2023学年上海七年级数学下学期重难点讲义第17讲-三角形与平行线(含详解)

第15讲-三角形与平行线法;学习目标.灵活应用平行线的判定和性质，掌握三角形中的平行线的几个基本图形的应用。动探索动探索i.平行线的性质与判定:同位角相等内错角相等同同位角相等内错角相等同旁内角互补由角定线判定=>两直线平行性质由线定角.全等三角形的性质:.三角形全等的判定定理:精讲提升精讲提升例1.如图，OC平分NAOB,CD//OB,指出图形中的等腰三角形，并说明理由-包彩并说明理由°状 Bi,指11法……-色彩并说明理由。ge〃种””

土“平分”〃例2.已知B。平分N4BC,CC平分N4C8,EF//BC说明△AEF的周长为AB+AC试一试:1.如图，已知B。平分NA3C,CD平分N4C8,DE//AB,DF//AC说明△£)£尸的周长为BC；.如图，已知80平分NA8C,C£）平分△A8C的一个外角，DE//BC,说明EF=BE-CR1.如图，已知AB平分ND4E,AC平分ND4尸，BC//EF,说明AO=-8C。2例3.如图，已知在△ABC中，AB=AC,。为AB上一点，E为AC延长线上一点，BD=CE,DE交BC于F.求证：DF=EF..如图，已知点8、。在直线AE上，AC//DF,NC=NF,AD=BE,试说明

BC〃EF的理由..如图，已知A8//CC,AB=CD,。是AC的中点，过O点作直线分别交直线40、BC于E、F,交线段A8、CC于G、H。(1)图中有几对全等三角形？ (2)试说明AC//8C。.己知，四边形ABC。中，AD//BC,AD=l,BC=3,A8=4,点E为CO中点，联结AE并延长AE与BC延长线交于点F,(1)说明△AOE与△FCE全等的理由；(2)联结BE,请说出BE与A尸的位置关系，并说明理由。

.如图，已知4c=BC=C£),80平分NA8C,点E在3c的延长线上.(1)试说明CD//AB的理由；(2)8是NACE的角平分线吗？为什么？8.如图：在AA8C中，已知NBAC=9()o,AB=A。，点A在£>E上，ND=90°,ZE=9QP求证：DE=CE+BD

（2021•上海杨浦•七年级期末）如图，在5x5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与aABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）.A.2 B.3 C.4 D.5（2021・上海嘉定•七年级期末）如图，已知AO平分ND4E,AD=AE,AB=AC,图中全等三角形有（

BDA.1对BDA.1对 B.2对C.3对 D.4对（2021•上海市徐汇中学七年级期末）如图，在△ABC中，已知点。、E分别在A8、AC上，BE与8相交于点O,依据下列各个选项中所列举的条件，能说明AB=AC的是.（填写序号）®BE=CD,NEBC=NDCB；®OD=OE,ZABE^ZACDi®BE=CD,BD=CE；④OB=OC,BD=CE.（2020•上海市建平中学七年级期末）在四边形ABC。中，AO〃BC,要使AABD三ACDB,可添加一个条件为.（2019・上海•七年级课时练习）已知，如图，AB〃CD,AF〃DE,AF=DE,且BE=2,BC=10,贝I]EF=.（2019・上海•七年级单元测试）△ABC和4ADC中，下列三个论断：①AB=AD；②NBAC=ZDAC；③BC=DC.将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：.（2019.上海浦东新.七年级期末）如图，4ABC沿ADCB,A、B的对应顶点分别为点。、C,如果4B=6c，”，BC=\2cm,AC=10cm,DO=3cm,那么OC的长是cm.（2021•上海杨浦•七年级期末）如图，已知VADE/VCBF,顶点4D、E分别与顶点C、B、尸对应，据此可以判断图中有哪几组直线互相平行？请说明理由.（2021・上海虹口•八年级期末）如图，已知AO〃BC,NC4£）=90。，点E、F分别是AB、8的中点，AF=CE.(1)求证：AB=CDi

(2)求证：AD=BC.B(2)求证：AD=BC.（2019•上海同济大学实验学校八年级阶段练习）如图，点A、8、C、。在一条直线上,CE与BF交于点、G,ZA=Z1,CEHDF；（1）求证：ZE=ZF；（2）若A8=C。，证明：AE=BF.（2020・上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，AB=DE,BC=DF,AF=CE.求证：BC//DF.（2021•上海市风华初级中学七年级期末）如图，点、B、F、C、E在同一条直线上，BF=EC,AB=DE,AC^DF,说明 的理由.

