数字电子技术第1章课件

数字信号及数字电路的基本概念第1章数字逻辑基础逻辑代数基础逻辑函数的化简数字信号及数字电路的基本概念第1章数字逻辑基础逻辑代主要要求：

了解数字电路的特点和分类。掌握各种进制及它们之间的相互转换。1.1数字信号及数字电路的基本概念主要要求：了解数字电路的特点和分类。掌握各种进制及它们之间

模拟电路是传递、处理模拟信号的电子电路

数字电路是传递、处理数字信号的电子电路数字信号时间上和幅度上都不连续变化的信号

模拟信号时间上和幅度上都连续变化的信号数字电路中典型信号波形1.1.1数字信号与数字电路模拟电路是传递、处理模拟信号的电子电路数字电路是传递、处数字电路中只有两种状态，如真与假、开与关、高与低、有与无等，这两种状态可分别用0和1来表示。双极型数字集成电路单极型数字集成电路根据半导体的导电类型不同分为以双极型晶体管作为基本器件以单极型晶体管作为基本器件例如

CMOS、NMOS等例如TTL、ECL二、数字电路现代数字电路一般为集成电路。集成电路是将晶体管、电容、电阻等元器件和导线通过半导体制造工艺做在一块硅片上而成为一个不可分割的整体电路。数字电路中只有两种状态，如真与假、开与关、高与低、有与无等，集成电路分类集成度电路规模与范围小规模集成电路SSI1~10门/片或10~100个元件/片逻辑单元电路包括：逻辑门电路、集成触发器中规模集成电路MSI10~100门/片或100~1000个元件/片逻辑部件包括：计数器、译码器、编码器、数据选择器、寄存器、算术运算器、比较器、转换电路等大规模集成电路

LSI100

~

1000

门/片或

1000

~100000

个元件/片数字逻辑系统包括：中央控制器、存储器、各种接口电路等超大规模集成电路VLSI大于1000门/片或大于10万个元件/片高集成度的数字逻辑系统

例如：各种型号的单片机，即在一片硅片上集成一个完整的微型计算机根据集成密度不同分为集成电路集成度电路规模与范围小规模集成1~10门/便于高度集成化工作可靠性高、抗干扰能力强数字信息便于保存集成电路成本低、通用性强保密性好数字电路的优点便于高度集成化工作可靠性高、抗干扰能力强数字信息便于保存集成不同进制间的转换十进制数二进制数、八进制数和十六进制数1.1.2数制与数制的转换不同进制间的转换十进制数二进制数、八进制数和十六进制数1.1数制是计数的方法

一、十进制

(xxx)10或(xxx)D

例如(246.134)10

或(246.134)D

数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、92×1014×100

1×10-1

3×10-2权权权

权

数码所处位置不同时，所代表的数值不同

(24.13)10

进位规律：逢十进一，借一当十10i

称十进制的权

10称为基数0~9十个数码称系数数码与权的乘积，称为加权系数十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式

(246.134)10=2×103+4×102+6×101+1×100+3×10-1+4×10-2数制的概念

数制是计数的方法一、十进制(xxx)10或(例如0+1=11+1=1011+1=10010–1=1

二、

二进制、八进制和十六进制

(xxx)2或(xxx)B

例如(1001.01)2或(1001.01)B

数码：0、1

进位规律：逢二进一，借一当二

权：2i

基数：2系数：0、1

按权展开式表示

(1001.01)2=1×23+0×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2

将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。=8+0+0+1+0+0.25(1001.01)2=(9.25)10

=9.25(1001.01)2=1×23+0×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-21.二进制例如0+1=11+12.八进制3.十六进制

进制数的表示计数规律基数

权数码八进制

(Octal)(xxx)8

或(xxx)O逢八进一，借一当八

80~78i

十六进制(Hexadecimal)

(xxx)16

或(xxx)H

逢十六进一，借一当十六160

~

9、A、B、C、D、E、F

16i例如(425.25)8=4×82+2×81+5×80+2×8-1+5×8-2=256+16+5+0.25+0.078125=(277.328125)10

例如(3C1.C4)16=3×162+12×161+1×160+12×16-1+4×16-2=768+192+1+0.75+0.015625=(961.765625)10

2.八进制二、不同数制间的关系与转换

不同数制之间有关系吗？表1.1.1十进制、二进制、八进制、十六进制对照表77011176601106550101544010043300113220010211000110000000十六八二十F17111115E16111014D15110113C14110012B13101111A121010109111001981010008十六八二十二、不同数制间的关系与转换不同数制之间有关系吗？表1.1.三、不同数制间的转换

