负倒描述函 图7-25非线性特性负倒描述函7- eecs(s1)(s-7-26-N(X) N(X

4

10(22G(j)

(21)(2

j(21)(2Gj和

N(X

jAImGj)0，得jA

2Re[G(

2)]

(21)(2

令X1.674

X容易判定A点对应的周期运动是稳定的。因此，X2.13 27-

Gj和

N(X

M、T1、T2应满足的条件。cM-7－287－9（a）NX

K

T

K(TT2G(j) j 1 (T221)(T22 (T221)(T22 令Im[G(j)] Re[G(j)]T11若 与G(j)有交点，则会有自振自振的条件1N(X

—KT1

1K1K

T1T2T114sss7－127-2914sss7-29X

j4MhX

XN(X)

j16X

X N(X

j X2G(j)

10(T

3TdIm[G(3T 0,求得3T3T令Im[G

)]

若T0.138Gj与

N(X

T＝0.138Gj)与

N(X

相切T0.138,Gj)与

N(X

有两个交点三种情况下G(j)和

N(X

7-30ab点对应稳定的周期运动。这里T0.250.138，存在ImG(j)

,有3402160解出11.187;22.2;3b点对应自振，自振频率312.4;由Re[Gj12.4)令

N(X

0.081,X(s)(Ts1)(s1)sX (0.25j1)(j

12

1.08jab因此输出的 幅和频率分别为0.33jab7-

Gj和

N(X K的关系。222Ks(0.1s1)(0.2s图7- N(X)2[arcsin2

1 1 X

XG(j)

[(0.2)21][(0.2)2

j[(0.1)21][(0.2)22令ImG(j)0,解得 2ReG(

2)Gj和

N(X

7-32所示。K

N(X

沿负实轴从(1,j0)到(,故要产生自振，应使

1,或K15K值增大，自振振幅增大，但频率不jj（-7-

Gj和

N(Xs21KM-s21KM-cuu

图7- NXX N(X

K线性部分的频率特性为Gj)

1当1Gj

u

cc00c<0时有ccKM，解得c2cKM)2c2cKM000000c相 迹如图7-34c何 始条件都对应一个期 T<2,T无 限环

1两 图7- 7-35中所示的一阶非线性系统，并比较和分MMuKTsch7-35（1）u

ch和chcch和chc开关线为ch

（ch或chc0，即c1cKM

（ch或chc0，即c1c N(X)

j11(hX

X N(X

j1(h)2XGj和

N(X

7-37所示。从图中可以看出Gj和

N(X

N(X

（1）--hjK-716分别用相

图7-36相轨迹

Gj和

N(X1 1 cc47-38

c

c

1212特征方程221

解得1

,

1特征方程2210，即112

2N(X)

j11(hX

X N(X

j X X2

h0.1,M4G(j)

XX24(22

j4 (221)2 (221)2Gj和

N(X

7-40ImGj)0.141.25641.572160.31411.085j2.177

21.085j2.177不合题2

Re[G(j2.15)]

N(X

0.374有XjcA-B图7-39相轨迹

Gj和

N(Xxys1s2－s 非线性系统如图7-41所示，计算图中由x到y的非线性网络的描述函数，求出图示 xys1s2－s7-41x(t)Xsin

则y(t)x2ty(t)X3sin2tcosX3cost1cos221X3cost1X3cos2t 1X3cost1X3[cos3 1X3cost1X3cos3 A=1

N(X,)G(j)

j1X41121N(X,)G(j)1j14 X 1X2442