E D’.课后作业（2021•上海市徐汇中学八年级期中）如图，若AC、BD、EF两两互相平分于点O,那么图中的全等三角形共有（ ）3对4对53对4对5对6对（2021•上海普陀•七年级期末）如图，已知AB与。相交于点O,AO=BO,从下列条件中补充一个条件，不一定能判定aAOC三aBOD的是（ ）A.ZA=ZB B.NC=NOC.A.ZA=ZB B.NC=NOC.AC=BDD.CO=DO（2021•上海市向东中学七年级期末）如图，已知AAOC的面积为5, 平分N8AC,且AOL8O于点。，那么A4BC的面积为.（2021•上海市上南中学南校七年级期末）如图，在AABC和△fEO中，AD=FC,NA=NF,请添加一个条件：,使AABC丝△FEZ）.（2019.上海市松江区九亭中学七年级期中）如图，在ADC4与ADEB中，有以下四个等式①£>E=OC：®DA=DB;③NC=NE；④AC=BE,请以其中三个等式作条件，余下一个作结论，写出所有的正确判断 （用合区位=>8形式表示）D（2018.上海.华东理工大学附属中学七年级阶段练习）如图：在“ABC中，已知AB=AC,垂足为点D,点F在AD的延长线上，且CE〃BF,试说明DE=DF的理由.解：因为AB=AC,AD±BC（已知）所以BD= 因为CE〃BF（已知）所以/CED= 在aCED和aBFD中，/EDC=/FDB中所以aCED*BFD( )所以DE=DF(

