高阶差分方程课件

第6章高阶差分方程12/21/20221在离散时间分析中可能出现这种情况：t期的经济变量，比如yt，不仅取决于yt-1，而且取决于yt-2。这样便引出了二阶差分方程。严格地讲，二阶差分方程是一个包含表达式Δ2yt，但不含高于二阶差分的方程。Δ2yt读作yt的二阶差分。而符号Δ2是符号d2y／dt2在离散时间情况下的对应物，表示“取二阶差分”如下：Δ2yt=Δ(Δyt)=Δ(yt+1-yt)=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt12/21/20222经济管理学院财务与投资系刘亚娟因此，yt的二阶差分可以转换为包含两期时滞的项的和。因为像Δ2yt和Δyt这样的表达式写起来很麻烦，所以我们将二阶差分方程重新定义为包含变量的两期时滞的方程。类似地，三阶差分方程为包含三期时滞的方程；等等。我们首先集中讨论二阶差分方程的解法，然后再在后面的章节中将其推广至高阶差分方程。为控制讨论的范围，在本章，我们仅讨论常系数线性差分方程。但对常数项和可变项两种形式，均作考察。12/21/20223经济管理学院财务与投资系刘亚娟特别积分是12/21/20225经济管理学院财务与投资系刘亚娟为求出余函数，我们必须集讨论简化方程yt+2+a1yt+1+a2y＝0解一阶差分方程的经验告诉我们，Abt式在这种方程的通解中起非常重要的作用。因此，我们先试探形式为yt＝Abt的解，它自然意味着yt+1＝Abt+1，等等。我们的任务便是确定A和b的值。将试探解代入简化方程，方程变成Abt+2+a1Abt+1+a2Abt＝0或在消去（非零）共同因子Abt后，有b2+a1b+a2＝012/21/20226经济管理学院财务与投资系刘亚娟此二阶差分方程的特征方程与二阶微分方程的特征方程具有可比性。它具有两个特征根：对解Abt中的b而言，上述每个根都是可接受的。事实上，b1和b2均应在齐次差分方程的通解中出现，恰如在微分方程中的情况一样，此通解必然包括两个线性无关的部分，每一部分都有自己的任意乘积常数。与微分方程特征根的三种情况一样，差分方程的特征根也有三种情况：两个不相等的实数根、两个相等的实数根和一对共轭复数根。12/21/20227经济管理学院财务与投资系刘亚娟第一种情况（不同的实根）：当a12＞4a2时，b1和b2为不同的实根。在这种情况下，b1t和b2t线性无关，余函数可以简单地写成b1t和b2t的线性组合，即yc=A1b1t+A2b2t。12/21/20228经济管理学院财务与投资系刘亚娟例：求下列方程的通解（1）；（2）；（3）12/21/202210经济管理学院财务与投资系刘亚娟令t=0和t=1则：按照初始条件，令y0=10和y1=36，则A1+A2+2=102A1+8A2+2=36联立方程求解A1＝5和A2=3，最后把它代入通解中可得特解：12/21/202212经济管理学院财务与投资系刘亚娟(3)该方程的特别积分为：该方程的特征方程为：b2-2b+1=0，所以特征根为：所以，因此，方程的通解为12/21/202214经济管理学院财务与投资系刘亚娟第三种情况（复数根）：当a12＜4a2时，b1和b2为一对共轭复数根。具体地，根的形式为h±vi，其中因此，余函数变成：yc=A1b1t+A2b2t=A1(h+vi)t+A2(h-vi)t上式表明，解释yc并不容易。但幸运的是，由于棣莫弗定理，此余函数很容易化为三角函数，而三角函数我们已知如何解释。具体如下。12/21/202215经济管理学院财务与投资系刘亚娟若令v=Rsinθ，h=Rcosθ，则共轭复数可以变换如下：h±vi＝Rcosθ±Risinθ＝R（cosθ±isinθ）。进而，由欧拉关系（即eiθ=cosθ+isinθ，e-iθ=cosθ-isinθ）可再写成h±vi＝Re±iθ则相应地（h+vi）n＝(Reiθ)n=Rneinθ类似地，（h-vi）n＝(Re-iθ)n=Re-inθ所以(h±vi)n＝[R(cosnθ±isinnθ)]n＝Rn(cosnθ±isinnθ)此即为棣莫弗定理。