线性代数第五章相似矩阵与二次型课件

第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型§1向量的内积、长度及正交性一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念§1向量的内积、长度及正交性一、内积的定义及性质二、向量定义1内积一、内积的定义及性质(Innerproduct)

定义1内积一、内积的定义及性质(Innerproduct)内积的运算性质施瓦茨不等式内积的运算性质施瓦茨不等式定义2

令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质(norm)定义2令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度单位向量夹角1.2.正交、正交向量组的概念(orthogonal)正交

若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．单位向量夹角1.2.正交、正交向量组的概念(orthogo§2方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念二、特征值和特征向量的求法三、特征值和特征向量的性质§2方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念二、说明一、特征值与特征向量的概念定义1设

A是

n

阶矩阵,若数

和

n维非零列向量

x

使关系式

Ax

=

x成立,则称数

为方阵

A的特征值,非零列向量

x称为

A的对应于特征值

的特征向量.2.特征值问题只对方阵而言.说明一、特征值与特征向量的概念定义1设A是n阶矩线性代数第五章相似矩阵与二次型课件线性代数第五章相似矩阵与二次型课件二、特征值与特征向量的求法求方阵的特征值与特征向量的步骤：二、特征值与特征向量的求法求方阵的特征值与特征向解例1

解例1线性代数第五章相似矩阵与二次型课件求方阵的特征值与特征向量的步骤：求方阵的特征值与特征向量的步骤：例２

解例２解线性代数第五章相似矩阵与二次型课件线性代数第五章相似矩阵与二次型课件例３

设求A的特征值与特征向量．解例３设求A的特征值与特征向量．解线性代数第五章相似矩阵与二次型课件得基础解系为：得基础解系为：例４

证明：若是矩阵A的特征值,x是A的属于

的特征向量，则证明再继续施行上述步骤次，就得例４证明：若是矩阵A的特征值,x是A线性代数第五章相似矩阵与二次型课件例5例5例6例6三、特征值和特征向量的性质1.2.三、特征值和特征向量的性质1.2.§3相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相似变换的性质三、利用相似变换将方阵对角化§3相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相似变换的性质二、相似矩阵与相似变换的性质证明定理3证明定理3推论

若

阶方阵A与对角阵推论若阶方阵A与对角阵定理定理三、利用相似变换将方阵对角化定理4三、利用相似变换将方阵对角化定理4

如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论说明：如果A的特征方程有重根，此时不一定有

n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量，

A还是能对角化．（A与对角阵相似的充分条件）如果阶矩阵的个特征值互不相等，推论说明：例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解之得基础解系解之得基础解系求得基础解系求得基础解系解之得基础解系故不能化为对角矩阵.解之得基础解系故不能化为对角矩阵.A能否对角化？若能对角例2解A能否对角化？若能对角例2解解之得基础解系解之得基础解系所以可对角化.所以可对角化.注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置例3设问x为何值时，矩阵A能对角化？解：例3设问x为何值时，矩阵A能对角化？解：得所以得所以§4对称矩阵的对角化问题：什么样的矩阵可以进行对角化？答案：对称矩阵可以对角化§4对称矩阵的对角化问题：什么样的矩阵可以进行对角化？§5二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念二、二次型的表示方法三、二次型的矩阵及秩§5二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念二、二一、二次型及其标准形的概念例如都为二次型.

称为n元二次型,简称二次型一、二次型及其标准形的概念例如都为二次型.称为n元只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如为二次型的标准形.称为二次型的规范形．例如为二次型的规范形.

p:正惯性指数r-p:负惯性指数2p-r:符号差只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如为二次二、二次型的表示方法用矩阵表示二、二次型的表示方法用矩阵表示线性代数第五章相似矩阵与二次型课件线性代数第五章相似矩阵与二次型课件三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型解解例2例2所求矩阵为二次型的标准形的矩阵为对角矩阵所求矩阵为二次型的标准形的矩阵为对角矩阵三、合同矩阵三、合同矩阵§7正定二次型一、正定二次型的概念二、正(负)定二次型的判别§7正定二次型一、正定二次型的概念二、正(负)定二次为正定二次型为负定二次型一、正定二次型的概念例如为正定二次型为负定二次型一、正定二次型的概念例如二、正(负)定二次型的判别推论对称矩阵

A

为正定的充要条件是：

A

的特征值全为正．二、正(负)定二次型的判别推论对称矩阵A为正定的充要条定理11(霍尔维茨定理)对称矩阵

A为正定的充分必要条件是：

A

的各阶主子式为正，即对称矩阵

A为负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即定理11(霍尔维茨定理)对称矩阵A为负定的充要条件是：奇例1判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故f是正定二次型.例1判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故f是例,问二次型是否正定？例,问二次型是否正定？正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质例2判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，例2判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别例3判别二次型的正定性.解例3判别二次型的正定性.解例4解例4解2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)顺次主子式判别法；(3)特征值判别法.三、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系．2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：(1)定义法；(2)本章重点