（2019•上海•七年级课时练习）如图，AB〃CD,AD〃BC,OE=OF,图中全等三角形共有对.（2021•上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知：在四边形ABCO中，AB//CD,=点E是BC边上的一点，S.AE=DC.(1)求证：AD//BC.(2)求证：△ABC丝△皿).(3)如果A8J.4C,求证：NBAE=2ZACB.（2021•上海市川沙中学南校七年级期末）如图，在△ABC中，已知A。平分N84C,E是边A8上的一点，AE=AC,尸是边AC上的一点，联结。E、CE、FE,当EC平分NOE尸时，猜测EF、BC的位置关系，并说明理由.（完成以下说理过程）解：EF、8c的位置关系是说理如下：因为A。是/BAC的角平分线（已知）4E=AC（已知）在△AEZ>和AACD中，N（）=N（） ,（）=（）（公共边）所以△AEO四△?!«）（SAS）.得（全等三角形的对应边相等）.（2021,上海•九年级专题练习）如图，M'啊CG相交于。，A8〃A耳，BC//B,Ct,求证：AC求证：AC〃AG”B（2021••九年级专题练习）如图，AABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DC与BE交于点。且AD=3,BD=AC=6,AE=2.（1）求证：DE〃BC,（2）如果△BOC的面积比4DOE的面积大8,求ADOE的面积（2021・上海・华东理工大学附属中学七年级期末）如图，在aABC中，8c=6cm,AG//BC,AG=8cm,点尸从点3出发，沿线段BC以3cm/s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动，当点E到达点G时，E、尸两点同时停止运动，E尸与AC交于点O,设点E的运动时间为，（秒）.HAFC⑴分别写出当04d2和2044时线段BF的长度（用含f的代数式表示）.（2）当=时，求，的值.（3）若AADE冬ACDF,求所有满足条件的，值.第15讲-三角形与平行线学习目标学习目标.灵活应用平行线的判定和性质，掌握三角形中的平行线的几个基本图形的应用。（以提问的形式回顾）i.平行线的性质与判定:由角定线判定同位角相等内错角相等 _二一-1 :—一:两直线平行同旁内角互补 性质由线定角.全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。.三角形全等的判定定理：J精讲提升（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1.如图，0C平分NA08,CD//OB,指出图形中的等腰三角形，并说明理由指出图形中的等腰三角形,答案：40BD.如图，AO平分指出图形中的等腰三角形,答案：40BD.如图，AO平分NBAC,CE//AD,指出图形中的等腰三角形,答案：△ACE(4)△AGF.如图，4。平分NB4C,GE//AD,指出图形中的等腰三角形,并说明理由。答案：xOCD试一试：1.如图，OC平分NAO8,OC//BD,答案：△AGF小结：总结出角平分线平行线，等腰三角形出现例2.已知8。平分/48C,CZ）平分N4CB,EF//BC说明△AEF的周长为AB+AC解析：证明EB=ED,FD^FC试一试:.如图，已知3。平分N48C,CD平分NAC8,DE//AB,DF//AC说明AOE/7的周长为BC；解析：证明EB=ED,FD=FC.如图，已知80平分NA8C,C£）平分△A8C的一个外角，DE//BC,说明EF=BE-CR解析：证明EB=ED,FD=FC.如图，已知AB平分ND4E,AC平分ND4F,BC//EF,说明AO=-8C。2解析：证明DB=DA,DA=DC例3.如图，已知在AABC中，AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长线上一点，BD=CE,DE交BC于F.求证：DF=EF.证明：过点D作DG//AC交BC与G点\'AB=AC（已知）AZB=ZACB（等边对等角）又,：DG〃AC...N£>GB=NAC8（两宜线平行，同位角相等）；.NB=NDGB（等量代换）:.DB=DG（等角对等边）又*；DB=CE（已知）：.DG=CE（等量代换）又,：DG//CE尸CG（两直线平行，内错角相等）[NE=NFDG（已证）在4DFG和△EFC中\乙CFE=NGFD（对顶角相等已证）[DG=CE（已证）:ADFG里MFC（AAS）：.DF=EF.如图，已知点8、。在直线AE上，AC//DF,NC=NF,AD=BE,试说明BC〃EF的理由.解：因为AC〃。尸（已知）所以/A=NF£>E（两直线平行，同位角相等）.因为AO=8E（已知）所以AO+OB=OB+BE（等式的性质），即得AB=OE.在△48。和4DE/中，[NC=N「（已知）ZA="DE（已证）|ab=de（已证）所以aABCg△OEF（A4S）.所以NCBA=NFEO（全等三角形对应角相等）.所以8C〃EF（同位角相等，两直线平行）.