根据棣莫弗定理，可以写出(h±vi)t＝[R(cosnθ±isinnθ)]t＝Rt(costθ±isintθ)12/21/202216经济管理学院财务与投资系刘亚娟其中，θ为（0，2π）内的角，以弧度度量。它满足条件12/21/202217经济管理学院财务与投资系刘亚娟因此，余函数可以变换如下：yc=A1Rt(cosθt+isinθt)+A2Rt(cosθt-isinθt)＝Rt[(A1+A2)cosθt+（A1-A2）isinθt)]＝Rt（A5cosθt+A6sinθt)该余函数表达式与其在微分方程中的对应物有两点重要区别。首先，表达式cosθt和sinθt巳取代了原来使用的cosvt和sinvt。其次，乘积因子Rt(以R为底的指数)已取代了自然指数式eht。总之，我们已由复根的笛卡尔坐标系(h和v)转换到极坐标系(R和θ)。一旦h和v已知，则R和θ的值可由此确定，或可由参数a1和a2直接确定。12/21/202218经济管理学院财务与投资系刘亚娟因而，余函数为为求yp，我们在完备方程中尝试常数解yp＝k。这产生k＝4，因此yp＝4，且通解可以写成：12/21/202220经济管理学院财务与投资系刘亚娟时间路径的收敛性同在一阶差分方程中的情况一样。时间路径yt的收敛性仅取决于当t→∞时，yc是否趋近于零。因此，我们在关于t的7个区域分布图中所了解的关于bt式的各种图形仍可应用，尽管在这里我们必须考察两个特征根，而非一个特征根。12/21/202221经济管理学院财务与投资系刘亚娟我们将绝对值较大的那个根称作强根。由此看来，实际决定时间路径的特征，至少是关于其敛散性这一特征的是强根。因此，我们可以这样表述；无论初始条件如何，当且仅当强根的绝对值小于1时，时间路径将是收敛的。但要注意，尽管收敛性最终仅取决于强根，但非强根也会对时间路径施加一定的影响，至少在起始阶段是如此。因此yt的确切图形仍取决于两个根。12/21/202223经济管理学院财务与投资系刘亚娟其次考察重根的情况，此时余函数包含项A3bt和A4tbt。前者我们早巳熟悉，但对后者(它包含一个乘积因子)仍需做一点解释。如果│b│＞1，bt项将放大，而乘积项t随着t的增加，会进一步增强放大性。另一方面，如果│b│＜1，则bt部分(当t增加时m它趋于零)和t部分变化方向相反，即t值将会抵销而非强化bt。那么，哪种力量更强一些呢?答案是，bt的衰减力量总是会超过t的放大力量。因此，在重根情况下对收敛性的基本要求仍是根的绝对值小于1。12/21/202224经济管理学院财务与投资系刘亚娟现在我们考察复数根的情况。由余函数的一般形式yc＝Rt（A5cosθt+A6sinθt)可知，括号中的表达式，像连续时间状态中的表达式一样，将产生一种周期性波动形式；但因在这里，变量t仅取整数值0，1，2，…，我们仅能捕捉并利用三角函数图形中点的子集。在每个这样的点上，直到达到下一个相关的点以前，y值在一个完整的时期内都是有效的。12/21/202226经济管理学院财务与投资系刘亚娟12/21/202227经济管理学院财务与投资系刘亚娟如图17.1所描述的那样，所产生的路径既不是通常的振荡形式(在紧邻的时期中，不在yp值的上下交替)，也不是通常的波动形式(非平滑)，而是表现出一种阶梯波动。就收敛性而言，尽管决定性的因素实际上是Rt项，它像连续时间状态中的eht项一样，将确定阶梯波动在t增加时是得到强化，还是受到削弱。在现在这种情况下，当且仅当R＜1时，波动才能逐渐缩减。因为根据定义，R是共扼复数根(h±vi)的绝对值，所以，收敛性的条件仍是特征根的绝对值小于1。12/21/202228经济管理学院财务与投资系刘亚娟yt+2-4yt+1+16yt=0的通解为：有R＝4，所以时间路径不再收敛于均衡(＝0)。12/21/202230经济管理学院财务与投资系刘亚娟作业1、写出下列每个方程的特征方程，并求出特征根：（1）yt+2-yt+1+1/2yt=2；（2）yt+2+1/2yt+1-1/2yt=5；（3）yt+2-4yt+1+4yt=7；（4）yt+2-2yt+1+3yt=42、对上题中的每个差分方程，根据特征根判定时间路径是否包含振荡或阶梯波动，以及时间路径是否是放大的。3、求第1题中方程的特别积分。它们表示平稳均衡或移动均衡吗？