最新湘教版八年级上册数学课件25全等三角形第二课时

2.5全等三角形-----第二课时2022/12/2112.5全等三角形2022/12/201

如图，在△ABC和中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，

，那么△ABC和

全等吗？新知探究

根据三角形内角和定理，可将上述条件转化为满足“ASA”的条件，从而可以证明△ABC≌2022/12/212如图，在△ABC和在△ABC和

中，∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴∠C=∠C′.又∵

，∠B=∠B′，∴(ASA).2022/12/213在△ABC和中，∵∠A=由此得到判定两个三角形全等的定理：

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.通常可简写成“角角边”或“AAS”.新知归纳2022/12/214由此得到判定两个三角形全等的定理：两角分别相例5已知：如图，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADC.证明∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠ACD（同角的补角相等）.在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC

（AAS）.∠B=∠D，∠ACB=∠ACD，AC=AC，例题讲解2022/12/215例5已知：如图，∠B=∠D，∠1=∠2，证明∵∠1例题讲解例6已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，

AC∥FD，∠A=∠D，BF=EC.

求证：△ABC≌△DEF.2022/12/216例题讲解例6已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，证明∵

AC∥FD，∴∠ACB=∠DFE.∵

BF=EC，∴

BF+FC=EC+FC，即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）.∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，BC=EF，2022/12/217证明∵AC∥FD，∴∠ACB=∠DFE.∵BF=E1.已知：如图，∠1=∠2，AD=AE.

求证：△ADC≌△AEB.∴△ADC≌△AEB（AAS）.∠1=∠2，∠A=∠A，AD=AE，证明∵在△ADC和△AEB中，随堂练习2022/12/2181.已知：如图，∠1=∠2，AD=AE.∴△ADC≌△随堂练习2.

已知：在△ABC中，∠ABC=∠ACB，

BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E.

求证：BD=CE.证明由题意可知△BEC和△BDC均为直角三角形，∵在Rt△BEC和Rt△CDB中，∠ABC=∠ACB，BC=BC，∴Rt△BEC≌Rt△CDB（AAS）.∠BEC=∠CDB=90°

，2022/12/219随堂练习2.已知：在△ABC中，∠ABC=∠ACB，证

如图，在△ABC和中，如果，，，那么△ABC与全等吗？如果能够说明∠A=∠A′，那么就可以由“边角边”得出△ABC≌新知探究2022/12/2110如图，在△ABC和

将△ABC作平移、旋转和轴反射等变换，使BC的像与重合，并使点A的像与点在的两旁，△ABC在上述变换下的像为由上述变换性质可知△ABC≌

，则，连接2022/12/2111将△ABC作平移、旋转和轴反射等变换，使BC的像∴∠1=∠2，∠3=∠4.从而∠1+∠3=∠2+∠4，∵

，，即在和中，∴≌（SAS）.∴△ABC≌，，，2022/12/2112∴∠1=∠2，∠3=∠4.从而∠1+∠3=∠2+∠4，∵由此可以得到判定两个三角形全等的基本事实：三边分别相等的两个三角形全等.通常可简写成“边边边”或“SSS”.新知归纳2022/12/2113由此可以得到判定两个三角形全等的基本事实：三边分别相等的两个例7

已知：如图，AB=CD

，BC=DA.

求证：∠B=∠D.证明：在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA.(SSS)AB=CD，BC=DA，AC=CA，(公共边)∴∠B=∠D.例题讲解2022/12/2114例7已知：如图，AB=CD，BC=DA.证明：在△例8已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，且AD=AE，BE=CD.求证：△ABD≌△ACE.证明∵

BE=CD，∴

BE-DE=CD-DE.即BD=CE.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE

（SSS）.AB=AC，BD=CE，AD=AE，例题讲解2022/12/2115例8已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E证明

由“边边边”可知，只要三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性.新知归纳2022/12/2116由“边边边”可知，只要三角形三边的

三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.

如日常生活中的定位锁、房屋的人字梁屋顶等都采用三角形结构，其道理就是运用三角形的稳定性.新知归纳2022/12/2117三角形的稳定性在生产和生活中有广泛1.如图，已知AD=BC，AC=BD.

那么∠1与∠2相等吗？答：相等.

因为AD=BC，

AC=BD，

AB公共，所以△ABD≌△BAC(SSS).

所以∠1

=∠2(全等三角形对应角相等).随堂练习2022/12/21181.如图，已知AD=BC，AC=BD.答：相等.随堂练习随堂练习2.

如图，点A，C，B，D在同一条直线上，

AC=BD，AE=CF，BE=DF.

