2023届福建省龙岩市上杭县高三上学期暑期考试数学试题（解析版）

上杭县2022——2023学年高三月考数学试题(第I卷，选择题部分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合人二3，"2)-°},B={x|-l<xSl}»则()A.[-1,0]B.[0,1]C.[-1,2]D.[1,2]7函和"丫、— 1-(xeR)的值域是()j田双八M 1 21+厂A(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]3.已知命题〃：3xg{x|1<x<2},x-a>0,若f是真命题，则实数。的取值范围是C.a<2A.a<l B.C.a<24.函数/(力=(%—1)小国的图象可能是()5.函数f(x)=2'+3x的零点所在的一个区间是A.(-2,-1) B5.函数f(x)=2'+3x的零点所在的一个区间是A.(-2,-1) B.(-1,0)则a,b,c的6.已知a=In120202019H 2020jJ驷202120211 2021c=ln 1 20222022B.B.a>c>bD.c>a>b大小关系是()A.a>b>cC.c>b>a7.“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污.某乡村一条污染河道的蓄水量为V立方米，每天的进出水量为Z立方米.已知污染源以每天一个单位污染河水，某一时段，（单位：天）河水污染质量指数为（每立方米河水所含（机。为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是的污染物）满足根（，）=（+|肛）一,K\（机。为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍.若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%,需要的时间大约是（参考数据：In10a2.30）（ ）A.1个月 B.3个月 C.半年 D.1年.苏格兰数学家科林麦克劳林（Co〃“ 研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：in（i+^）=x-—+-+（-ir'—试根据此公式估计下面代数式&+辿+逋…逑匚+…（〃25）的近似值为（ ）（可能用到数值In2.414=0.881,In3.414=1.23）A.2.788 B.2.881 C.2.886 D.2.902二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分..下列函数既是偶函数又在（0,+8）上单调递增的是（）A./（x）=2|v| B./（x）=x-2 C./（x）=x--D.Xf（x）=2'+2.下列说法中正确的有（）A.若a<b<0,则ab〉。？hnB若。>力>0,则一>—abC.Vxe（o,-H»）,“x+’Nm恒成立”是“机42”的充分不必要条件XD.若a>0,b>0,a+b=1,则'的最小值为4ab11.对于函数/（x）=lnk土；和g（x）=lnx-ln（2x-l）,则下列结论中正确为（）A.设/（X）的定义域为M,g（x）的定义域为N,则NUM.B.函数g（x）的图像在x=l处的切线斜率为0.C.函数/(x)的单调减区间是(一8,0),D.函数/(x)的图像关于点对称.q~x+ 4-ITlX<0.已知函数f(x)=< '(e为自然对数的底)，若/(x)=/(x)+/(-x)ex(x-l),x>0且尸(x)有四个零点，则实数机的取值可以为A.1 B.e C.2e D.3e(第II卷，非选择题部分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分..若函数/(x)=xln(x+Ja+x?)偶函数，则。=..已知函数/(x)=4x+二一.若存在xw(2,+8),使得“x)W4"—2"成立，则实数。X—2的取值范围是..定义在/?上的函数/(x)满足以下两个性质：①〃-x)+/(x)=0,②/(l+x)=/(2-x),满足①②的一个函数是..定义在R上函数/(X)满足/(x+l)=g〃x),且当xe[0,l)时，/(x)=l-|2x-l|.若对任意田)，都有则加的取值范围是四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..如图，直棱柱ABC—A4G的底面AABC中，CA=CB=\,NAC8=90°,棱A&=2,如图，以C为原点，分别以C4,CB,CG为x,y,z轴建立空间直角坐标系(1)求平面ABC的法向量；(2)求直线AC与平面Age夹角的正弦值..已知f(x)=ex-ax-\.(1)当a=2时，讨论f(x)的单调区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求”的取值范围..