2022年高考数学第一轮复习考点56平面向量的线性运算及基本定理讲解

考点56平面向量线性运算与基本定理【思维导图】向量的大小叫做向量的长度（或称模）向量定义, 《既有大小又有方向的量叫做向量黑体的单个小写字母a,b,c,…来表示向量表示认4为起点、6为终点的向■记作.46相反向量长度相等且方向相反的向量相等向量长度相等且方向相同的向量加法减法基本概念平拧向a 方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量,十仃何墓、规定：。与任一向量平行或共线零向量.单位向;长度为。的向量，其方向是任意的长度等于1个单位长度的向量运算法则向量线性运算加法三角形：首尾连，连首尾;加法平行四边形：起点相同连对角减法三角形：共起点，连终点，指向被减|4；|=|4||；|当人＞0时，人；的方向与；的方向相同:运算律基本定理数乘~\当一V0时，人；的方向与；的方向相反：当人=0时，人；=6(a+b)4-c=a+(b+c)■+(—b)[(.+6)=/.十16如果《・《是同一平面内的两个不共线向■,那么对于这一平面内的任意向・3・有且只有一对实数七，使其中,不共线的向量；；,，叫做表示这一平面内所有向量的组基底.J1' —若。为线段46的中点，。为平面内任一点，则0。=-（8+Off）结论OA^AOB^pOC（2,〃为实数），着点4,6,U三点共线,则【常见考法】考法一基本概念的辨析（2019•四川省绵阳南山中学高一月考）.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若九1=。a为实数），则a必为零；④已知九〃为实数，若猫”,则彳与5共线，其中错误命题的个数为（）A.1 B,2 C.3 D,4【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的基本概念和共线定理，对选项中的命题判断真假性即可.【详解】对于①，两个具有公共终点的向量，不一定是共线向量，，①错误；对于②，向量是有方向和大小的矢量，不能比较大小，但它们的模能比较大小，..•②正确；对于③，4,=6时（，为实数），义=o或a=G，，③错误；对于④，若2=〃=。时，Aa=ph=6,此时1与5不一定共线，二④错误；综上，其中错误命题为①③④，共3个.故选：C.【点睛】本题考查了平面向量的基本概念与共线定理的应用问题，是基础题.（2020•陕西渭滨.高一期末）.有下列命题：①若向量£与B同向，且|万|＞出|,则②若四边形ABC。是平行四边形，则AB=C£）;③若机=〃，n=R，则加=%;④零向量都相等.其中假命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】分别根据每个命题的条件推论即可判断.【详解】对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题；对于②，在平行四边形ABC。中，而，①是大小相等，方向相反的向量，即AB=-CD＜故②是假命题；对于③，显然若机=5，n=k＞则而=无，故③是真命题；对于④，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故④是假命题.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.（2020•山西太原.高三其他（理））.平面向量石共线的充要条件是（ ）a-b=\a^\a<B两向量中至少有一个为零向量32^/?,h=Aa111D.存在不全为零的实数九，12,4。+%b=0【答案】D【解析】【分析1根据共线向量基本定理，结合充分条件的定义进行求解即可.【详解】A：£石=|丽|成立时，说明两个非零向量的夹角为零度，但是非零两个向量共线时，它们的夹角可以为平角，故本选项是错误的；B：两个非零向量也可以共线，故本选项是错误的；C：只有当［不是零向量时才成立，故本选项是错误的；D：当平面向量£,B共线时，存在一个人使得否=九£（£片0）成立，因此存在不全为零的实数九，后，4。+43=；）；当存在不全为零的实数为，h,1=3成立时，若实数，1，后不都为零时，则有£=一与B成立，显然共线，若其中实数九，4有一个为零时，不妨设4=。，则有4石=0=>3=0,所以平面向量B共线，所以本选项是正确的.故选：D【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，属于基础题.（2020•广州市天河外国语学校高三月考（理））.已知25为非零向量，“/5=52］，为“同］=忖方„的（ ）A.充分不必要条件 B.充分必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由数量积的定义可得a2=\af>0,为实数，则由a2b=ba可得\afb=际a，根据共线的性质，可判断己=b;再根据|«|«=BE判断了=尻由等价法即可判断两命题的关系.【详解】若石=5%成立，则同二=忖则向量方与B的方向相同，且W=W同,从而a=忖,所以己=凡若问G=W瓦则向量1与B的方向相同，且问~=|邛，从而a=b，所以万=员所以“日=备”为“即=|砸”的充分必要条件.故选:B【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定，考查向量的模、数量积的应用.考法二线性运算（2020•四川青羊.石室中学高三其他（文））.点。是aASC所在平面上一点，满足昉=2万乙，则（A.-AB+-AC B.-AB+-ACC.--AB+-ACD.-AB--AC3 3 3 3 3 3 3 3【答案】A【解析】【分析】利用向量的加减法法则运算即可.一2—【详解】由彷=2比可得9 n ）所以通=通+而=通+_胫=而+§（正一通）=3，与+§衣.故选：A.故选：A.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，较容易，解答时注意运用平行三角形法则.（2020.福建思明.厦门一中高三其他（理））6.在等腰梯形A8CD中，AB//DC,AB=2DC,ZBAD=60°,E为BC的中点，则（）AE^-AB点，则（）AE^-AB+-AD4 2C.AE=-AB+-AD4 2【答案】AAE^-AB+-AD2 2D.AE^-AB+-AD4 4【解析】【分析】由平面向量的线性运算可表示为荏=而+而，通=而+反+逐，两式相加后化简，即可由赤，而表示〃.【详解】依题意得荏=福+诙，AE=AD+DC+CE，所以2通=A4+而+加，=AB+AD+-AB2=-AB+AD,2—3—I—所以AE=-A8+—AO.4 2故选:A.【点睛】本题考查了平面向量在几何中的简单应用，平面向量加法的线性运算，属于基础题.（2020•浙江温州.高一期中）7.如图所示，在正方形ABC。中，E为的中点，/为AE的中点，则赤=TOC\o"1-5"\h\z— 3— 1— 2—A.——AB+-AD B.-AB+-AD4 2 3一 1 1 _ 3 C.-AB——AD D.-AB——AD3 2 2 4【答案】D【解析】一1一【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：DF=AF-AD>AF=-AE,一1一AE=AB+BE>BE=-BC,町=而，即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则，可得而=而-而，AE=AB+BE>TOC\o"1-5"\h\z为的中点，F为AE的中点，则标荏，BE=\BC2 2:.DF=AF-AD=-AE-AD=-（AB+BE）-AD=-AB+-BC-AD2 2 2 4又；BC=AD 1_3 :.DF=-AB——AD.2 4故选D.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（2）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）.

