几何与代数：7- 矩阵分块

第二章矩阵§2.3分块矩阵一.分块矩阵的运算1.

分块加法

A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bs1

Bs2…Bsr,其中Aij与Bij是同型的“小”矩阵.§2.3分块矩阵则A+B可看成是分块矩阵的和设矩阵A与B是同型的,采用相同的分块法分块将A与B分块如下:A11+B11

A12+B12…A1r+B1r

A21+B21

A22+B22…A2r+B2r

…………As1+Bs1

As2+Bs2…Asr+Bsr

.A+B=设矩阵A=A11

A12…A1rA21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr,为常数.A11

A12…A1r

A21

A22…A2r

…………As1

As2…Asr.则A=2.分块数乘第二章矩阵§2.3分块矩阵3.分块乘法

设A为ml矩阵,B为l

n矩阵,将它们分块如下A=A11

A12…A1tA21

A22…A2t

…………As1

As2…Ast,B=B11

B12…B1rB21

B22…B2r

…………Bt1

Bt2…Btr,其中Ai1,Ai2,…,Ait的列数分别与B1j,B2j,…,Btj的行数相等.(i=1,2,…,s;j=1,2,…,r.)C11

C12…C1rC21

C22…C2r

…………Cs1

Cs2…Csr,其中Cij=AikBkj,则AB=k=1t第二章矩阵§2.3分块矩阵4.分块矩阵的转置

设A为ml矩阵,将它们分块如下:A=A11

A12…A1tA21

A22…A2t

…………As1

As2…Ast,第二章矩阵§2.3分块矩阵则A的转置为：AT=A11T

A21T

…As1T

A12T

A22T…As2T

……A1tT

A2tT…AstT

10

1012011041112

0B=,求AB.10

00010012101101

例1.设A=,

例2.设A,B为n阶可逆矩阵,求证：OABC-1可逆.第二章矩阵§2.3分块矩阵二.两种特殊的分块法设A为m×n矩阵,记Aj为A的第j列,i为A的第i行(j=1,…,n,i=1,…,m),则有如下两种重要的分块方法A=[A1,A2,…,An],12…mA=第二章矩阵§2.3分块矩阵设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有主对角线上有非零子块,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方阵,即A=A1

O…OO

A2…O

…………O

O…As,其中A1,A2,…,As都是方阵,则称A为分块对角矩阵(或准对角矩阵).三.分块对角矩阵1.定义第二章矩阵§2.3分块矩阵则|A|=|A1||A2|…|As|.2.分块对角矩阵的行列式设分块对角矩阵A=A1

O…OO

A2…O

…………O

O…As,第二章矩阵§2.3分块矩阵A1=A11

O…O

O

A21…O

…………

O

O…As1.则A可逆

A1,A2,…,As都可逆.且此时3.分块对角矩阵的逆矩阵设分块对角矩阵A=A1

O…OO

A2…O

…………O

O…As,第二章矩阵§2.3分块矩阵问：当取何值时，矩阵方程AX=B有解？当AX=B有解时，求其解.10122B=,122335

例3.设A=,第二章矩阵§2.3分块矩阵

例4.设A=(aij)4×5,B=a21

a23

a24a41

a43

a44.求矩阵C,D,使得B=CAD.§2.4矩阵的秩

第二章矩阵一.秩的概念这样的子式共有

个.k阶子式mnk行k列1.矩阵A的子式

§2.4矩阵的秩

第二章矩阵2041

01324082的3阶子式有14个:204

013408201

012402241

032482041132082====0.

§2.4矩阵的秩

第二章矩阵例如:A=2041

013240822,0,4,1,0,1,3,2,4,0,8,2.的1阶子式有34个:A的2阶子式有36个:0413,0112,4132,20

01,24

03,21

02,0408,0102,4182,20

40,24

48,21

42,0140,

3282.0348,0242,1308,1202,

§2.4矩阵的秩

第二章矩阵例1. 求A=1210310-124

-11231

132

58的秩