今年年初，我市某医院计划从3名医生、5名护士中随机选派4人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战.(1)求选派的4人中至少有2名医生的概率；(2)设选派的4人中医生人数为X,求X的概率分布和数学期望..如图，边长为2的正方形A8CZ)所在的平面与半圆弧CO所在平面垂直，加是CD上异于C，D的点.(1)证明：平面平面8MC；(2)当三棱锥M—ABC体积最大时，求面M46与面MCD所成二面角的正弦值..最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为P(0<P<D.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a(a>0)元.(1)①写出X的分布列；②证明：E(X)<f(2)某公司意向投资该产品.若，=0.25,且试验成功则获利5a元，则该公司如何决策投资，并说明理由..已知函数/(x)=e*+(a-l)x,g(x)=ar+sinx+cosx(1)求函数f(x)最值；TT(2)令〃(x)=/(x)-g(x),求函数/z(x)在区间(-二,+oo)上的零点个数，并说明理由.上杭一中2022——2023学年高三月考数学试题（第I卷，选择题部分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..已知集合4={加'（*—2）'°}, 1},则4U8=（）A.[-1,0] B.[0,1] C.[-1,2] D.[1,2]【答案】C【解析】【分析】解出集合A,进而根据交集定义解得答案即可.【详解】由题意，A=[0,2],则Ad8=[-1,2].故选：C..函数/■（尤）=7\（%€/?）的值域是（ ）1+XA.（0,1） B.（0,1] C.[0,1） D.[0,1]【答案】B【解析】【分析】本题首先可令/=1+/，然后将函数f（x）=—二转化为y=L最后利用反比1+x t例函数性质得出当rw[l,+8）时函数y=l的值域，即可得出结果.【详解】令r=l+f,则r«l,+oo）,因为函数y=l在[1,+8）上单调递减，所以当te[l,+oo）时函数y 的值域为（0,1],则函数/（》）=彳下（*6R）值域为（0,1],故选：B.【点睛】本题考查函数值域的求法，考查通过换元法求函数值域，考查反比例函数的性质,考查推理能力，是简单题..已知命题P：3xe{x|l<x<2},x-a>0,若rP是真命题，则实数。的取值范围是A.a<\ B.a>2 C.a<2 D.a>2【答案】D【解析】【分析】先求出命题。为真命题时。的取值范围，则可求出命题。为假命题的范围，即可选出答案.【详解】若命题〃为真命题则，3xe{x|l<x<2}, 即a<2.又一P是真命题，即命题。为假命题，即aN2.故选：D..函数/（力=（》-1）1川目的图象可能是（）【答案】A【解析】【分析】由题意，去掉绝对值，变函数为分段函数，结合导数研究其单调性，可得答案./、/x।,f（x-l）lnxx>0【详解】由函数"力=（1）1中=［（1阿一）x<0'x_1 1当x>0时，/f(x)=lnx+: =lnx+1——，易知y=7'(x)单调递增,且/'（1）=0,可得下表:X(。,1)1(1,+00)—0+“X)极小值/

则，(x)极小=，⑴=°，、 r-1 1 1当x<0时，/'(%)=In(-x)+: =ln(-x)+l——,令g(x)=ln(-x)+l——,8'(%)=：+4=矍，令g'(x)=O,解得x=-l,可得下表:,V(-00,-1)-1(T0)g'(x)—0+g(x)极小值则gOOmin=8(%)极小=g(T)=2>°，即，'(x)>0,则/(X)单调递增.故选：A..函数f(x)=2*+3x的零点所在的一个区间是A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)【答案】B【解析】【详解】试题分析：因为函数f(x)=2，+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-l)=5一一3=一一<0,f(0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为2(-1,0),选B.考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用.点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间.c=ln1 2021 1 20222022c=ln1 2021 1 20222022B.a>C>h6.己知a=In 1 ,o=In 1 20202020 20212021大小关系是(A.a>b>cC.c>b>aD.C.c>b>a【答案】A【解析】【分析】根据三个数的形式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，最后根据单调性进行