求证：AE∥CF，BE∥DF.证明∵

AC=BD，∴

AC+BC=BD+BC，即AB=CD.2022/12/2119随堂练习2.如图，点A，C，B，D在同一条直线上，证明随堂练习所以AE∥CF，BE∥DF.又AE=CF，BE=DF，所以△ABE≌△CDF(SSS).所以∠EAB

=∠FCD,∠EBA

=∠FDC

(全等三角形对应角相等).2022/12/2120随堂练习所以AE∥CF，BE∥DF.又AE=CF，BE根据下列条件，分别画△ABC和（1），，

∠B=∠B′=45°；疑问升级2022/12/2121根据下列条件，分别画△ABC和（1）

满足上述条件画出的△ABC和一定全等吗？由此你能得出什么结论？满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.2022/12/2122满足上述条件画出的△ABC和一定全等（2）

∠A=∠A′=80°，∠B=∠B′=30°，

∠C=∠C′=70°.根据下列条件，分别画△ABC和2022/12/2123（2）∠A=∠A′=80°，∠B=∠B′=30°，根

满足上述条件画出的△ABC和一定全等吗？由此你能得出什么结论？满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：三角分别相等的两个三角形不一定全等.2022/12/2124满足上述条件画出的△ABC和一定全等例9已知：如图，AC与BD相交于点O，且AB=DC，

AC=DB.

求证：∠A=∠D.证明连接BC.在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB

（SSS）.∴∠A=∠D.AB=DC，BC=CB

（公共边），AC=DB

，例题讲解2022/12/2125例9已知：如图，AC与BD相交于点O，且AB=DC例题讲解例10某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道.

为估测这条隧道的长度（如图），需测出这座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给出什么好方法吗？2022/12/2126例题讲解例10某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道.解选择某一合适的地点O，使得从O点能测出AO与BO的长度.

这样就构造出两个三角形.连接AO并延长至A′，使；连接BO并延长至B′，使，连接，OA′B′2022/12/2127解选择某一合适的地点O，使得从O点能测出AO与BO的长度.在△AOB和中，

，，，∴△AOB≌

（SAS）.∴

AB=

因此只要测出的长度就能得到这座山A，B间的距离.2022/12/2128在△AOB和中，，∴△AO1.

已知：如图，AB=AD，BC=DC.求证：∠B=∠D.证明

如图，连接AC.所以△ACB≌△ACD

(SSS).所以∠B=∠D.在△ACB和△ACD中，AB=AD，BC=CD

，AC=AC

（公共边），随堂练习2022/12/21291.已知：如图，AB=AD，BC=DC.求证：∠B=2.

如图，在△ABC和△DEC中，已知一些相等的边或角（见下表），请再补充适当的条件，从而能运用已学的判定方法来判定△ABC≌△DEC.已知条件补充条件判定方法AC=DC，∠A=∠DSAS∠A=∠D，AB=DEASA∠A=∠D，AB=DEAASAC=DC，AB=DESSSAB=DE∠B=∠E∠ACB=∠DCEBC=EC随堂练习2022/12/21302.如图，在△ABC和△DEC中，已知一些相等的边已知条件

如图，在△ABC与△DEF中，已知条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）.A.∠B=∠E，BC=EF

B.BC=EF，AC=DF

C.∠A=∠D，∠B=∠E

D.∠A=∠D，BC=EF例1

AB=DE,∠A=∠D,BC=EF但△ABC与△DEF不全等.D中考试题解：2022/12/2131如图，在△ABC与△DEF中，已知条件AB=DE，还例2

如图4.2-2，△ACB≌△

，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）.A.20°

B.30°

C.35°

D.40°B∵△ACB≌△

，∴

，

∴.故选B.中考试题解：2022/12/2132例2如图4.2-2，△ACB≌△2.5全等三角形-----第二课时2022/12/21332.5全等三角形2022/12/201

如图，在△ABC和中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，

，那么△ABC和

全等吗？新知探究

根据三角形内角和定理，可将上述条件转化为满足“ASA”的条件，从而可以证明△ABC≌2022/12/2134如图，在△ABC和在△ABC和

中，∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴∠C=∠C′.又∵

，∠B=∠B′，∴(ASA).2022/12/2135在△ABC和中，∵∠A=由此得到判定两个三角形全等的定理：

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.通常可简写成“角角边”或“AAS”.新知归纳2022/12/2136由此得到判定两个三角形全等的定理：两角分别相例5已知：如图，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADC.证明∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠ACD（同角的补角相等）.在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC

（AAS）.∠B=∠D，∠ACB=∠ACD，AC=AC，例题讲解2022/12/2137例5已知：如图，∠B=∠D，∠1=∠2，证明∵∠1例题讲解例6已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，

AC∥FD，∠A=∠D，BF=EC.

求证：△ABC≌△DEF.2022/12/2138例题讲解例6已知：如图，点B，F，C，E在同一条直线上，证明∵

AC∥FD，∴∠ACB=∠DFE.∵

BF=EC，∴

BF+FC=EC+FC，即BC=EF.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）.∠A=∠D，∠ACB=∠DFE，BC=EF，2022/12/2139证明∵AC∥FD，∴∠ACB=∠DFE.∵BF=E1.已知：如图，∠1=∠2，AD=AE.

求证：△ADC≌△AEB.∴△ADC≌△AEB（AAS）.∠1=∠2，∠A=∠A，AD=AE，证明∵在△ADC和△AEB中，随堂练习2022/12/21401.已知：如图，∠1=∠2，AD=AE.∴△ADC≌△随堂练习2.