12/21/202231经济管理学院财务与投资系刘亚娟萨缪尔森乘数一加速相互作用模型我们引用萨缪尔森教授的经典的相互作用模型，作为描述二阶差分方程在经济学中应用的一个例子。此模型探索当加速原理与凯思斯乘数一起发生作用时，收入决定的动态过程。此外，此模型还证明，仅仅是乘数和加速数的相互作用，就能够产生内生的周期性波动。12/21/202232经济管理学院财务与投资系刘亚娟结构假设国民收入Yt由三种支出流组成：消费Ct；投资It；政府支出Gt。Ct被看成上期收人Yt-1的函数，而非本期收入的函数。为简单起见，假设Ct严格地与Yt-1成比例。作为一个“引致”变量，投资是消费者现行支出倾向的函数。当然，正是通过这一引致投资，加速原理才得以进入模型。具体地，我们假设It与消费增量ΔCt-1＝Ct-Ct-1成固定比例。第三个支出流Gt，则可视为外生变量。事实上，我们将假设它是一个常数，并以G0表示之。12/21/202233经济管理学院财务与投资系刘亚娟这些假定可以转换成如下方程组：其中γ表示边际消费倾向，α表示加速数(加速系数的简写)。因为模型中包含引致投资，我们便得到一个描述乘数与加速数相互作用的二阶差分方程。12/21/202234经济管理学院财务与投资系刘亚娟利用第二个方程，我们可用收入将It表示如下：将此式与Ct代入第一个方程并整理，模型可以化简为一个方程或者等价地（将下标前移两个时期）这是一个具有常系数和常数项的二阶线性差分方程12/21/202235经济管理学院财务与投资系刘亚娟解法作为特别积分，我们有表达式1/（1-γ）是一个乘数，G0/(1-γ)(外生支出乘以乘数)应在下述意义上给出均衡收入：此收入水平满足均衡条件“国民收入＝总支出”。然而，作为此模型的特别积分，它也给出瞬时均衡收入。12/21/202236经济管理学院财务与投资系刘亚娟关于余函数，存在三种可能的情况。在这里，第一种情况（不相等实根）的特征为：γ2（1+α）2＞4αγ或γ（1+α）2＞4α或γ＞4α／（1+α）2类似地，要描述第二、三种情况的特征，我们只需将上面最后一个不等式中的＞号分别变成＝号和＜号即可。在图17．2中，我们绘出了方程y＝4α／（1+α）2的图形。根据上面的讨论，恰好位于此曲线上的(α，γ)数偶属于第二种情况。而位于该曲线上面(包含较大的γ值)的(α，γ)数偶属于第一种情况，位于该曲线下面的(α，γ)数偶属于第三种情况。12/21/202237经济管理学院财务与投资系刘亚娟α加速数γ边际消费倾向3C3D1C1Dαγ＝12C2D12/21/202238经济管理学院财务与投资系刘亚娟这种具有图17.2的图形表示的三重分类是重要的，因为它清楚地揭示这样一些条件，在此条件下乘数与加速数的相互作用可内生地产生周期性波动。但这种分类并未谈及Y的时间路径的敛散性。因此，在每一情况下，我们还需要区分衰减与放大两种子情况。当然，我们可以通过引用一些数字例子来简单地说明这种子情况，这是处理这一问题的简单方式。不过我们还是设法求出收敛性和发散性的一般条件；尽管这很麻烦，但却更有价值。12/21/202239经济管理学院财务与投资系刘亚娟收敛性与发散性该模型的差分方程具有特征方程：b2-γ（1+α）b+αγ＝0，它产生两个根：因为收敛性与发散性取决于b1和b2的值，又因为b1和b2值取决于参数α和γ的值，所以，收敛与发散的条件应当可以用α和γ值表示。12/21/202240经济管理学院财务与投资系刘亚娟为此，我们可以利用这一事实；两个特征根总可以通过如下两个方程联系起来：b1+b2＝γ（1+α）b1b2＝αγ在这两个方程的基础上，我们可以观察到（1-b1）（1-b2）＝1-（b1+b2）+b1b2＝1-γ（1+α）+αγ＝1-γ鉴于模型设定0＜γ＜1，有必要对这两个根施加条件0＜（1-b1）（1-b2）＜112/21/202241经济管理学院财务与投资系刘亚娟现在，我们来考察第一种情况下的收敛性问题，其中两个根为不同的实根。因为根据假设，α和γ均为正，这表明b1b2＞0，这意味着b1和b2具有相同的代数符号。进而，因为γ（1+α）＞0，所以，表明b1和b2必为正。因此，在第一种情况下，时间路径yt不会产生振荡。