（2020•南昌市新建一中高三其他（文））8.在梯形ABCD中，已知AB〃C£）,A8=2OC,点P在线段上，且BP=2PC,则B.D.—1B.D.—1—2 AP=-AB+-AD2 3AD=-AP-AB3ED=（）A.AP=-AB+-AD3 2C.AD=-AP-AB2【答案】C【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则求解.TOC\o"1-5"\h\z【详解】因为阮=—通+Z方+。「=一4与+而+‘丽=而一’无耳,2 2BP=-BC=-AD--ABf3 3 3 2 1 2 2 所以= 户=A与+—A£j——AB=-AB+-AD,3 3 3 3一3一一所以AD=—AP-AB.2故选C.【点睛】本题考查向量加法的三角形法则.（2019・湖南高考模拟（文））9.如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC与8。交于点。，且荏=2的，则

A.-AD--AB3 32—1—CA.-AD--AB3 32—1—C.-AD——AB3 33 3

1—?—■D.-AD+-AB

3 3【答案】C【解析】【分析】把通,而作为基底，利用向量的加减法法则和已知条件，把防用基底表示即可【详解】解：因为四边形A8C。为平行四边形，对角线AC与8。交于点0,且AE=2EO，所以丽=_；心所以£75=e4+A/5=—,AC+而=—1（AD+AB\+AD=-AD--AB.3 3、 , 3 3故选:C.考法三利用线性运算求参数（2020•辉县市第二高级中学高一一期中）10.在A4SC中，。为8C中点，且醺=；后万，若废=7而+〃沅，则4+〃=【答案】B【解析】【分析】选取向量而，/为基底，由向量线性运算，求出炉，即可求得结果.TOC\o"1-5"\h\z【详解】BE=AE-AB=-AD-AB,AD=-(AB+AC),3 2：.BE=~AB+^AC=AAB+/jAC,.5 1 . 2\o"CurrentDocument"/.A= ,U=—,：.A+U= .6 6 3故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.(2020.安徽宣城高一期末)11.在aABC中，点。是线段上任意一点，M是线段AO的中点，若存在实数4和〃，使得两=人通+〃/，则，+〃=TOC\o"1-5"\h\zA.2 B.-2C.— D.--2 2【答案】D【解析】【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量而，BM，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果.【详解】如图所示，因为点〃在线段比上，所以存在reR,使得W=tBC=t[AC-ASy因为“是线段4〃的中点，所以：BM=^(^BA+BD)=^-AB+tAC-tAB)=-^t+\)AB+^tAC,又BA/=九AB+〃AC,所以4=—+jU=—t,所以4+〃=-g.本题选择。选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.(2020•东北育才学校高三其他(文)).如图，在平行四边形ABC。中，E为BC的中点,F为。E的中点，若