.如图，已知AB//C。，AB=CD,。是AC的中点，过。点作直线分别交直线A。、BC于E、F,交线段AB、CO于G、H。(1)图中有几对全等三角形？ (2)试说明AD//BC。答案：(1)5对，&AEG乌ACFH、AAGO丝△CHO,△AEO^^CFO,aABC丝△CZM,△DE晔/\BGF,(2)略.已知，四边形ABC£>中，AD//BC,AD=l,BC=3,AB=4,点E为CO中点，联结AE并延长AE与BC延长线交于点F,(1)说明△AOE与△FCE全等的理由;(2)联结BE,(2)联结BE,请说出BE与A尸的位置关系,并说明理由。答案：(1)4ADE与4FCE(4SA或AAS),(2)BE1AF,根据等腰三角形三线合一7.如图，已知AC=BC=C£),BO平分NABC,点E在BC的延长线上.(1)试说明CO〃AB的理由；(2)CO是NACE的角平分线吗？为什么？（I）解：因为8。平分NABC,（已知）所以NA8C=NOBC.（角平分线定义）因为8C=C。，（已知）所以NDBC=ND.（等边对等角）所以NA8O=/D（等量代换）所以CO〃AB.（内错角相等，两直线平行）（2）C£＞是NACE的角平分线.因为CO〃A8,所以NOCE=N4BE.（两直线平行，同位角相等）/4CO=N4.（两直线平行，内错角相等）因为AC=BC,（已知）所以乙4=NA8E.（等边对等角）所以NAC3=NOC£.（等量代换）即CO是/ACE的角平分线.8.如图：在A4BC中，已知NBAC=9（）o,AB=AC,点A在OE上，ZD=90°,ZE=90°求证：DE=CE+BD解：因为点A在£>E上（已知）,所以N5A£）+NB4C+NC4E=180°（平角的意义）.又因为N84c=90°（已知），所以N8A£>+NC4E=90°（等式性质）.因为NAC£+NC4£+NE=180°（三角形的内角和等于180°）,ZE=90°（已知），所以ZACE+ZC4E=90°（等式性质）.因此N84£）=NACE（同角的余角相等）.因为ZD=90°,ZE=90°（已知），所以ZD=NE（等量代换）.ND=NE,在△BDA和△AEC中"NBAD=NACE,A8=AC（已知），所以△BDA^AAEC（AAS）.所以4£）=CE,B£）=AE（全等三角形对应边相等）因为DE=AD+AE所以DE=CE+BD（等量代换）（2021.上海杨浦•七年级期末）如图，在5x5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与aABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）.A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】以BC为公共边时有3个三角形，以AC为公共边时有1个三角形与△ABC全等.【详解】解析：画出符合题意要求的三角形如图所示以BC为公共边的三角形有8个，分别是△BCD,.BCE,ABCF以AB为公共边的三角形有0个以AC为公共边的三角形有1个，为“CG共3+0+1=4个故选：C【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键.解题时考虑要全面，不要漏解.（2021•上海嘉定•七年级期末）如图，已知AO平分ND4E,AD^AE,A8=AC,图中全等三角形有（ ）.D'E

D'E1对2对1对2对3对4对【答案】D【解析】【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决.【详解】解：•.工。平分NZME,.*.Z1=Z2,AD^AE在AA。。和aAOE中，＜N1=N2,AO=AO：./\AOD^/\AOE(SAS),：.ZD=^E,OD=OE；[AC=AB在^AOC和aAOB中，\Z1=Z2,[AO=AOaAOC^AAOB(SAS)；-ND=NE在△COD和ABOE中，(DO=EONDOC=NEOB：./\COD^^BOE(ASA)；'AD=AE在ADA8和aEAC中，ZDAB=ZEAC,AB=ACJ.^DAB^^EAC(SAS)；由上可得，图中全等三角形有4对,

故选：D.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答.（2021・上海市徐汇中学七年级期末）如图，在△ABC中，已知点。、E分别在AB、AC上，8E与CC相交于点。，依据下列各个选项中所列举的条件，能说明=的是.（填写序号）®BE=CD,NEBC=NDCB；®OD=OE,ZABE=ZACD；®BE=CD,BD=CE；④OB=OC,BD=CE.【答案】①0③【解析】【分析】只要能确定A8、AC所在的两个三角形全等即可得出AB=AC,结合全等三角形的判定方法逐项判断即可.【详解】①当BE=CD,NE8C=NDC8时，结合NA=NA,

