高中数学 1.3.1函数的单调性 新人教A必修1

1.3.1-1《函数的单调性》1.2.2《函数的表示法》

2022/12/211编辑ppt教学目的

（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性．教学重点：函数的单调性及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．2022/12/212编辑ppt

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随x的增大，y的值有什么变化？2022/12/213编辑ppt画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1、从左至右图象上升还是下降

____? 2、在区间

________上，随着x的增大，f(x)的值随着

______．f(x)=x(-∞,+∞)增大上升2022/12/214编辑ppt1、在区间

____上，f(x)的值随着x的增大而

______．2、在区间

_____上，f(x)的值随着x的增大而

_____．

f(x)=x2(-∞,0](0,+∞)增大减小画出下列函数的图象，观察其变化规律：

2022/12/215编辑pptx…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…2022/12/216编辑ppt一、函数单调性定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．

1．增函数2022/12/217编辑ppt

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数．2．减函数

2022/12/218编辑ppt

1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；注意：

2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)

或f(x1)>f(x2)

分别是增函数和减函数.2022/12/219编辑ppt

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.

二．函数的单调性定义2022/12/2110编辑pptyoxoyxyoxyoxyox在增函数在减函数在增函数在减函数在(-∞,+∞)是减函数在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数在(-∞,+∞)是增函数在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数yox2022/12/2111编辑ppt例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]

其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)是减函数， 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。2022/12/2112编辑ppt例2、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1<V2，则由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是

所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号变形作差结论2022/12/2113编辑ppt三．判断函数单调性的方法步骤

1任取x1，x2∈D，且x1<x2；2作差f(x1)－f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：2022/12/2114编辑ppt思考？思考：画出反比例函数的图象．

1这个函数的定义域是什么？

2它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

2022/12/2115编辑ppt证明：函数f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0所以f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2)因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。取值定号变形作差判断2022/12/2116编辑ppt1、法二：作商的方法由x1<x2时，大于或小于1来比较f(x1)与f(x2)的大小，最后得出结论。yxo讨论2、由图象知：函数在上不具有单调性。2022/12/2117编辑pptyxoy=kx+b(k>0)yxoy=kx+b(k<0)讨论一般性问题：1、当k变化时函数的单调性有何变化？2、当b变化时函数的单调性有何变化？2022/12/2118编辑ppt例3．借助计算机作出函数y=－x2+2|x|+3的图象并指出它的的单调区间．

2022/12/2119编辑ppt四、归纳小结

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证