12/21/202242经济管理学院财务与投资系刘亚娟但在第一种情况下至少存在5种（b1，b2）值的组合，每种组合关于α和γ的对应值如下：(i)0＜b2＜b1＜1→0＜γ＜1；αγ＜1(ii)0＜b2＜b1＝1→γ＝1(iii)0＜b2＜1＜b1→γ＞1(iv)1＝b2＜b1→γ＝1(v)1＜b2＜b1→0＜γ＜1；αγ＞112/21/202243经济管理学院财务与投资系刘亚娟i可能性(其中b1和b2为正分数)完全满足条件0＜（1-b1）（1-b2）＜1，并与模型设定0＜γ＜1一致。在此可能性下，两根之积必然也为正分数，这意味着αγ＜1。相反，下面的三种可能性都违背条件0＜（1-b1）（1-b2）＜1，并产生不可接受的γ值，因此，必须将它们排除掉。但可能性v是可接受的。由于b1和b2均大于1，0＜（1-b1）（1-b2）＜1仍然得到满足，但这次，由关于b1和b2乘积取值的公式，我们有αγ＞1(而非αγ＜1)。12/21/202244经济管理学院财务与投资系刘亚娟结果在第一种情况下，只有两种可接受的子可能性。第一种子可能性(可能性i)包含分数根b1和b2，因而产生了y的一个收敛时间路径。另一种子情况(可能性v)的根大于1，因而产生一个发散的时间路径。但就α和γ的值而言，收敛性与发散性的问题仅取决于αγ＜1还是αγ＞1。这个结论概括在下表中最上面的部分，其中收敛的子情况标为1C，发散的子情况标为1D。12/21/202245经济管理学院财务与投资系刘亚娟对于第二种情况——重根的分析，实质是类似的。现在根为b＝γ（1+α）／2，其符号为正，因为α和γ均为正。因此仍然不存在振荡。这里我们只需将b值分为三种可能性：(vi)0＜b＜1→γ＜1；αγ＜1(vii)b=1→γ=1(viii)b＞1→γ＜1；αγ＞112/21/202246经济管理学院财务与投资系刘亚娟在可能性vi，b(=b1=b2)为正分数，因此，关于α和γ的含义与第一种情况下可能性i的情形完全一致。与此类似，可能性viii(其b(=b1=b2)大于1)与可能性v的结果相同。而可能性vii违背0＜（1-b1）（1-b2）＜1，必须被排除，所以只有两种可接受的子情况。第一种子情况(可能性vi)产生一个收敛的时间路径，而另一种子情况(可能性viii)则产生一个发散的时间路径。关于α和γ，收敛与发散的子情况仍然是分别与αγ＜1和αγ＞1相联系的。这些结论列在下表的中部，其中两种子情况分别标为2C（收敛）和2D(发散)。12/21/202247经济管理学院财务与投资系刘亚娟表1萨缪尔森模型的各种可能情形情况子情况α和γ的值时间路径Yt1不同的实根1C：0＜b2＜b1＜1αγ＜1非振荡与非波动1D：0＜b2＜b1αγ＞12重实根2C：0＜bαγ＜1非振荡与非波动2D：b＞1αγ＞13复根3C：R＜1αγ＜1具有阶梯波动3D：R≥1αγ≥112/21/202248经济管理学院财务与投资系刘亚娟最后，在第三种(复根)情况下，我们得到阶梯波动，因而具有内生的商业周期。在此情况下，我们应当考察绝对值作为判定收敛性与发散性的线索，而a2则是差分方程中yt项的系数，在本模型中，我们有，它产生如下三种可能性：(ix)R＜1→αγ＜1(x)R=1→αγ=1(xi)R＞1→αγ＞1尽管上述几种可能性都是可接受的，但仅有R＜1这种可能性具有收敛的时间路径，在表中列为子情况3C。而另外两种情况在上表中一并标为子情况3D。总之，由上表我们可以得出结论：当且仅当αγ＜1时，可以得到收敛的时间路径。12/21/202249经济管理学院财务与投资系刘亚娟用图形小结上述分析结果在图17.2中，因为要排除γ＝0和γ＝1的值，正如要排除到α＝0的一样，所以阴影的面积是一种无边的矩形。已绘出方程γ＝4α／(1+α)2的图形，以区分表1中的三种主要情况：在曲线上的点属于第一种情况；位于曲线北面上的点(表示较大的γ值)属于第二种情况；位于曲线南面的点(表示较小的γ值)则属于第三种情况。为区别收敛与发散的子情况，现在加上αγ＝1的图形(等轴双曲线〕，作为另一条分界线。位于该等轴双曲线北面的点满足不等式αγ＞1，而位于该曲线下面的点则对应于αγ＜1。这样就可能很容易区分子情况了。