已知：在△ABC中，∠ABC=∠ACB，

BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E.

求证：BD=CE.证明由题意可知△BEC和△BDC均为直角三角形，∵在Rt△BEC和Rt△CDB中，∠ABC=∠ACB，BC=BC，∴Rt△BEC≌Rt△CDB（AAS）.∠BEC=∠CDB=90°

，2022/12/2141随堂练习2.已知：在△ABC中，∠ABC=∠ACB，证

如图，在△ABC和中，如果，，，那么△ABC与全等吗？如果能够说明∠A=∠A′，那么就可以由“边角边”得出△ABC≌新知探究2022/12/2142如图，在△ABC和

将△ABC作平移、旋转和轴反射等变换，使BC的像与重合，并使点A的像与点在的两旁，△ABC在上述变换下的像为由上述变换性质可知△ABC≌

，则，连接2022/12/2143将△ABC作平移、旋转和轴反射等变换，使BC的像∴∠1=∠2，∠3=∠4.从而∠1+∠3=∠2+∠4，∵

，，即在和中，∴≌（SAS）.∴△ABC≌，，，2022/12/2144∴∠1=∠2，∠3=∠4.从而∠1+∠3=∠2+∠4，∵由此可以得到判定两个三角形全等的基本事实：三边分别相等的两个三角形全等.通常可简写成“边边边”或“SSS”.新知归纳2022/12/2145由此可以得到判定两个三角形全等的基本事实：三边分别相等的两个例7

已知：如图，AB=CD

，BC=DA.

求证：∠B=∠D.证明：在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA.(SSS)AB=CD，BC=DA，AC=CA，(公共边)∴∠B=∠D.例题讲解2022/12/2146例7已知：如图，AB=CD，BC=DA.证明：在△例8已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在BC上，且AD=AE，BE=CD.求证：△ABD≌△ACE.证明∵

BE=CD，∴

BE-DE=CD-DE.即BD=CE.在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE

（SSS）.AB=AC，BD=CE，AD=AE，例题讲解2022/12/2147例8已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E证明

由“边边边”可知，只要三角形三边的长度确定，那么这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性.新知归纳2022/12/2148由“边边边”可知，只要三角形三边的

三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.

如日常生活中的定位锁、房屋的人字梁屋顶等都采用三角形结构，其道理就是运用三角形的稳定性.新知归纳2022/12/2149三角形的稳定性在生产和生活中有广泛1.如图，已知AD=BC，AC=BD.

那么∠1与∠2相等吗？答：相等.

因为AD=BC，

AC=BD，

AB公共，所以△ABD≌△BAC(SSS).

所以∠1

=∠2(全等三角形对应角相等).随堂练习2022/12/21501.如图，已知AD=BC，AC=BD.答：相等.随堂练习随堂练习2.

如图，点A，C，B，D在同一条直线上，

AC=BD，AE=CF，BE=DF.

求证：AE∥CF，BE∥DF.证明∵

AC=BD，∴

AC+BC=BD+BC，即AB=CD.2022/12/2151随堂练习2.如图，点A，C，B，D在同一条直线上，证明随堂练习所以AE∥CF，BE∥DF.又AE=CF，BE=DF，所以△ABE≌△CDF(SSS).所以∠EAB

=∠FCD,∠EBA

=∠FDC

(全等三角形对应角相等).2022/12/2152随堂练习所以AE∥CF，BE∥DF.又AE=CF，BE根据下列条件，分别画△ABC和（1），，

∠B=∠B′=45°；疑问升级2022/12/2153根据下列条件，分别画△ABC和（1）

满足上述条件画出的△ABC和一定全等吗？由此你能得出什么结论？满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等.2022/12/2154满足上述条件画出的△ABC和一定全等（2）

∠A=∠A′=80°，∠B=∠B′=30°，

∠C=∠C′=70°.根据下列条件，分别画△ABC和2022/12/2155（2）∠A=∠A′=80°，∠B=∠B′=30°，根

满足上述条件画出的△ABC和一定全等吗？由此你能得出什么结论？满足条件的两个三角形不一定全等，由此得出：三角分别相等的两个三角形不一定全等.2022/12/2156满足上述条件画出的△ABC和一定全等例9已知：如图，AC与BD相交于点O，且AB=DC，

AC=DB.

求证：∠A=∠D.证明连接BC.在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB

（SSS）.∴∠A=∠D.AB=DC，BC=CB

（公共边），AC=DB

，例题讲解2022/12/2157例9已知：如图，AC与BD相交于点O，且AB=DC例题讲解例10某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道.

为估测这条隧道的长度（如图），需测出这座山A，B间的距离，结合所学知识，你能给出什么好方法吗？2022/12/2158例题讲解例10某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道.解选择某一合适的地点O，使得从O点能测出AO与BO的长度.

这样就构造出两个三角形.连接AO并延长至A′，使；连接BO并延长至B′，使，连接，OA′B′2022/12/2159解选择某一合适的地点O，使得从O点能测出AO与BO的长度.在△AOB和中，

，，，∴△AOB≌

（SAS）.∴

AB