比较大小即可.| 1_x【详解】构造函数/(x)=lnx+l-x,f\x)=一一1=——，当0<x<l时，r(x)>0,小）单调递增，所以费＞，（熹）＞/（/）小）单调递增，所以费＞，（熹）＞/（/）a>b>c.故选：A7.“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污.某乡村一条污染河道的蓄水量为u立方米，每天的进出水量为Z立方米.已知污染源以每天，个单位污染河水，某一时段，（单位：天）河水污染质量指数为加（r）（每立方米河水所含的污染物）满足加（，的污染物）满足加（，）=2+1mo_/卜V（加0为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍.若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%,需要的时间大约是（参考数据：In10a2.30）（ ）A.1个月 B.3个月 C.半年 D.1年【答案】C【解析】【分析】由题可知：机（/）=相心强=0.1%，化简得出结论.【详解】由题可知："=0.1%•,.--r=In0.1®_2.3080.,.r»184（天）...要使河水的污染水平下降到初始时的10%,需要的时间大约是半年.故选：C.8.苏格兰数学家科林麦克劳林研究出了著名 级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：ln（l+x）=x-y+—-—++（-lp'—+...,试根据此公式估计下面代数式0+竿+警-g+…厂+…（〃25）的近似值为（ ）（可能用到数值In2.414=0.881,In3.414=1.23）A.2.788 B.2.881 C.2.886 D.2.902【答案】B【解析】【分析】由麦克劳林公式得味+0)=0_2+逑，+建，+…+(-广⑼+.・.，进而可2 3 4 5 3 az得答案.【详解】解：根据麦克劳林公式得：或+0)=0二+逑，+延，+…+”回+…，' ' 2 3 4 5 3 '/〃所以ln(l+&)+2=&+半+竽<+…+(-1广空+...(”25)由于ln(l+0)+2®ln2.414+2=2.881.故0+2包+逑，+…+(-1广'6空+…(〃25)的近似值为2.881.3 5 3 n故选：B.【点睛】本题考查数学知识迁移与应用能力，解题的关键是将所求近似代替，是中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分..下列函数既是偶函数又在(0,+8)上单调递增的是()A./(X)=2W B,y(x)=x-2 C./(x)=x-D.〃月=2八2【答案】AD【解析】【分析】结合函数的奇偶性、单调性确定正确选项.【详解】A选项，_/'(x)=2H的定义域为R,/(-x)=2H=2w=/(x),/(x)为偶函数.当x>0时，/(x)=2，为增函数，符合题意.B选项，的定义域为{x|xh0},当x>0时，”工人!为减函数，不符合题思.C选项，/（x）=x-工的定义域为{x|xhO},f（-x）=-x+—=-/（x）,/（X）为奇函X X数，不符合题意.D选项，"x）=2-2的定义域为R,/（-x）=/（x）,/（X）为偶函数.当x>0时，根据复合函数单调性同增异减可知：f（x）=2/+2为增函数，符合题意.故选：AD.下列说法中正确的有（）A.若a<b<0,则加?>人2B.若a>b>0,则2>qabc.Vxe（o,y）,“x+，2”恒成立”是“〃742”的充分不必要条件XD.若a>O,b>O,a+b=l,则的最小值为4ab【答案】AD【解析】【分析】对于A,B,利用不等式的性质可以判断：对于C,利用基本不等式及不等式恒成立与最值的关系，再结合充要条件即可判断；对于D,利用基本不等式及“1”的巧用可以判断.【详解】对于A,因为a（人<0,所以。一人<0,所以"一从=力（。—力）>（）,即时>〃，故A正确；对于B,因为。>力>0,所以ab>0,b+a>0,b-a<0,所以妇色"©<o，即故B不正确；ahah ah ab对于C,Vx€（0,+oo）,x+’Nm恒成立等价于（X+—]>m,Vxe（0,+a>）X VX^rnin因为x>0,所以L>0,所以x+，N2jx，=2,X X\X当且仅当X=L即x=l时，等号成立，X所以当x=l时，X+，取得最小值为2,即WW2.X所以Vxe(0,+oo),“无+，2加恒成立”是“mV2”的充要条件，故C不正确.XhZ7对于D,因为。>0,〃>0,。+〃=1,—>0,—>0,ab当且仅当2=二即a=b="!■时，等号成立，ab 2所以当a=b=，时，1取得最小值为4,故D正确.2ab故选：AD11.