C.1).2_4C.1).2_4【答案】c【解析】【分析】以通，而为基底，利用向量的中点公式，以及三角形法则即可表示出而，由衣―瓶+3也根据平面向量基本定理，可知对应项系数相等，即求解.【详解】因为尸为OE的中点，所以而=；（而+屈卜而荏=荏+而=通+3芯=通+3亚,即有赤+AB+-即有赤+AB+-2=^AB+^AD,又而=》而+?而，所以1X=——・2故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及向量的中点公式，三角形法则的应用，属于基础题.（2020•江西南昌高三三模（文））.在aABC中，。为线段A8上一点，且8D=3AZ）,若cb=/l&+〃&,则A_A.B.3A.B.3C.D.4【答案】B【解析】【分析】根据30=3"),以&，&为基底，根据向量的线性运算即可求解.【详解】-BD=3AD：.CD=CB+BD=CB+-BA=CB+-(CA-CB)=-CA+-CB,4 4 4 41414故选：B【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了向量的加法、减法，基底的概念，属于中档题.(2020•广东潮州).在AABC中，点。在线段上，且访=2庆，点。在线段8上(与点C,。不重合)^AO=xAB+(\-x)AC,则x的取值范围是A.(°/) B, C,[01]【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算法则和共线定理即可得出.,:AO=xA6+(l-x)AC=x(AB-ACj+AC,gpCO=x-CB-CO：.=x,CB,•*8万=2加，即BC^3DC,CDi・'・0<X<' '=-9西3.♦.X的取值范围是（0，：），故选C.【点睛】利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法:①AB,C三点共线=福=%而；②。为平面上任一点，儿氏。三点共线0砺=/1而+〃反，且;l+〃=l.考法四共线定理（2020.黑龙江工农.鹤岗一中高一期末（理））15.在aABC中，E为AC上一点，蔗=3通，尸为BE上任一点，若TOC\o"1-5"\h\z 3 1AP=mAB+nAC{m>0,n>0）>则—I■一的最小值是mnA.9 B.10C.11 D.12【答案】D【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定“，〃的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：AP^mAB+nAC=mAB+3nAE^产,81三点共线，则：m+3n=\,据此有：TOC\o"1-5"\h\z31（31）/x9nm （9n~m—I—=—I—（加+3〃）=6h 1—>6+2./——x—=12>mnnJ inn\mn当且仅当机=:,〃=，时等号成立.61综上可得：三+2■的最小值是12.mn本题选择。选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（2020•山西应县一中高一期中（文））16.已知不共线向量力方，AB=ta-b（teR）,AC=2a+3h，若A,B,C三点共线，则实数f等于.2【答案】-石【解析】【分析】根据三点共线可得通=女工，利用向量坐标运算可得。-2%”=（3%+1）6；根据。,5不共线及相等向量的关系可得方程组，解方程组求得结果.【详解】•.•ARC三点共线.•.存在实数%,使得荏=左祝:.ta-b=k（2a+3b^=2ka+3kb,即：（r-24）a=（34+1）5_ "2左=0 k=~\•.4b不共线 ,八，解得：；3k+1=0 2I t= 39本题正确结果：-彳【点睛】本题考查向量共线定理的应用，涉及到向量的坐标运算，关键是能够根据向量不共线及向量相等构造出方程组.（2020•威远中学校高一月考（理））17.在AABC中，。是8C的中点，”是AO的中点，过点“作一直线MN分别与边A8,AC交于M,N（不与点A重合），若而=工而，丽—近，其中x,ygR,贝i」x+4y的最小值是.9【答案】74【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用丽与而共线，求出尤与