特征值、特征向量矩阵的对角化二次型的表示、二次型的矩阵正定二次型及其判定本章重点特征值、特征向量第五章相似矩阵及二次型第五章相似矩阵及二次型§1向量的内积、长度及正交性一、内积的定义及性质二、向量的长度及性质三、正交向量组的概念§1向量的内积、长度及正交性一、内积的定义及性质二、向量定义1内积一、内积的定义及性质(Innerproduct)

定义1内积一、内积的定义及性质(Innerproduct)内积的运算性质施瓦茨不等式内积的运算性质施瓦茨不等式定义2

令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度及性质(norm)定义2令长度范数向量的长度具有下述性质：二、向量的长度单位向量夹角1.2.正交、正交向量组的概念(orthogonal)正交

若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．单位向量夹角1.2.正交、正交向量组的概念(orthogo§2方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念二、特征值和特征向量的求法三、特征值和特征向量的性质§2方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念二、说明一、特征值与特征向量的概念定义1设

A是

n

阶矩阵,若数

和

n维非零列向量

x

使关系式

Ax

=

x成立,则称数

为方阵

A的特征值,非零列向量

x称为

A的对应于特征值

的特征向量.2.特征值问题只对方阵而言.说明一、特征值与特征向量的概念定义1设A是n阶矩线性代数第五章相似矩阵与二次型课件线性代数第五章相似矩阵与二次型课件二、特征值与特征向量的求法求方阵的特征值与特征向量的步骤：二、特征值与特征向量的求法求方阵的特征值与特征向解例1

解例1线性代数第五章相似矩阵与二次型课件求方阵的特征值与特征向量的步骤：求方阵的特征值与特征向量的步骤：例２

解例２解线性代数第五章相似矩阵与二次型课件线性代数第五章相似矩阵与二次型课件例３

设求A的特征值与特征向量．解例３设求A的特征值与特征向量．解线性代数第五章相似矩阵与二次型课件得基础解系为：得基础解系为：例４

证明：若是矩阵A的特征值,x是A的属于

的特征向量，则证明再继续施行上述步骤次，就得例４证明：若是矩阵A的特征值,x是A线性代数第五章相似矩阵与二次型课件例5例5例6例6三、特征值和特征向量的性质1.2.三、特征值和特征向量的性质1.2.§3相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相似变换的性质三、利用相似变换将方阵对角化§3相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相似变换的性质二、相似矩阵与相似变换的性质证明定理3证明定理3推论

若

阶方阵A与对角阵推论若阶方阵A与对角阵定理定理三、利用相似变换将方阵对角化定理4三、利用相似变换将方阵对角化定理4

如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似．推论说明：如果A的特征方程有重根，此时不一定有

n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化，但如果能找到n个线性无关的特征向量，

A还是能对角化．（A与对角阵相似的充分条件）如果阶矩阵的个特征值互不相等，推论说明：例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解之得基础解系解之得基础解系求得基础解系求得基础解系解之得基础解系故不能化为对角矩阵.解之得基础解系故不能化为对角矩阵.A能否对角化？若能对角例2解A能否对角化？若能对角例2解解之得基础解系解之得基础解系所以可对角化.所以可对角化.注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．注意即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置例3设问x为何值时，矩阵A能对角化？解：例3设问x为何值时，矩阵A能对角化？解：得所以得所以§4对称矩阵的对角化问题：什么样的矩阵可以进行对角化？答案：对称矩阵可以对角化§4对称矩阵的对角化问题：什么样的矩阵可以进行对角化？§5二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念二、二次型的表示方法三、二次型的矩阵及秩§5二次型及其标准形一、二次型及其标准形的概念二、二一、二次型及其标准形的概念例如都为二次型.

称为n元二次型,简称二次型一、二次型及其标准形的概念例如都为二次型.称为n元只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如为二次型的标准形.称为二次型的规范形．例如为二次型的规范形.

p:正惯性指数r-p:负惯性指数2p-r:符号差只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）．例如为二次二、二次型的表示方法用矩阵表示二、二次型的表示方法用矩阵表示线性代数第五章相似矩阵与二次型课件线性代数第五章相似矩阵与二次型课件三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型解解例2例2所求矩阵为二次型的标准形的矩阵为对角矩阵所求矩阵为二次型的标准形的矩阵为对角矩阵三、合同矩阵三、合同矩阵§7正定二次型一、正定二次型的概念二、正(负)定二次型的判别§7正定二次型一、正定二次型的概念二、正(负)定二次为正定二次型为负定二次型一、正定二次型的概念例如为正定二次型为负定二次型一、正定二次型的概念例如二、正(