对于函数〃x)=ln——g(x)=lnx-ln(2x-l),则下列结论中正确为()A.设/(X)的定义域为M,g(x)的定义域为N,则N7M.B.函数g(x)的图像在x=l处的切线斜率为0.C.函数f(x)的单调减区间是(一8,0),(g，+8).D.函数/(x)的图像关于点对称.【答案】ACD【解析】【分析】利用导数来研究函数的切线斜率以及单调性问题，利用函数的概念以及性质来研究定义域与对称性问题.【详解】因为/(x)=ln—J,所以^^>0,即M2x—D>0，2x—1 2x—1解得或x<0,因为g(x)=lnx-ln(2x-l),TOC\o"1-5"\h\zx>0? 1所以《 ，解得x>-.所以NqA/.故A正确；2x-l>0 2। 2因为g(x)=lnx-ln(2x-l),所以g<x)=一—-~x2x-12所以g'(l)=二元0=-1,所以g(x)的图像在X=1处的切线斜率为-1，故B错误:因为/(x)=ln管、=lnx-ln(2x—l)，定义域为：। ] 2 -1{x\x>-^x<o]9所以ra)=一―-~~-=—~~2 x2x-lx(2x-l)由/'(x)<0有：x>g或x<0,所以函数/(x)的单调递减区间是(-8,0),l/'+s)，故C正确；当百+%=；时，/(^)+/(^)=In-^-+ln-^-2 zx-1 ,尤2-]=In =ln-=-21n2.4为%2—2(%)+%2)+1 4所以函数f(x)的图像关于点对称，故D正确.故选：ACD.e，+2/tix+mx<0.已知函数/(x)=《v ' (e为自然对数的底)，若尸(x)=f(x)+/(-x)e(x-l),x>0且尸(x)有四个零点，则实数机的取值可以为A.1 B.e C.2e D.3e【答案】CD【解析】【分析】首先判断E(x)为偶函数，考虑x>0时，b(x)的解析式和零点个数，运用导数的几何意义和数形结合思想，即可得到所求加的范围.【详解】解：因为尸(x)=/(x)+/(-x),可得尸(»=尸(一幻,即尸(x)为偶函数,由题意可得x>0时，/(x)有两个零点，当x>0时，-x<0，f(-x)=ex-2mx+m即x>0时，F(x)=xex-ex+ex-2nvc+m=xex—2mx+m,由b(x)=。，可得xe*—2nzx+/n=0，由丁=%",丁=m(2%-1)相切，设切点为(fjd),

y=xe'的导数为y'=(x+1)靖，可得切线的斜率为(t+l)e',可得一出'="+1)-可得切线的方程为可得一出'="+1)-山切线经过点解得：，=1或--(舍去)，即有切线的斜率为2e,2故2m>2e,:.m>e,故选：CD.【点睛】本题考查函数的零点问题，关键是转化为函数图像的交点问题，考查数形结合的思想及计算能力，难度较大.(第n卷，非选择题部分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分..若函数/(x)=xln(x+Ja+x2)为偶函数,则。= -【答案】1【解析】【详解】试题分析：由函数f(x)=xln(x+yla+x2)为偶函数=>函数^(x)=ln(x+yja+x2)为奇函数，g(0)=lna=0=>a=l.考点：函数的奇偶性.【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型.首先利用转化思想，将函数/(x)=xln(x+CT?)为偶函数转化为函数g(x)=ln(x+Ja+x2)为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取g(0)=lna=°=a=l.

.已知函数/(x)=4x+二一.若存在xg(2,m),使得〃x)W4"-2"成立，则实数。的取值范围是.【答案】［2,+8)【解析】【分析】由题意可得/(x)1nhiW4"-2",利用基本不等式求出/(x)min=12,然后解不等式12W4"-2”可求出。的取值范围.【详解】因为xe(2,”)，所以x—2>0,所以f(x)=4x+—!—=4(x-2)+—!—+82 2>2j4(x-2)•——+8=12,Vx—2当且仅当4(x-2)=」一，即x=*时取等号，x—2 2所以/(X)min=%，因为存在xe(2,+8),使得〃x)W4"-2"成立，所以/(x)1rtli44"-2",即1244"一2〃，所以(2")'-2"-1220,即2"4一3(舍去)，或2"24，得a22,所以”的取值范围为［2,+8),故答案为：［2,+8).定义在/?上的函数/(x)满足以下两个性质：①/(-x)+/(x)=0,②〃l+x)=f(2-x),满足①②的一个函数是.7T【答案】/(x)=sin-x(答案不唯一)【解析】3【分析】根据性质①②可知，/(X)为奇函数且函数图像关于X=5对称，即可得到结果.【详解】因为/(_x)=sin[_H=_sin]x=_/(x),即满足性质①又因为/(l+x)=sin；(l+x)