12/21/202250经济管理学院财务与投资系刘亚娟在第一种情况下，位于双曲线下面的虚线阴影区域，对应于子情况1C，而实线阴影区域则与子情况1D相联系。在第二种情况下，即点位于曲线γ＝4α／(1+α)2的情况下，子情况2C包括该曲线向上倾斜的部分，而子情况2D则对应该曲线向下倾斜的部分。最后，对于第三种情况，等轴双曲线用于区分小点阴影区域(子情况3c)和小石子阴影区域(子情况3D)。其中3D也包含位于等轴双曲线上的点本身，因为设定的是弱不等式αγ≥1。12/21/202251经济管理学院财务与投资系刘亚娟因为图2包含了模型中所有定性的结论，所以如果给定任意有序偶(α，γ)，通过在图形中绘出该有序偶，我们总可以在图形上找到正确的子情况。例1若加速数为0.8，边际消费倾向为0.7，会产生何种相互作用的时间路径?有序偶(0.8，0.7)位于子情况3C，因此时间路径以衰减的阶梯波动为特征。12/21/202252经济管理学院财务与投资系刘亚娟例2α＝2和γ＝0.5表明哪类相互作用的时间路径?有序偶(2，0.5)恰好位于等轴双曲线上，属于子情况3D。Y的时间路径仍表现出阶梯波动，但它既非放大，亦非衰减。将其与均匀振荡和均匀波动的情形相比较，可以将这种情形称之为“均匀阶梯波动”。但是，后一种情况下的均匀特征一般不能期望它是完美的，因为类似于图1中的图形，只能采纳那些对应于t的整数值的在正弦或余弦曲线上的点，但在每一波动周期中，这些t值可能会碰到曲线上完全不同的点。12/21/202253经济管理学院财务与投资系刘亚娟离散时间条件下的通货膨胀与失业模型前面的连续时间公式由三个微分方程构成：p=α-T-βu+hπ（预期增加的菲力普斯关系）dπ/dt=j（p-π）（适应性预期）dU/dt=-k（m-p）（货币政策）三个内生变量均为现值：p(实际通货膨胀率)，π(预期通货膨胀率)，U(失业率)。在模型中出现6个参数，参数m(名义货币增长率，或者货币扩张率)与其它参数的不同之处在于其大小是由政策决定的。12/21/202254经济管理学院财务与投资系刘亚娟当把上述方程纳入时期分析模式时，菲利普斯关系变成：pt=α-T-βUt+hπt（α，β＞0；0＜h≤1）6.17在适应性预期方程中，导数必然为差分方程所取代：πt+1-πt=j（pt-πt）（0＜j≤1）6.18同理，货币政策也将变成Ut+1-Ut=-k（m-pt+1）（k＞0）6.19这三个方程构成了通货膨胀——失业模型的新形式。12/21/202255经济管理学院财务与投资系刘亚娟以p为变量的差分方程作为分析新模型的第一步，我们仍设法将模型化简为一个具有单一变量的方程。令该变量为p。相应地，我们把注意力集中于新的菲利普斯关系。但是，因为这个方程不同于其它两个方程，它本身不能描述一种变化模式，因而需要我们来创造这样一种模式。我们可以通过对pt取差分，即取pt的一阶差分来做到这一点。根据定义Δpt≡pt+1-pt12/21/202256经济管理学院财务与投资系刘亚娟取一阶差分需要两个步骤：首先，将菲利普斯关系公式中的时间下标前移一个时期，得到pt+1=α-T-βUt+1+hπt+16.17’然后用pt+1减pt，可得到pt的一阶差分，它能够描述所需的变化模式：pt+1-pt=-β（Ut+1-Ut）+h（πt+1-πt）=βk（m-pt+1）+hj（pt-πt）6.20注意在(6.20)的第二行，(6.18)和(6.19)的变化模式都已被纳入到p变量的变化模式中去了。因此，该式包容了本模型的所有信息。12/21/202257经济管理学院财务与投资系刘亚娟但是，πt项对p研究无关紧要，需将其从上述方程中剔除。为此，我们利用这一事实hπt=pt-（α-T）+βUt6.21将该式代入上式，合并同类项，得到（1+βk）pt+1-[1-j（1-h）]pt+jβUt=βkm+j（α-T）6.22但现在又出现了一个有待于删除的Ut项。为此，差分(6.22)以得到（Ut+1-Ut）项，然后再利用(6.19)消去（Ut+1-Ut）。