三重积分例题分析课件

三重积分的计算问题:设f(x,y,z)在Ω上可积,研究三重积分的计算方法研究思路:设法将化为先定积分再二重积分(1)先单后重:(2)先重后单:先二重积分再定积分三重积分的计算问题:设f(x,y,z)在Ω上可1zxyx+y+z=10例1.计算其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.解：

D:0≤y≤1–x,0≤x≤111Dx+y=1

xyzxyx+y+z=10例1.计算其中是由平面x+y+z=2例2.计算其中是由抛物柱面及平面y=0,z=0,解：

D:0≤y≤,0≤x≤yxz0D0yx例2.计算其中是由抛物柱面及平面y=0,z=0,3例3.将化为三次定积分，其中是由z=x2+y2和z=1所围的闭区域.解：先对z积分，将向xy平面投影.z=x2+y2

x2+y2=1D:x2+y2≤1z=1z=1xyz01Dxyz=1z=x2+y2

例3.将化为三次定积分，其中是由z=x2+y2和4xyz01Dxyz=1z=x2+y2

xyz01Dxyz=1z=x2+y25解2：先对y积分，将

向xz平面投影：z=x2+y2

Dxy:x2≤z≤

1,z=11≤x≤1z=x2+y2

xyz0Dxz11解2：先对y积分，将向xz平面投影：z=x26例4.计算其中

是由z=x2+y2和z=1所围成的闭区域.xyz01D(z)1解：D(z):x2+y2≤zz[0,1]例4.计算其中是由z=x2+y2和z=1所围成7例5.计算解：

D(x):0≤y≤1–x,0≤z≤

1xyzxy0111x:0≤x≤1其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.D(x)z=1xy

xy01x1x例5.计算解：D(x):0≤y≤1–x,0≤8例6.计算其中

由与z=1所围闭区域.解：

D:x2+y2≤1z=1

z=rz=0xyz0Dz=rz=1例6.计算其中由与z=1所围闭区域.解：D:9xyz0z=rz=11Dxyz0z=rz=11D10例7.计算

={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：D:x2+y2≤1xyz01例7.计算={(x,y,z)|x2+y2+z211得到解例8.得到解例8.12于是，于是，13与球面例9.

计算其中,是由锥面所围成的区域.解:

积分区域如图所示.则锥面方程变为球面方程变为r=a,区域变为＊yxzO运用球面坐标计算,令与球面例9.计算其中,是由锥面所围成的区域.解:积分14故(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.)故(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.)15y14x+y=4x=0xzo.例10.y14x+y=4x=0xzo.例10.y14x+y=4xzo1.取第一卦限部分例10.y14x+y=4xzo1.取第一卦限部分例10.4x+y=4y=0xyz.D..o1例10.4x+y=4y=0xyz.D..o1例10.666x+y+z=63x+y=62.例11.x0z

y

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域666x+y+z=63x+y=62.例11.x0zy666x+y+z=63x+y=62.x0z

y

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域666x+y+z=63x+y=62.x0zy3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zy3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zyz=0y=042x+y+z=6.x0z

y666

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域z=0y=042x+y+z=6.x0zy66642.x0z

y666

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域.D0y

x624D.42.x0zy666y2=xxyzo例12.y2=xxyzo例12.y2=xxyzoy2=xxyzoz=0y=0xyzo。。0y

xy2=xDz=0y=0xyzo。。0yxy2=xD例13由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域；xyzOzx22y22z2x2例13由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域11Oxyz2zx22y2z2x2例13由曲面zx22y2及z2x2所围成的闭区域；11Oxyz2zx22y2z2x2例13由曲面z解其中Ω由曲面例14计算积分所界的立体Ω往xz平面上的投影区域解其中Ω由曲面例14计算积分所界的立体Ω往xz平面上的投30三重积分例题分析课件31解例15计算积分,其中Ω是两个球的公共部分由采用先重后单方法计算解例15计算积分,其中Ω是两32三重积分例题分析课件33例16设,其中Ω由所界解例16设34三重积分例题分析课件35例17.解:由对称性,所求体积yzxoDxyoa2aD例17.解:由对称性,所求体积yzxoDxyoa2aD36运用极坐标系,则D变成D*:式中故运用极坐标系,则D变成D*:式中故37三重积分例题分析课件38三重积分的计算问题:设f(x,y,z)在Ω上可积,研究三重积分的计算方法研究思路:设法将化为先定积分再二重积分(1)先单后重:(2)先重后单:先二重积分再定积分三重积分的计算问题:设f(x,y,z)在Ω上可39zxyx+y+z=10例1.计算其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.解：

D:0≤y≤1–x,0≤x≤111Dx+y=1

xyzxyx+y+z=10例1.计算其中是由平面x+y+z=40例2.计算其中是由抛物柱面及平面y=0,z=0,解：

D:0≤y≤,0≤x≤yxz0D0yx例2.计算其中是由抛物柱面及平面y=0,z=0,41例3.将化为三次定积分，其中是由z=x2+y2和z=1所围的闭区域.解：先对z积分，将向xy平面投影.z=x2+y2

x2+y2=1D:x2+y2≤1z=1z=1xyz01Dxyz=1z=x2+y2

例3.将化为三次定积分，其中是由z=x2+y2和42xyz01Dxyz=1z=x2+y2

xyz01Dxyz=1z=x2+y243解2：先对y积分，将

向xz平面投影：z=x2+y2

Dxy:x2≤z≤

1,z=11≤x≤1z=x2+y2

xyz0Dxz11解2：先对y积分，将向xz平面投影：z=x244例4.计算其中

是由z=x2+y2和z=1所围成的闭区域.xyz01D(z)1解：D(z):x2+y2≤zz[0,1]例4.计算其中是由z=x2+y2和z=1所围成45例5.计算解：

D(x):0≤y≤1–x,0≤z≤

1xyzxy0111x:0≤x≤1其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.D(x)z=1xy

xy01x1x例5.计算解：D(x):0≤y≤1–x,0≤46例6.计算其中

由与z=1所围闭区域.解：

D:x2+y2≤1z=1

z=rz=0xyz0Dz=rz=1例6.计算其中由与z=1所围闭区域.解：D:47xyz0z=rz=11Dxyz0z=rz=11D48例7.计算

={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：D:x2+y2≤1xyz01例7.计算={(x,y,z)|x2+y2+z249得到解例8.得到解例8.50于是，于是，51与球面例9.

计算其中,是由锥面所围成的区域.解:

积分区域如图所示.则锥面方程变为球面方程变为r=a,区域变为＊yxzO运用球面坐标计算,令与球面例9.计算其中,是由锥面所围成的区域.解:积分52故(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.)故(该题也可选择柱面坐标计算，请读者自行完成.)53y14x+y=4x=0xzo.例10.y14x+y=4x=0xzo.例10.y14x+y=4xzo1.取第一卦限部分例10.y14x+y=4xzo1.取第一卦限部分例10.4x+y=4y=0xyz.D..o1例10.4x+y=4y=0xyz.D..o1例10.666x+y+z=63x+y=62.例11.x0z

y

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域666x+y+z=63x+y=62.例11.x0zy666x+y+z=63x+y=62.x0z

y

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域666x+y+z=63x+y=62.x0zy3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zy3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zyz=0y=042x+y+z=6.x0z

y666

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域z=0y=042x+y+z=6.x0zy66642.x0z

y666

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所围成的区域.D0y

x624D.42.x0zy666y2=xxyzo例12