在AA8E和△ACD中，利用可证明丝△AC。，则有A8=AC,故①能得到A8=AC；②当OD=OE,ZABE=ZACD,结合NBOD=ZCOE,在^BOD和4COE中，利用"44S'可证明△BODgACOE,OB=OC,:.NOBC=NOCB,：.ZABC=ZACB,：.AB^AC,故②能得到AB=AC；③当BE=CD,BD=CE时,结合BC=CB,可证明ABCD沿ACBE,可得ZABC=NAC8,可得AB=AC,故③能得到AB=AC；④OB=OC,8£）=C£时，根据已知条件无法求得AB=AC,故④不能得到AB-AC,所以能得到AB=AC的有①@③.故答案为：①②③.【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA.MS-fllHL.（2020•上海市建平中学七年级期末）在四边形A8C£＞中，AD//8C,要使AABO三AC/）/?,【答案】AD=CB（答案不唯一）【解析】【分析】根据平行线的性质可得NADB=NCBD,然后根据全等三角形的各个判定定理，添加条件即可.【详解】解：VAD//BC.*.ZADB=ZCBD:BD=DB可添加AD=CB,可利用SAS即可证出丝MDB故答案为：AD=CB（答案不唯一）.【点睛】此题考查的是添加条件，使两三角形全等，掌握全等三角形的各个判定定理是解题关键.（2019・上海•七年级课时练习）已知，如图，AB/7CD,AF〃DE,AF=DE,且BE=2,BC=10,贝I」EF=.【答案】6【解析】【分析】首先证明△ABFgADCE,根据全等三角形的性质可得BF=CE,再根据等式的性质可得CF=EB=2,进而可得EF的长.【详解】；AB〃CD,AF〃DE,/.ZB=ZC,NAFB=NDEC,在AABF和aCDE中[ZB=ZCIZAFE=/.DEC,[AF=DE.'.△ABF丝ZXDCE（AAS）,；.BF=CE,/.BF-EF=CE-EF,即CF=EB=2,,:BC=10,AEF=10-2-2=6,故答案为6.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于得到CF=EB=2.（2019・上海•七年级单元测试）△ABC和4ADC中，下列三个论断：①AB=AD；②NBAC=ZDAC；③BC=DC.将两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题，写出一个真命题：.【答案】①@0③【解析】【分析】根据题意，AC是两三角形的公共边，根据三角形全等的判定方法选取即可.【详解】在4ABC和aADC中，如果AB=AD,NBAC=NDAC,那么BC=DC.可以证明aABC咨ZXADC（SAS）,再利用全等三角形对应边相等得到BC=DC.故答案为①②=③【点睛】此题考查全等三角形的性质，解题关键在于掌握判定定理.（2019.上海浦东新.七年级期末）如图，AABC且ADCB,A、8的对应顶点分别为点。、C,如果AB=6cm,BC=12cm,AC=lOcvn,DO=3cm,那么OC的长是cm.【答案】7【解析】【分析】根据△ABCgZ\DCB可证明△AOBWZWOC,从而根据已知线段即可求出OC的长.【详解】'：&AB—/\DCB，，AB=DC,ZA=ZD,XVZAOB=ZDOC（时顶角相等），.".△AOB^ADOC,；.OC=BO=BD-DO=AC-DO=7.故答案是：7.【点睛】考查了全等三角形的性质解题的关键是注意掌握全等三角形的对应边相等，注意对应关系.（2021•上海杨浦•七年级期末）如图，已知VADE且VCBF,顶点4D、E分别与顶点C、B、尸对应，据此可以判断图中有哪几组直线互相平行？请说明理由.【答案】可以判断人。〃3。,48〃8,0£〃3尸三组直线平行，见解析【解析】【分析】由MADE尔CBF得至IJZDAE=NBCF,ZAED=NCFB,AE=CF,DE=BF,进而得至I]AD〃BC和ED//B尸，再证明AC£>E/AA6尸(SAS),得到N£)C£=N84F,最后得到AB//CD.【详解】解：可以判断AD//BC,AB〃CZ),£>E〃BF三组直线平行，理由如卜.：•;aADE^aCBF,ZDAE=Z.BCF,ZAED=NCFB,AE=CF,DE=BF,：.ADUBC,：.NCED=180-ZAED,NAFB=180-4CFB，：.ZCED=ZAFB.：.EDHBF.：.AE+EF=CF+EF,：.AF^CE,

DE=BF在ACDE和AABF中，,4DEC=NBFA,CE=AF：.\CDEgMBF(SAS),:.ZDCE=NBAF,：.ABIICD,综上所述，图中共有AO〃BC,AB//CD,DEUBF.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行线的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.(2021・上海虹口•八年级期末)如图，已知A£>〃BC,NC4£)=90。，点E、F分别是A3、8的中点，AF=CE.(1)求证：AB—CD；(2)求证：AD^BC.B C【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】(1)根据平行线的性质得到NACB=NC4Z)=90。，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半分别得出CO=24凡AB=2CE,从而得出A8=C£).(2)由直角三角形全等即可得证.【详解】证明：(1)vA£>//BCZC4£>=90°/.ZACB=ZCAD=90°在自八48中，NCW=90。，点尸是C£>的中点：.CD^2AF同理可得，AB=2CE'：AF=CE

