2021版江苏高考数学复习讲义：基本不等式含答案

/251i3则a^i+2b的最小值为2+\空故选a」消元法求最值对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元（三元化二元，二元化一元）.（20xx・嘉兴期B.8,/2D.9末）已知a>0,b>0,且2a+b=ab—1,贝Oa+B.8,/2D.9A.5+^'6C.5A[Ta〉。，b>0,且2a+b=ab—1,••a=b+1

b—2>••a=b+1

b—2>0,•b>2,••a+2b=b+13b—2+2b=2(b—2)+^+5±±5+2错误!=5+2错误!.3当且仅当2(3当且仅当2(b—2)=^—即b=2+•a+2b的最小值为5+2\：6.故选A.]求解本题的关键是将等式“2ab+1+b=ab—1”变形为“a=b—2，然后借助配凑法求最值.（20xx・新余模ab31拟）已知正实数a,b,c满足a2—2ab+9b2—c=0,贝V当"C取得最大值时，2+b12—T的最大值为（）9A.3B.4C.1D.0

a9baab1，即a=3b时，t取最大值4.C［由正实数a,b,c满足a2—a9baab1，即a=3b时，t取最大值4.a2—2ab+9b2a+^_^4，当且仅当babba2又因为a2—2ab+9b2—c=0.所以此时c=12b2.所以a+31所以a+3112ifbPb>」b+2-b、41,故最大值为1.]利用两次基本不等式求最值当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等

式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性.已知a>b>0,那么a2+错误!的最小值为•4[由题意a>b>0,贝Va—b>0,所以b所以b(a—b)W(b+a—b\2a2所以a2+错误！三a2+错误！三2错误！=4,当且仅当b=a—b且a2=a2，即a=、任,b=2-时取等号，所以°2+错误!的最小值为4.]由于b+(a—b)为定值，故可求出b(a—b)的最大值，然后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值.a4+4b4+l若a,beR,ab>0,则ab的最小值为[因为ab>0,所以a4+4b4+l

ab>2^/4a4b4+l4a2b2+l[因为ab>0,所以a4+4b4+l

ab>2^/4a4b4+l4a2b2+l"abab=4ab+1ab:4ab•1

aba2=2b2.=4,当且仅当1ab=2时取等号,a4+4b4+l

ab的最小值是4.]:考点2利用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题的3个注意点设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.

根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50Wx<120)的关系可近似表示为y=错误！该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？已知A，B两地相距120km,假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少?[解](1)当xe[50,80)时，y=2(x2—130x+4900)^1©—65)2+675],7575所以当x=65时，y取得最小值，最小值为675=9.x当xe[80,120]时，函数y=12—60单调递减,故当x=故当x=120时，y取得最小值，最小值为12120=10.因为9<10，所以当x=65，即该型号汽车的速度为65km/h时，可使得每小时耗油量最少.(2)设总耗油量为l(2)设总耗油量为lL，由题意可知l=y120x3—13。—丄1208(,4900)83—13。当x$[50,80)时，l=y——=匚x+—130三三2x5(x丿5(=16,4900当且仅当x=，即x=70时，l取得最小值，最小值为16.xrz」1201440帆当xe[80,120]时，l=y・——=—2为减函数，xx所以当x=120时，l取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120km/h时，总耗油量最少.当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.(20xx・上海模拟)经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货Bxx(单位)的函数关系T(d=pAC+丄，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费.x某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2500元.若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？Bx［解］(1)因为年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)=^+ACx其中ACx其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费,C为每次订货费.由题意可得：A=6000，B=120,C=2500,所以年存储成本费T所以年存储成本费T(x)=60x+15000000x若该化工厂每次订购300吨甲醇,所以年存储成本费为T(3OO)=6OX3OO+15~000r000=68000.(2)因为年存储成本费T(x)=(2)因为年存储成本费T(x)=60x+15000000xx>0.所以T(x)=60x+15000000x±2-j60X15000000=60000,当且仅当60x=15000000，即x=500时，取等号x所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60000元.:考点3基本不等式的综合应用基本不等式的综合应用的2类问题与函数、数列等知识交汇的最值问题：此类问题常以函数、数列等知识为载体，以基本不等式为解题工具，求解最值或取值范围.求参数值或取值范围：对于此类题目，要观察题目特点，利用基本不等式确定相关关系式成立的条件，从而得参数的值或取值范围.

(l)(20xx・台州模14y拟)若两个正实数x,y满足x+y=1，且存在这样的x,y使不等式x+4Vm2+3m有解，则实数m的取值氾围是()A.(—1,4)B.(—4,1)C.(—I—4)U(1，+^)D.(—I，—3)U(0,+^)(20xx・衡阳一模)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号•函数y=[x](x^R)称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[—则函数y—fx)]的值域是()(0,1]{—1,0,1}2.1]则函数y—fx)]的值域是()(0,1]{—1,0,1}TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"A.{0,1}B.\o"CurrentDocument"C.(0,1)D.(20xx・定远模拟)已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b，c若2bcosC—ccosB，则tah+tah+盒的最小值为()A.2^B\5C.*D.2\/5

TOC\o"1-5"\h\z14EC(2)A(3)A[(1)・・・正实数x,y满足一+-=1,xy・・・x+4二/IMI4人xy・・・x+4二/IMI4人xy丿=2tan2B—1+1斗C3tanBtanB2tanB,7_3tanB+6tanB.十+*2+2tan2B—1+1斗C3tanBtanB2tanB,7_3tanB+6tanB.4xy14当且仅当厂衣且严厂1，即T,尸8时取等号‘•・•存在x,y使不等y式x+jVm2+3m有解,・°・4Vm2+3m，解得m>l或mV—4,故选C.2x+1⑵2x+1⑵2x+2T?2xtanA+tanB+tantanA+tanB+tan又•・•在锐角△ABC中,tanB>0,・・・|tanB+6t£^2272“T?3tanBX6^=3'T2x+2X±2,・・・0Vfx)W1,则函数y=[fx)]的值域为{0,1},故选A.(3)°・°2bcosC=ccosB,・・2sinBcosC=sinCcosB,tanC=2tanB.又A+B+C=n,tanA=tan[n—(B+C)]=—tan(B+C)3tanBtanB+tanC3tanB3tanB1—tanBtanC1—2tan2B2tan2B—1'当且仅当tanB=+时取等号,•\tanA'tanB1tanC丿min^斗,故选A.]

条件不等式的最值问题，常通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.在转化过程中相应知识起到穿针连线的作用.31.已知a>0,b>0,若不等式a1m+b刍+3b恒成立，则m的最大值为（）B.12D.24A.B.12D.24C.18,31mBMa+b-o+P得m<(a+3b)f-+p(ab丿9ba卜9ba卜b+6.又¥+彳+6三2\勺+6=12(当且仅当9b=b,即a=3b时等号成立),・・・mW12,・・・m的最大值为12.]2.两圆x2+y2—2my+m2—1=0和x2+y2—4nx+4n2—9=0恰有一条公切线41，若m^R,n^R,且mnH0,则話+於的最小值为()B.2A.1B.2C.3D.4C.3D[由题意可知两圆内切，x2+y2—2my+m2—1=0化为x2+(y—m)2=l.x2+yx2+y2—4nx+4n2—9=0化为(x—2n)2+y2=9,故、;4n2+m2