只有经过这样一个冗长的代换过程，我们才能得到所求的仅含p变量的差分方程，经过标准化后，其形式为6.2312/21/202258经济管理学院财务与投资系刘亚娟p的时间路径由该标准化的差分方程给出的p的瞬时均衡值为因此，同连续时间模型中的情况一样，均衡的通货膨胀率恰好等于货币扩张率。至于余函数，依a12和4a2的相对大小而定，会产生不同的实根(第一种情况)，重根(第二种情况)，或者复根(第三种情况)。12/21/202259经济管理学院财务与投资系刘亚娟在本模型中6.24比如，如果h=1/2，j＝1/3，βk=5，则，而4a2＝20，那么便出现第一种情况。但若h＝j＝1，则a12＝4，而4a2＝4(1+βk)>4，那么便会产生第三种情况。12/21/202260经济管理学院财务与投资系刘亚娟收敛性的分析仍可按上一节的路线来进行。具体地，两个特征根b1和b2之和与之积必定满足下列数量关系：6.256.25’进而，在本模型中我们有6.2612/21/202261经济管理学院财务与投资系刘亚娟现在考察两个根b1、b2为不同实根的情况。因为积b1b2为正，所以b1与b2必取相同的符号。进而，因为b1与b2的和为正，所以它们必然均为正，这意味着不会产生振荡。由(6.26)我们可以推断b1与b2均不等于1，否则(1-b1)(1-b2)将会等于0，与不等式所表明的含义相违。这表明，按照在萨缪尔森模型中所列举的关于(b1，b2)组合的各种可能性，这里不会出现可能性ii和iv。一个根大于1，另一个根小于1的情形也是不可接受的，否则，(1-b1)(1-b2)将为负。因此可能性iii也被排除了。由此可知，b1与b2或者二者均大于1，或者均小于1。然而，若b1＞1，b2＞1(可能性v)，将违背（6.25’）的假设结果，最终只有可能性i，即b1，b2均为正分数，从而p的时间路径为收敛的情况能够存在。12/21/202262经济管理学院财务与投资系刘亚娟对第二种情况的分析并没有什么根本的不同。通过同样的推理，我们可以断定重根b在本模型中只能为正分数；即可能性vi是可接受的，但可能性vii和viii则不成立。在第二种情况下，p的时间路径依然是非振荡且收敛的。至于第三种情况，收敛性要求R小于1。根据，由于a2为正分数[见6.25’]，所以确实有R＜1。因此，在第三种情况下，p的时间路径也是收敛的，尽管这次会出现阶梯被动。12/21/202263经济管理学院财务与投资系刘亚娟关于U的分析如果要分析失业率的时间路径，我们可以以货币政策影响失业的表达式为出发点。为排除方程中的p项，我们首先代pt+1以得到（1+βk）Ut+1-Ut=k（α-T-m）+khπt+16.27其次，为代换另一个方程作准备，我们对该式取差分以求得（1+βk）Ut+2-（2+βk）Ut+1+Ut=kh（πt+2-πt+1）6.28鉴于方程右边存在π的差分表达式，我们可以用一个前移形式的适应性预期方程来代替它。结果（1+βk）Ut+2-（2+βk）Ut+1+Ut=khj（pt+1-πt+1）6.29本模型中的所有信息均包含在此方程中。12/21/202264经济管理学院财务与投资系刘亚娟然而，在适当的关于U的差分方程产生以前，我们必须先剔除p和π变量。为此，由(6.19)我们注意到kpt+1=Ut+1-Ut+km6.30进而，以（-kj）通乘(6.21)，并前移时间下标，我们可以写成-kjhπt+1=-kjpt+1+kj（α-T）-βkjUt+1=-j（Ut+1-Ut+km）+kj（α-T）-βkjUt+1（由6.30）=-j（1+βk）Ut+1+jUt+kj（α-T-m）6.3112/21/202265经济管理学院财务与投资系刘亚娟这两个结果以U变量来表示pt+1和πt+1，可以使我们将其代入(6.29)，最终得到仅有U变量的差分方程：