：.AB=CD(2)在R/aAC8和R/aCAD中AC=CAAB=CDRtAACB~RtACAD(HL)：.AD=BC【点睛】本题考察了平行线的性质、直角三角形的性质及直角三角形的全等，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键点.(2019・上海同济大学实验学校八年级阶段练习)如图，点A、8、C、。在一条直线上，CE与BF交于点G,NA=N1,CE/IDF；(1)求证：ZE=ZF；(2)若A8=CD,证明：AE=BF.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】【分析】(1)先判定AE〃防可得NE=N2：再证CE7/DF,即/2=//；最后根据等量代换即可证明；(2)先证AC=BO,再证VACEWVB£^,很后根据全等三角形的性质即可证明.【详解】VZ4=Z1,/.AEUEF,：.ZE=Z2,:.CE//DF,，Z2=ZF,ZE=ZF；；AB=CD,：.AB+BC=CD+BC,BPAC=BD,.,.在aACE和aBZ*中，'NE=NF-ZA=Z1,AC=BD：.VACE^/BDF(AAS).:.AE=BF.【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键.(2020・上海市静安区实验中学八年级课时练习)已知：如图，AB=DE,BC=DF,AF=CE.求证：BC〃DF.【答案】见解析【解析】【分析】由AF=CE,得至IJAC=EF,然后得到△ABCg/XDEF,则NACB=NEFD,然后即可证明结论成立.【详解】证明：VAF=CE,AAC=EF,在AABC和ZkDEF中AC=EF,AB=DE,BC=DF,/.aABC=aDEF.\ZACB=ZEFD,AZBCF=ZDFC,・・・BC〃DF；【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型.（2021•上海市风华初级中学七年级期末）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，BF=EC,AB=DE,AC=DF,说明 的理由.【解析】【分析】先求出EF=BC,再根据SSS判定△ABC会ADEF,即可证明NB=NE,从而证得A8〃£）E.【详解】证明：VBF=CE,，BF+CF=CE+CF,即即=BC,[AB=DE在^ABC和QEF中，｛8C=EF,\AC=DFaABC^aDEF(SSS),/R=/E,，AB//DE.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是得到三角形全等.二・课后作业（2021•上海市徐汇中学八年级期中）如图，若AC、BD、EF两两互相平分于点O,那么图中的全等三角形共有（ ）A.3对 B.4对 C.5对 D.6对【答案】D【解析】【分析】根据4C、BD、EF两两互相平分于点O,则有OE=。凡OA=OC,OB=OD-图中的对顶角有/AO8与/OOC,/AOE与NCOF,NBOF与NDOE,NAOC与/8OC：根据两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS）可得AA。8T△OOC；"OE—COF；再利用前面所证全等三角形，易证四边形A8CO是平行四边形，故A80Fg△D0E；△AOO@△BOC.【详解】解：..工仁BD、EF两两互相平分于点O：.OE=OF,OA=OC,OB=OD；iJO97=GOV7'3Oa7=JO97lJO37=3OV7'DOG7=9OV7：.