所以〃l+x)=f(2-x),即满足性质②故答案为：/(x)=sin-x.定义在R上函数〃x)满足/(x+l)=；/(x),且当xe[O,l)时，/(x)=l-|2x-l|.若对任意xe[也田)，都有/(x)W3，则机的取值范围是37【答案】m>—82x,xg[0,^12-2x,xg2x,xg[0,^12-2x,xg[―,1)2，根据/(x+l)=：/(x)，即= —1)，依此类推，作出函数f(x)的图象求解.【详解】因为当xe[。，1)时，/(x)=l-|2x-l|,2x,xg[0,—]所以f(x)=< 21,2—2x,xg(一,1)因为f(x+l)=；f(x)，当xe口，2)时，即x-lw[0,l)时，所以/[(x-1)+1]=；f(x-1),即/(x)=；f(x-1),TOC\o"1-5"\h\z1 3 1 1当X-lw[0,y],BPxg[1,5]时，/(x)=-/(x-l)=--2(x-l)=x-l,1 3 1 1当x—leg,1),即xe',2)时，f(x)=^f(x-\)=-[2-2(x-\)]=2-xfx-1,xg[1,—]所以/(幻={ 2，2—x,xg(—,2)依此类推，作出函数/（X）的图象，如图所示：TOC\o"1-5"\h\z由图象知：/4）=±，/⑸=。,当X.5时，f（x）„ »2 64 3264当x«4.5,5）时，〃力二^」（』一4）=友［2—2（尢-4）］="（5—力、 3因为对任意X£pw,+8）,都有f（戏,77,641 3 37则3（5-巾）”77，解得：江•丁，8 64 837故答案为：mN—四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..如图，直棱柱ABC—A8c的底面AABC中，CA=CB=l,NAC8=90°,棱A4,=2,如图，以。为原点，分别以C4,CB,CG为x,y,z轴建立空间直角坐标系（1）求平面A8C的法向量；（2）求直线4C与平面ABC夹角的正弦值.【答案】（1）v=（-2,-2,l）；（2）|.【解析】【详解】分析：（1）设处平面的法向量的坐标，利用向量的数量积为0,即可求解平面48。的一个法向量；(2)取出向量法=(1,0,0),利用向量的夹角公式，即可求解直线AC与平面A8C所成角的正弦值.详解：(1)由题意可知C(0,0,0),A(1,0,2),4(0,1,2)故不=(1,0,2),国=(0,1,2)设U=(%,%,£())为平面AB|C的法向量，则v-C\=(^,^0,£0)(1,0,2)=^+220=0,/•C8i=(%%，Zo)(O,l,2)=No+2zo=0卜％=一：。令Z°=1,则/=(_2,—2,1)[%=-2zo(2)设直线AC与平面AMC夹角为。，C4=(1,0,0)疝0=呼臼」(1，。,型-2，-2」)|=2|C4||v| 1x>/22+22+12 3点睛:本题考查了平面法向量的求解，以及直线与平面所成的角，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，在高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角：②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键..已知/@)=6'-"-1.(1)当4=2时，讨论f(x)的单调区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求。的取值范围.【答案】(1)单调增区间是(ln2,+8),单调递减区间为(-co,In2).(2)(-oo,0].【解析】【分析】(1)对f(x)求导，利用导函数的正负讨论单调区间；(2)/(x)在定义域R内单调递增，即导函数/")=6*-。20恒成立，解。的取值范围即可.【小问1详解】当a=2时，f(x)=e'-2x-l,定义域xeR.f\x)=ex-2.令/"(x)>。，即/一2>0解得：x>ln2；令/"(jOvO,即/一2<0解得：x<ln2；...当。=2时，函数/(x)的单调增区间是(ln2,+8),递减区间为(-8,In2).【小问2详解】,:f(x)=ex-ax-\,xeR/.f'{x}=ex-a•••/(x)在R上单调递增，即f'(x)=ex-a>0恒成立,*/xeR时exe(0,+oo)/.a<0,即a的取值范围为(-8,0].19.今年年初，我市某医院计划从3名医生、5名护士中随机选派4人参加湖北新冠肺炎疫情狙击战.(1)求选派的4人中至少有2名医生的概率；(2)设选派的4人中医生人数为X,求X的概率分布和数学期望.【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为3.2 2【解析】分析】(1)分别对“4人中有2名医生2名护士”、“4人中有3名医生1名护士”记事件，然后根据互斥事件以及组合知识，进行求解可得结果.