6.32值得注意的是，方程左边的两个常系数与p的差分方程[如(6.23)]中的常系数是一致的。因此，前面关于p路径余函数的分析同样可以应用到这里。但(6.32)右边的常数项确实有别于(6.23)中的常数项。结果两种情况下的特别积分便不相同。这也应当如此，除了巧合因素外，并无内在的原因可以预期瞬时的均衡失业率与均衡通货膨胀率相同。12/21/202266经济管理学院财务与投资系刘亚娟长期菲利普斯关系我们已经验证，瞬时均衡失业率为但因已求得均衡通货膨胀率为，我们可以通过如下方程将联系起来。6.33因为此方程仅与均衡的失业率和通货膨胀率有关，所以我们认为它描述了长期的菲利普斯关系。12/21/202267经济管理学院财务与投资系刘亚娟(6.33)的一个特例引起了经济学家的广泛关注：即h＝1的情况。若h＝1，则p项的系数为零，因而会从方程中消失。换言之，将变成的常函数。在标准的菲利普斯图形中(失业率被绘成横轴)，这个结果产生了一个垂直的菲利普斯曲线。在此情况下的值，被称为自然失业率，它与均衡的通货膨胀率是一致的。这个结论具有明显的政策含义；在长期中，通货膨胀与失业这对孪生魔鬼并不存在像短期中所存在的那种替代关系。12/21/202268经济管理学院财务与投资系刘亚娟在h＜1的情况下，(6.33)中的系数为负，长期的菲利普斯曲线将向下倾斜，因而通货膨胀与失业之间存在替代关系。因此长期菲利普斯曲线是垂直的，还是斜率为负，关键取决于参数h的值。按预期增加的菲利普斯关系，h度量预期的通货膨胀率与工资结构和实际通货膨胀率相一致的程度。所有这些读者应当是非常熟悉的。12/21/202269经济管理学院财务与投资系刘亚娟作业保留方程(6.17)和(6.18)，但将(6.19)变为Ut+1-Ut＝-k（m-pt）(1)导出变量p的新的差分方程。(2)新的差分方程能产生不同的吗？(3)假定j=h=1。求特征根分别属于第一、二、三种情况的条件。(4)令j=h=1。当βk＝3，4和5时，分别描述p的时间路径(包括收敛性或发散性)。12/21/202270经济管理学院财务与投资系刘亚娟推广到可变项和高阶方程现在，可以将方法向两个方向推广：一是向可变项方向推广二是向高阶差分方程推广12/21/202271经济管理学院财务与投资系刘亚娟形式为cmt的可变项当(6.1)中的常数项为一个可变项(某个t的函数)代替时，仅仅会对特别积分产生影响。为求出新的特别积分，我们仍可以应用待定系数法。在有关微分方程的内容中，待定系数法要求可变项及其逐阶导数一起(除乘积常数外)仅取有限个不同类型的表达式。将其应用于差分方程，这个要求应修改为“可变项及共逐次差分一起(除乘积常数外)仅取有限个不同类型的表达式”。先取形式为cmt的可变项，其中c和m为常数。12/21/202272经济管理学院财务与投资系刘亚娟例1求yt+2+yt+1-3yt=7t的特别积分。这里，有c＝1和m＝7。首先，我们来确定可变项7t在逐次差分时是否会产生有限的表达式类型。按照差分法则（Δyt=yt+1-yt），7t的一阶差分为Δ7t＝7t+1-7t＝（7-1）7t＝6（7）t类似地，二阶差分Δ2（7）t，可以表示成Δ（Δ7t）＝Δ[6（7）t]＝6（7）t+1-6（7）t＝6（7-1）7t＝36（7）t12/21/202273经济管理学院财务与投资系刘亚娟而且可以验证，所有各阶差分像一阶和二阶差分一样，均为的7t倍数。因为仅有一种表达式类型，所以我们可以试探yt＝B（7）t作为特别积分，其中B待定系数。将试探解及（t+1）期、（t+2）期的对应形式带入给定的差分方程，得到B（7）t+2+B（7）t+1-3B7t＝7t或B（72+7-3）（7）t＝7t因此，B＝1/（49+7-3）＝1/53可将特别积分写成yp=B（7）t=1/53（7）t当然，它表示移动均衡。读者可以这样验证解的正确性：将其代入差分方程，从而看到产生恒等式7t≡7t12/21/202274经济管理学院财务与投资系刘亚娟例1中所得到的结果很容易由可变项7t推广至cmt。根据经验，我们可以预期所有各阶差分的表达式具有相同的形式：即Bmt，其中B为某一乘积常数。因此，当给定差分方程yt+2+a1yt+1+a2yt=cmt6.34我们可以试探解yt=Bmt作为特别积分。运用试探解yt=Bmt，这意味着yt+1=Bmt+1，等等，我们可以将（6.34）重写成Bmt+2+a1Bmt+1+a2Bmt=cmt或B（m2+a1m+a2）mt=cmt12/21/202275经济管理学院财务与投资系刘亚娟因此，试探解中的系数B应当为B=c/(m2+a1m+a2)而且所求的（6.34）的特别积分可以写成6.35注意，B的分母不允许等于零。