：.XAOB学/\DOC(SAS)△AOE^ACOF（SAS）"：OA=OC,OB=OD；•••四边形ABCD是平行四边形，AD//BC,AD=BC：.4EDO=NFBO,aAOD/ABOCWOgADOE故图中所有的全等三角形有6对,分别是丝△OOC；aAOE^ACOF；&BOF<4DOE；△AOgABOC；4ABD迫ACDB；aABSACDA.故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定;找寻全等三角形时要从最明显的开始，由易到难，不重不漏.（2021.上海普陀.七年级期末）如图，已知A8与CO相交于点O,AO=BO,从下列条件中补充一个条件，不一定能判定aAOC三aBOZ）的是（ ）D.CO=DOA.ZA=ZB B.NC=NDC.AC=BDD.CO=DO【答案】C【解析】【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可.【详解】[ZA=NB\AO=CO ,则AAOC三ABO£>（ASA）IZAOC=NBODNC=N£>JzAOC-ZBOD,则AAOC三ABO£>(A4S)[AO=BOC.无法证明AO=BOD.{ZAOC=ZBOD,MOC^BOD(SAS)CO=DO故选：C【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定.全等三角形的判定：I、（SSS）三边对应相等的两个三角形全等；2、（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；3、（ASA）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；4,（AAS）两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（2021•上海市向东中学七年级期末）如图，已知AAOC的面积为5,AO平分NBAC,且ADLBD于点D,那么△ABC的面积为.【解析】【分析】首先延长8£）,交AC于点E,再根据“ASA”证明△48。丝△4£：£）,由S屈DE+SaCDE=S^ABD+SabCD,可知S4ABe=2SMC。，可得答案.【详解】延长BO,交AC于点E,,.•AC平分N8AE,INBAANEAD."：ZADB^ZADE,AD^AD,：./\ABD^/\AED,

