初中竞赛数学第16讲质数与合数

--PAGE3-16513，4，6，12．由此可见，自然数的正因数，有的多，有的少．除了1以外，每个自然数都至少有两个正因数．我们把只有1和其本身两个正因数的自然数称为质数(又称素数)，把正因数多于两个的自然数称为合数．这样，就把全体自然数分成三类：1，质数和合数．2是最小的质数，也是唯一的一个既是偶数又是质数的数．也就是说，除了2以外，100252，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97．质数具有许多重要的性质：11的正整数n，12如果nna一定满足性质3质数有无穷多个(这个性质将在例6中证明)．性质4(算术基本定理)每一个大于1的自然数n，必能写成以下形式：这里的P1，P2，…，Pr是质数，a1，a2，…，ar是自然数．如果不考虑p1，P2，…，Pr的次序，那么这种形式是唯一的．每一个大于22的偶数都是两个质数1+2例1设p，q，r都是质数，并且p+q=r，p＜q．求p．解由于r=p+q，所以r不是最小的质数，从而r是奇数，所以p，qp＜q，故pp=2．例2设p(≥5)是质数，并且2p+1也是质数．求证：4p+1是合数．证由于p3p3kp3k+13k+2式，k若p=3k+1，则2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)是合数，与题设矛盾．所以p=3k+2，这时4p+1=4(3k+2)+1=3(4k＋3)是合数．例3设n是大于1的正整数，求证：n4+4是合数．证我们只需把n4+4写成两个大于1的整数的乘积即可．n4+4=n4+4n2+4-4n2＝(n2+2)2-4n2＝(n2-2n+2)(n2+2n+2)，因为所以n4+4是合数．

n2+2n＋2＞n2-2n+2=(n-1)2+1＞1，488解我们用n1×2×3×…×n.令a=1×2×3×…×89=89！，那么，如下连续88个自然数都是合数：a+2，a+3，a+4，…，a+89．这是因为对某个2≤k≤89，有a+k=k×(2×…×(k-1)×(k+1)×…×89+1)是两个大于1的自然数的乘积．说明n数的差可以任意的大．，那么5证明：当n＞2，nn！之间一定有一个质数．证首先，相邻的两个自然数是互质的．这是因为(a，a-1)=(a，1)＝1，于是有(n！，n！-1)=1．由于不超过n的自然数都是n的自然数都与n！与n！-1不互质)，于是n！-1的质约数p一定大于n，即n＜p≤n！-1＜n！．所以，在nn！之间一定有一个素数．例6证明素数有无穷多个．证下面是欧几里得的证法．不同于pn711证n11(1)若n=3k(k≥4)，则(2)若n=3k+1(k≥4)，则(3)若n=3k+2(k≥4)，则

n＝3k=6+3(k-2)；n=3k+1=4+3(k-1)；n=8+3(k-2)．因此，不论在哪种情况下，n都可以表为两个合数的和．例8求不能用三个不同合数的和表示的最大奇数．解1817和表示的奇数．下面证明大于等于19的奇数n都能用三个不同的合数的和来表示．由于当k≥3时，4，9，2k是三个不同的合数，并且4+9+2k≥19，所以只要适当选择k，就可以使大于等于19的奇数n都能用4，9，2k(k=n-13/2)的和来表示．综上所述，不能表示为三个不同的合数的和的最大奇数是17．练习十六求出所有的质