正态分布与经典习题集和答案解析汇总

正态分布与经典习题集和答案解析汇总正态分布与经典习题集和答案解析汇总正态分布与经典习题集和答案解析汇总正态分布与经典习题集和答案解析汇总编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:专题：正态分布例：（1）已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=，V（X）=，则二项分布的参数n，p的值为 A．n=4，p= B．n=6,p= C．n=8，p= D．n=24，p=答案：B。解析：，。（2）正态曲线下、横轴上，从均数到的面积为()。A．95%B．50%C．%D．不能确定（与标准差的大小有关）答案：B。解析：由正态曲线的特点知。（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（）A32B16C8D20答案：B。解析:数学成绩是X—N(80,102)，。（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________。 答案：。解析：设两数之积为X，X23456810121520P∴E(X)=.（5）如图，两个正态分布曲线图：1为，2为，则，（填大于，小于）答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。【课内练习】1．标准正态分布的均数与标准差分别为()。A．0与1B．1与0C．0与0D．1与1答案：A。解析：由标准正态分布的定义知。2．正态分布有两个参数与，()相应的正态曲线的形状越扁平。A．越大B．越小C．越大D．越小答案：C。解析：由正态密度曲线图象的特征知。3．已在个数据，那么是指A．B．C．D．（ ）答案：C。解析：由方差的统计定义知。4．设，，，则的值是。答案：4。解析：，5．对某个数学题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，两人独立解题。记X为解出该题的人数，则E（X）=。答案：。解析：。∴。6．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是。(1)(2)(3)(4)答案：(1),(2),(4)。解析：。7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X，则D（X）=。答案：。解析：，按定义计算得。【作业本】A组1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，则E（X）等于（）A、4B、5C、D、答案：C。解析：X的分布列为X345P故E（X）=++=。2．下列函数是正态分布密度函数的是（）A．B．C．D．答案：B。解析：选项B是标准正态分布密度函数。3．正态总体为概率密度函数是（）A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数答案：B。解析：。4．已知正态总体落在区间的概率是0．5，那么相应的正态曲线在时达到最高点。答案：。解析：正态曲线关于直线对称，由题意知。5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为，求该生在这次测验中的成绩的期望为；方差为。答案：84；。解析：设X为该生选对试题个数，η为成绩，则X～B（50，），η=3X∴E(X)=40×=28V(X)=40××=故E(η)=E(3X)=3E(X)=84V(η)=V(3X)=9V(X)=6．某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为，求此人试验次数X的分布列及期望和方差。解：X的分布列为X123P故，。7．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为，乙射击一次命中10环的概率为s，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X，则EX=，Y为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s的值及Y的分布列及期望.答案：解：由已知可得，故．有Y的取值可以是0，1，2.甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是，甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是，甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是所以；甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是，甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是所以，故所以Y的分布列是Y123P所以Y的期望是E（Y）=。B组1．某产品的废品率为，从中取出10个产品，其中的次品数X的方差是（ ）A、B、C、D、答案：B。解析：X—B（10，），。2．若正态分布密度函数，下列判断正确的是（）A．有最大值，也有最小值B．有最大值，但没最小值C．有最大值，但没最大值D．无最大值和最小值答案：B。3．在一次英语考试中，考试的成绩服从正态分布，那么考试成绩在区间内的概率是A．0．6826B．0．3174C．0．9544D．0．9974答案：C。解析：由已知X—N（100，36），故。4．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，若取到一个红球则得2分，用X表示得分数，则E（X）=________；D(X)=_________.答案：；。解析：由题意知，X可取值是0，1，2，3，4。易得其概率分布如下：X01234PE(X)=0×+1×＋2×＋3×＋4×＝V(X)=×+×＋×＋×＋×－＝注：要求次品数的数学期望与方差，应先列出次品数X的分布列。5．若随机变量X的概率分布密度函数是，则=。答案：-5。解析：。6．一本书有500页，共有100个错字，随机分布在任意一页上，求一页上错字个数X的均值、标准差。解：∵X—BX的标准差。8．一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为小时、标准差为小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于40小时的概率是多少答案：解：电池的使用寿命X—N,则即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是。正态分布双基自测1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝eq\f(1,\r(8π))e－eq\f(x－102,8)，则这个正态总体的平均数与标准差分别是()．A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析由eq\f(1,\r(8π))e－eq\f(x－102,8)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(x－μ2,2σ2)，可知σ＝2，μ＝10.答案B2．(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝，则P(0＜ξ＜2)等于()．A．B．C．D．解析由P(ξ＜4)＝知P(ξ＞4)＝P(ξ＜0)＝，故P(0＜ξ＜2)＝.故选C.答案C3．(2010·广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝6，则P(X＞4)等于()．A．8B．7C．6D．5解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P(X＞4)＝－eq\f(1,2)P(2≤X≤4)＝－eq\f(1,2)×6＝7.故选B4．(2010·山东)已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝，则P(－2≤X≤2)等于()．A．B．C．D．解析P(－2≤X≤2)＝1－2P(X>2)＝.答案C5．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，则c等于()．A．1B．2C．3D．4∵μ＝2，由正态分布的定义知其函数图象关于x＝2对称，于是eq\f(c＋1＋c－1,2)＝2，∴c＝2.答案B考向一正态曲线的性质【例1】►若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为eq\f(1,4\r(2π)).(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(－4,4]的概率．解(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,\r(2π)·4)，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝eq\f(1,4\r(2π))e－eq\f(x2,32)，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝6.【训练1】设两个正态分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1＞0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有()．A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析根据正态分布N(μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.考向二服从正态分布的概率计算【例2】►设X～N(1,22)，试求(1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)；(3)P(X≥5)．解∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝6.(2)∵P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)，∴P(3<X≤5)＝eq\f(1,2)[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)]＝eq\f(1,2)[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)×4－6)＝9.(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，∴P(X≥5)＝eq\f(1,2)[1－P(－3<X≤5)]＝eq\f(1,2)[1－P(1－4<X≤1＋4)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)]＝eq\f(1,2)×(1－4)＝8.【训练2】随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ＜0)＝，则P(ξ＜2)＝________.解析由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P(ξ＞2)＝P(ξ＜0)＝，P(ξ＜2)＝1－＝.答案考向三正态分布的应用【例3】►2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为，那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆．解由题意可知ξ～N(8，σ2)，故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P(7≤ξ≤9)＝，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝，所以P(8≤ξ≤9)＝，而P(ξ≥8)＝，所以P(ξ＞9)＝，故耗油量大于9升的汽车大约有1200×＝180辆．【训练3】工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,9)))，问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有多少个解∵X～Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,9)))，∴μ＝4，σ＝eq\f(1,3).∴不属于区间(3,5]的概率为P(X≤3)＋P(X＞5)＝1－P(3＜X≤5)＝1－P(4－1＜X≤4＋1)＝1－P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝1－4＝6≈，∴1000×＝3(个)，即不属于区间(3,5]这个尺寸范围的零件大约有3个．阅卷报告19——正态分布中概率计算错误【问题诊断】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计