(2)列出X的所有可能结果，并计算相应概率，然后列出分布列，最后根据数学期望公式，可得结果.【详解】(1)记选派的4人中至少有2名医生为事件A,记4人中有2名医生2名护士为事件A,,记4人中有3名医生1名护士为事件人,且A与4互斥•则当事件A发生时，有A或4发生,所以有尸(A)=RA+4)=P(A)+P(&).又24)=等V罟吃;3 1 1所以P(A)='+-!-=±.7142故选派的4人中至少有2名医生的概率为表(2)由题意选派的医生人数X可以是0，1,2,3.所以P(x=0)=目=5；尸(X=l)=害='所以，随机变量X的概率分布表为22）加6等《心3）=尸⑷=等七X0123P]3737114故随机变量X的数学期望为1 3 3 13£(X)=Ox—+lx-+2x-+3x—=-14 7 7 142故x的数学期望为2.2【点睛】本题考查互斥事件的概率以及离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查分析能力以及运算能力，属中档题.20.如图，边长为2的正方形ABC。所在的平面与半圆弧CO所在平面垂直，V是CO上异于C，。的点.（1）证明：平面AA/DJ•平面BMC；（2）当三棱锥M—ABC体积最大时，求面M43与面所成二面角的正弦值.【答案】（1）见解析⑵巫5【解析】【分析】（1）先证BCJ■平面CMD,得BC_LCM,再证CM_LMD,进而完成证明.（2）先建立空间直角坐标系，然后判断出M的位置，求出平面MAB和平面MCD的法向量，进而求得平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值.【详解】解：（1）由题设知，平面CM。，平面A8C2交线为CD因为BC_LCO,BCu平面ABCD,所以BC_L平面CMD,故BC1DM.因为M为而上异于C,。的点，且。C为直径，所以DWLCM.又BCnCM=C，所以£>“，平面BMC.而OA/u平面AMD,故平面AMO_L平面BMC.(2)以。为坐标原点，况的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.当三棱锥M-A8C体积最大时，M为函的中点.由题设得0(0,0,0),A(2,0,0),8(2,2,0),。(0,2,0),股(0,1』)，AM=(-2,l,l),AB=(0,2,0),a4=(2,0,0)设〃=(x,y,z)是平面M4B的法向量，则fn-AM—0,।f—2x+y+z=0,[n-AB^O.[2y=0.可取〃=(1,0,2).da是平面MCD的法向量，因此p..1n-DA^5cosn,DA=， ।=—.I啊5’sinn,DA= >所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是—.5【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问主要考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角，考查数形结合，将几何问题转化为代数问题进行求解，考查学生的计算能力和空间想象能力，属于中档题.21.最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为，(0<，<1).现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为a(a>0)元.(1)①写出X的分布列；②证明：£(%)<-；(2)某公司意向投资该产品.若P=0.25,且试验成功则获利5。元，则该公司如何决策投资，并说明理由.【答案】(1)①答案见解析；②证明见解析(2)应该投资，理由见解析【解析】【分析】(1)由题意，X=1,2,3,...,10,尸(X=A)=p(l-p)J,4=1,2,…,9,P(X=10)=(l-p)9,列出分布列即可：列出E(X),乘公比错位相减法求和S=(l-p)°+2(1-p)'+3(1-p>+…+9(1-pF,分析可证明E(X)<,；P(2)由(1)£(X)<-=4,分析即得解P【小问1详解】①由题意，X=1,2,3,...,10故P(X=攵)=p(l—〃产/=1,2,…,9,P(X=10)=(1-“)9分布列如下：X12345678910ppp(l-p)p(l-p/P(l-PrP(1-P)4p(l-p)5p(l-P9p(l-pVp(l-Pl8(l-p)②E(X)="(1-p)。+2p(l-p)i+3p(l—「产+…+9p(l-p)8+10(l-p)9,记S=(l-p)°+2(l_py+3(l-p)2+—+9(l-p)8,(1-p)S=(1-p)'+2(1-p)2+3(1-p)3+…+9(1-4,作差可得，pS=(l-p)°+(l-p)'+(l-p)2+•••+(1-/?)8-9(1-/7)9=-~~———--9(