：.BD=DE,:.SaBCASKDE,：.SaADE+SaCDE=S^ABD+SaBCD=5,：.S^ABC=2S^CD=10.：.S^ABC=2S^CD=10.故答案为：10【点睛】这是一道关于应用全等三角形的性质解决三角形的面积问题，构造全等三角形是解题的关键.（2021・上海市上南中学南校七年级期末）如图，在AABC和AFE。中，AO=FC,NA=/尸，请添加一个条件：,使△ABC且△FEDBE【答案】AB=FE或NB=NE或NACB=NFDE或DE〃BC【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理：SSS、SAS.AAS进行判断即可.【详解】解：'：AD^FC,AC=AD+CD,FD=CF+CD：.AC=FD,"：NA=NF,添加］AB=FE,利用SAS得出△ABCg△FEO,添加NB=NE,利用AAS得出AA8c丝△尸ED,添加NACB=NFDE,利用ASA得出△ABgAFED,添力（1DE〃8C,得出NECF=/8CA,利用ASA得出△ABC丝△尸E£）,故答案为：48=尸后或N8=NE或/AC8=/FOE或。E〃8c.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟知全等三角形的判定条件.（2019.上海市松江区九亭中学七年级期中）如图，在ADC4与ADEB中，有以下四个等式①£>E=OC：②g③NC=NE：@AC=BE,请以其中三个等式作条件，余下一个作结论，写出所有的正确判断（用③③®n®形式表示）【答案】①②④=③，①®®=>②.【解析】【分析】根据已知条件，根据三角形全等的判定方法，结合条件在图形上的位置进行选择能够判定三角形全等的条件，另一个作为结论，可得答案.【详解】解：⑴（D®④=③.证明如下:VDE=DC,DA=DB,AC=BE.'.△DCA^ADEB（SSS）.,.ZC=ZE（全等三角形的对应角相等）（2）①©③"②证明如下：VDE=DC,NC=NE,AC=BE.•.△DCA^ADEB（SAS）.\DA=DB（全等三角形的对应边相等）故答案为：®©④=③，①©③=②.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种，结合图形与判定方法进行选择是解答本题的关键.（2018•上海•华东理工大学附属中学七年级阶段练习）如图：在aABC中，己知AB=AC,垂足为点D,点F在AD的延长线上，旦CE〃BF,试说明DE=DF的理解：因为AB=AC,AD1BC（已知）所以BD= 因为CE〃BF（已知）所以/CED= 在aCED和aBFD中，NEDC=/FDB中所以aCEDmaBFD（ ）所以DE=DF（ ）【答案】CD,ZF,NEDC=NFDB,BD=CD„AAS,全等三角形对应边相等.【解析】【分析】据已知条件判定两:角形全等并利用全等三角形的对应边相等得到线段DE-DF的长即可;【详解】解：；AB=AC,AD1BC（已知）.\BD=CD.:CE〃BFZCED=ZF,ZEDC=ZBDF（对顶角相等）在^BFD和ACED中ZCEF=ZBFEZ.EDC=NFDBBD=CD.,.△BFD^ACED（AAS），DE=DF（全等三角形对应边相等）.故答案为CD,ZF,NEDC=NFDB,BD=CD.,AAS,全等三角形对应边相等.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，通常利用全等三角形证明线段相等或角相等.（2019•上海•七年级课时练习）如图，AB〃CD,AD〃BC,OE=OF,图中全等三角形共有对.B FC【答案】有6对【解析】【详解】分析:在如上图形中可知相交的两直线和四边形的边长所组成的三角形全等,然后得到结论,再找其它的三角形由易到难.详解：VAD/7BC,OE=OF,/.ZFAC=ZBCA,又NAOF=NCOE,/.△AFO^ACEO,.".AO=CO,进一步可得△AODg/\COB,aFOD^AEOB,aACB^AACD,aABD^ADCB,△AOB^ACOD共有6对.故答案为6点睛：考查全等三角形的判定，做题时要从已知开始思考结合全等的判定方法由易到难找寻,注意顺序别遗漏.（2021•上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知：在四边形ABC。中，AB//CD,NB=ZADC,点E是BC边上的一点，S.AE=DC.⑴求证：AD//BC.(2)求证：△钙(?段△£?!£).(3)如果A8J.AC,求证：NBAE=2ZACB.【答案】(1)见详解；(2)见详解：(3)见详解；【解析】【分析】(1)由平行线定理两直线平行同旁内角互补证明；(2)根据平行线的性质和等腰三角形的性质先证△ABC丝(A4S),再证△"C四△E4£)(SAS)；(3)过点A作AA/J.BC于"，由等腰三角形和余角的性质证明；解：VAB//CD,：.ZB+ZBCD=180°,NB=ZADC,：.ZBCD+ZAZX:=180°,AD//EC.解：VAD//BC,：.ZCAD=ZACB,'ZB=ZADC在△ABC和^CDA中，,NACB=NCADAC=CA△ABCg△C£)A(AAS),：.BC=DA,AB=CD,VAE=CD,：.AB=AEfZB=ZA£B,AD//BC,・・・ZAEBtNE4D，/.7R=7EAD.AB=EA在△ABC和△£AD中，ZB=ZEADBC=AD：.AABC^AEAD(SAS).解：过点A作AHLBCF”,BHEC9：ab=ae9aha.bc,:.ZBAE=2ZBAH，在△ABC中，■:NB4C+ZB+ZACB=180%又AB_LAC,:.ABAC=90°：.ZB+ZACB=90°,■:NB+NBAH=900,：./BAH=ZACB,：.ZBAE=2ZACB.【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定；熟练掌握其定理进行推理论证是解题关键.（2021•上海市川沙中学南校七年级期末）如图，在AABC中，已知AO平分NBA。，E是边A8上的一点，AE=ACf/是边AC上的一点，联结。E、CE、FE,当EC平分NDEF时，猜测EF、8c的位置关系，并说明理由.（完成以下说理过程）解:EF、BC的位置关系是.说理如下：因为是NBAC的角平分线（已知）所以N1=N2.[AE=AC（已知）在AAEO和AAC。中，｛/（）=/（） ,[（）=（）（公共边）所以△4EO丝△ACC（SAS）.得（全等三角形的对应边相等）.【答案】EF//BC,DE=DC.【解析】【分析】先利用AAED丝△ACD得到/3=/4,利用角的平分线，转化为一对相等的内错角，继而判定宜线的平行.【详解】解：EF、8c的位置关系是EF〃BC.理由如下：如图,是NBAC的角平分线（已知）.•.Z1=Z2.在“即和小。中，‘AE=4C（已知）<Zl=Z2 ,40=4。（公共边）.♦.△AEOg/XACO（SAS）.:.DE=DC（全等三角形的对应边相等），/.Z3=Z4.平分NDE尸（已知），/.Z3=Z5..\Z4=Z5.所以EF〃BC（内错角相等，两直线平行）.故答案为：EF//BC,Z1=Z2,AD^AD,