如果它恰好为零，那么，我们必须使用试探解yt=Btmt，如果这个试探解也不行，则试探yt=Bt2mt。12/21/202276经济管理学院财务与投资系刘亚娟形式为ctn的可变项现在我们考察形式为的可变项，其中c是任意常数，n为正整数。例2求方程yt+2+5yt+1+2yt=t2的特别积分。求出t2（ctn当c＝1和n＝2时的特例）的前三阶差分如下：Δt2＝（t+1）2-t2＝2t+1Δ2t2＝Δ（Δt2）＝Δ（2t+1）＝Δ2t+Δ1＝2（t+1）-2t+0＝2（Δ常数＝0）Δ3t2＝Δ（Δ2t2）＝Δ2＝0因为进一步差分只能得到零，所以共有三种不同类型的表达式：t2(源于可变项本身)，t和常数(源于可变项的各阶差分)。12/21/202277经济管理学院财务与投资系刘亚娟因此，我们试用解yt=B0+B1t+B2t2作为特别积分，待定系数为B0，B1和B2。注意，此解意味着yt+1=B0+B1（t+1）+B2（t+1）2＝（B0+B1+B2）+（B1+2B2）t+B2t2yt+2=B0+B1（t+2）+B2（t+2）2＝（B0+2B1+4B2）+（B1+4B2）t+B2t2将其代入差分方程时，得到（8B0+7B1+9B2）+（8B1+14B2）t+8B2t2=t212/21/202278经济管理学院财务与投资系刘亚娟使方程两边逐项相等，我们看到所求的待定系数满足如下联立方程：8B0+7B1+9B2＝08B1+14B2＝08B2＝1因此，待定系数值为B0＝13/256，B1＝-7/32，B2＝1/8，给出特别积分yt=13/256-7/32t+1/8t212/21/202279经济管理学院财务与投资系刘亚娟我们可以把处理可变项t2的方法推广到ctn的情况。在新的试探解中，显然应有一项Bntn，与给定的可变项相对应。进而，因该项的逐阶差分产生不同的表达式tn-1，tn-2，…，t，B0（常数），所以可变项ctn情况下的新的试探解应写成yt=B0+B1t+B2t2+…+Bntn但其余的步骤是完全相同的。必须补充的是，这样的试探解也可能不成立。在这种情况下，我们还需要采用前面经常使用的技巧，即以t的更高的幂数乘以原试探解。也就是说，我们可以试探yt=t（B0+B1t+B2t2+…+Bntn）等等。12/21/202280经济管理学院财务与投资系刘亚娟高阶线性差分方程差分方程中的阶表示方程中差分的最高阶数，但它也表明所包含的滞后期的最大数量，因此，一个具有常系数和常数项的n阶线性差分方程一般可以写成：yt+n+a1yt+n-1+…+an-1yt+1+anyt=c6.36求此特别积分的方法与前面的方法并无本质区别。首先，我们仍可试用yt=k（静态瞬时均衡的情况）。如果此试探解不成立，则依次试探yt=kt，yt=kt2等等。12/21/202281经济管理学院财务与投资系刘亚娟但在求余函数时，我们会遇到n次多项式的特征方程bn+a1bn-1+…+an-1b+an=06.37这样会有个特征根bi（i＝1，2，…，n），所有的特征根都将进入余函数：6.3812/21/202282经济管理学院财务与投资系刘亚娟当然，这要假设所有根为不同实根。在存在重实根（比如b1＝b2＝b3）时，则（6.38）中的前三项应修正为A1b1t+A2tb1t+A2t2b1t进而，如果存在一对共轭复根，比如bn-1，bn，那么，（6.38）中的最后两项应合并为表达式Rt(An-1cosθt+Ansinθt)对其他任意一对共轭复根，也可以给出类似的表达式。但在存在两对重复根的情况下，必须将其中的一对重根给予乘积因子tRt，而不是Rt。在求出yp和yc以后，将二者相加，便可以得到完全差分方程（6.36）的通解。但因为在此解中含有个任意常数，确定这个解至少需要n个初始条件。12/21/202283经济管理学院财务与投资系刘亚娟例3求三阶差分方程yt+3-7/8yt+2+1/8yt+1+1/32yt=9的通解。通过试探解yt=k，可以很容易求得yp＝32。至于余函数，因为三次特征方程b3-7/8b2+1/8b+1/32=0可以分解成如下形式：（b-1/2）(b-1/2)(b+1/8)=0所以其根为b1＝b2＝1/2和b3＝-1/8。我们可以写出