几何与代数：第一章 矩阵1-2节

第一章矩阵

§1.1矩阵的基本概念

一.历史“矩阵

(matrix)”这个词首先是英国数学家西尔维斯特使用的JamesJosephSylvester

(1814.9.3-1897.3.15)

英国数学家凯莱

被公认为是矩阵论的创立者.他首先把矩阵作为一个独立的数学概念,并发表了一系列关于这个题目的文章.Arthur

Cayley

(1821.8.16~1895.1.26)

第一章矩阵

§1.1矩阵概念

例1.某厂家向A,B,C三个商场发送四种产品.200180190100120100150160140180150150第一章矩阵

§1.1矩阵概念

2050302516201616

甲乙丙丁单价重量二.实例第一章矩阵

§1.1矩阵概念

例2.四个城市间的单向航线如图所示.1423若用aij表示从i市到j市航线的条数,则上图信息可表示为a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34

a41

a42

a43

a44即0111100001001010三.定义1.mn矩阵

元素aij(1i

m,1

j

n)a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn注:除非特别说明,本课程中我们考虑的矩阵都是实矩阵.第一章矩阵

§1.1矩阵概念

元素都是实数——实矩阵元素都是复数——复矩阵行(row)列(column)第一章矩阵

§1.1矩阵概念

3.向量行向量

[a1,a2,…,an]列向量a1a2…an第i个分量

ai(i=1,…,n)n阶方阵:nn矩阵2.方阵见例2.一个11的矩阵就是一个数

n–维第一章矩阵

§1.1矩阵概念

4.同型：行数相等,列数也相等5.两个矩阵相等205030162016与a

b

c123同型205030162016

与不同型201650203016A=[aij]mn与B=[bij]mn相等:对1im,1jn,aij

=bij都成立记为A=B.大前提:同型

第一章矩阵

§1.1矩阵概念

四.几种特殊的矩阵

1.对称矩阵(symmetricmatrix)则称A为对称矩阵.若矩阵A=[aij]mn满足:122110

1

0

x

31

30m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n)第一章矩阵

§1.1矩阵概念

2.对角矩阵(diagonalmatrix)主对角线

对角矩阵

diag[1,2,…,n].a11

a12…a1n

a21

a22…a2n

an1

an2…ann

…………10…002…000…n…………简记为第一章矩阵

§1.1矩阵概念

3.数量矩阵/纯量矩阵diag[k,k,…,k]——数量矩阵/纯量矩阵.4.单位矩阵称为n阶单位矩阵.

2000200023003例如:En=10…001…000…1nn……

……第一章矩阵

§1.1矩阵概念

5.反对称矩阵则称A为反对称矩阵若矩阵A=[aij]mn满足:022

001

1103

1

30m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n),第一章矩阵

§1.1矩阵概念

6.零矩阵通常用O表示零矩阵,加下标指明其阶数.00000000000000000007.上（下）三角矩阵零矩阵——元素全为零.行阶梯形矩阵特点:可画出一条阶梯线,线的下方全为0,每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为本行)后面的第一个元素为非零元.行最简形矩阵:特点:非零行的第一个非零元是1,且这些非零元所在的列的其他元素都为0第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

§1.2矩阵的基本运算

一.矩阵的线性运算1.加法产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420例3.第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

§1.2矩阵的基本运算

一.矩阵的线性运算1.加法产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365例3.第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

§1.2矩阵的基本运算

一.矩阵的线性运算1.加法产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365390例3.第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

§1.2矩阵的基本运算

一.矩阵的线性运算1.加法产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365390205例3.第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

§1.2矩阵的基本运算

一.矩阵的线性运算1.加法产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365390205240例3.第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

§1.2矩阵的基本运算

一.矩阵的线性运算1.加法产品发到各商场的数量ABC甲200180190乙100120100第一次产品发到各商场的数量ABC甲220185200乙105120110第二次产品发到各商场的数量ABC甲乙两次累计:420365390205240210例3.第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

§1.2矩阵的基本运算

一.矩阵的线性运算1.加法420365390205240210A+B=200180190100120100A=(1)大前提:同类型

(2)具体操作:对应元素相加

第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

§1.2矩阵的基本运算

一.矩阵的线性运算1.加法A=[aij]mn与B=[bij]mn的和:C=[cij]mn=[aij+bij]mn.注:

①

设矩阵A=(aij)mn,记A=(aij)mn

,——A的负矩阵②设A,B是同型矩阵,则它们的差定义为A+(B).记为AB.

即A

B=A+(B).第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

2.数乘设矩阵A=(aij)mn,数k与A的乘积定义为

(kaij)mn,记为kA.即kA

=ka11

ka12…ka1nka21

ka22…ka2n

…………kam1

kam2…kamn第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

3.性质设A,B,C,O是同型矩阵,k,l是数,则(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)(k+l)A=kA+lA,(6)k(A+B)=kA+kB,(7)k(lA)=(kl)A,(8)1A=A.二.矩阵的乘法回顾例1.某厂家向A,B,C三个商场发送四种产品.A=2050302516201616

B=20018019010012010015016014018015015020200+50100+30150+251801800018150167501048010240968018000第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

1.定义A=(aij)ms与B=(bij)sn的乘积

是一个mn矩阵C=(cij)mn,其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=aikbkj.k=1s记为C=AB.称AB为“以A左乘B”或“以B右乘A”.=a11

a12

a13a21

a22

a23b11

b12

b21

b22b31

b32如a11b11+a12b21+a13b31

a11b12+a12b22+a13b32

a21b11+a22b21+a23b31

a21b12+a22b22+a23b32第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

2.注:(1)只有当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时,

乘积AB才有意义.(2)若A是一个mn矩阵,与B是一个nm矩阵,

则AB和BA都有意义.但AB是一个m阶方

阵,BA是一个n阶方阵.当mn时,AB与

BA不同型.

即使m=n,AB与BA是同阶方阵也未必相.

例如:第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

112224

1

21001

112224

1

21001=0

000336112224=

1122

1

212=0

000

1122

1

212=3

33

3注意事项：判断下列命题是否正确:

若则若则或若且则矩阵乘法不满足交换律第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

设k是数,矩阵A,B,C使以下各式中一端有意义,则另一端也有意义并且等式成立:(1)(AB)C=A(BC),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(kA)B=k(AB).3.性质4.方阵A的正整数幂A1=A,A2=AA,…,Ak+1=AkA.第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl

(AB)k=AkBk

注:即使A与B是同阶方阵,也未必成立!注:①

若AB=BA,则(AB)k=AkBk.②

A=0

100,B=1

000,AB=0

000,BA=0

100,AB

BA,但(AB)k=AkBk成立.容易验证对非负整数k,l第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

(AB)k=AkBk

③要说明即使A与B是同阶方阵,也未必成立,考察下列反例:例如A=1

100,B=1

010,AB=2

000,A2=1

100=A,

B2=1

010=B,(AB)2=4

000,A2B2=AB=2

000,第一章矩阵

§1.2矩阵的基本运算

例:设A=BC,其中B=,C=[123],123A100=?123246369则A=,CB=[1

2

3]1

2

3

=11+22+33

=14.A100=(BC)(