1.R进制转换成十进制按权展开求和【例1.1.1】将二进制数(11010.011)2转换成十进制数

(11010.011)2=1×24

+1×23+0×22+1×21+0×20+0×2-1+1×2-2

+0×2-3=16+8+0+2+0+0.25+0.125=(26.375)10

【例1.1.2】将八进制数(137.504)8转换成十进制数

(137.504)8=1×82+3×81

+7×80+5×8-1+0×8-2

+4×8-3=64+24+7+0.625+0+0.078125=(95.6328125)10三、不同数制间的转换1.R进制转换成十进制按【例1.1.3】将十六进制数(12AF.B4)16转换成十进制数

(12AF.B4)16=1×163+2×162+10×161+15×160+11×16-1+4×16-2

=16+8+0+2+0+0.25+0.125=(26.375)10

【例1.1.3】将十六进制数(12AF.B4)16转换2.十进制转换为R进制整数和小数分别转换整数部分：除2取余法①将给定的十进制整数除以R，余数作为R进制数小数点前的最低位。②把前一步的商再除以R，余数作为次低位。③重复步骤②，记下余数，直至商为0，最后的余数即为R进制的最高位。小数部分：乘2取整法①将给定的十进制小数乘以R，整数作为R进制数小数点后的最高位。②把前一步的积再乘以R，余数作为次高位。③重复步骤②，记下整数，直至最后积为0或达到一定的精度。2.十进制转换为R进制整数和小数分别转换整数部分：除(26)10=(11010)2

一直除到商为0为止

读数顺序【例1.1.4】将十进制数(26)10转换成二进制

商01361326余数11010÷2【例1.1.5】将十进制数(26)10转换成八进制数

商0326余数32÷8(26)10=(32)8(26)10=(11010)2一直除到商为0为止(0.875)10=(0.111)2一直乘到积为0或达到一定的精度

【例1.1.6】将十进制数(0.875)10转换成二进制数

1.500

1整数1.750

1×2×21.000

1×2读数顺序0.875(0.875)10=(0.111)2一直乘到积为0或3.基数R为2K的各进制之间的转换每位八进制数用三位二进制数代替，再按原顺序排列。八进制→二进制二进制→八进制从小数点开始，整数部分向左

(小数部分向右)

三位一组，最后不足三位的加0补足三位，再按顺序写出各组对应的八进制数。3.基数R为2K的各进制之间的转换每位一位十六进制数对应四位二进制数，因此二进制数四位为一组。十六进制→二进制:每位十六进制数用四位二进制数代替，再按原顺序排列。二进制→十六进制:从小数点开始，整数部分向左(小数部分向右)

四位一组，最后不足四位的加0补足四位，再按顺序写出各组对应的十六进制数。一位十六进制数对应四位二进制数，因此二进制数四(10100110.1110101)2=(246.724)8

补0(10100110.1110101)2=(?)8

10100110.111010

000

246724补0101001101110101【例1.1.7】将下列二进制数分别

转换成八进制数或十六进制数

(10010100111.11001)2=(4A7.C8)16

(10010100111.11001)2=(?)16

10010100111.11100100

4A7C80

补010010100111111001补0(10100110.1110101)2【例1.1.8】将下列数

转换成二进制数

(537.361)8=(101011111.011110001)2

=(101011111.011110001)2(4B5D.97D)16=(0100101101011101.100101111101)2

=(100101101011101.100101111101)2

【例1.1.8】将下列数转换成二进制数(537.36例如：用四位二进制数码表示十进制数0~90000→00001→10010→20011→30100→40101→50110→60111→71000→81001→9二进制数码不仅可以表示数值的大小，还可表示特定的信息。将若干个二进制数码0和1按一定规则排列起来表示某种特定含义的代码称为二进制代码，简称二进制码。1.1.3常用的二进制代码例如：用四位二进制数码表示十进制数0~9二进制数常用二进制代码表BCD码十进制数码8421码格雷码012345678900000001001000110100010101100111100010010000000100110010011001110101010011001000将十进制数0～9用4位二进制表示的代码，称为BCD码。8421BCD码，是分别将十进制数中的0～9用4位自然二进制码的前十个码字来表示。下式为一个十进制数和8421BCD码的互换。(129)10=(000100101001)8421BCD码格雷码的特点是：相邻的两个码组之间仅有1位不同，这种编码可减少转换和传输出错的可能性，它是一种可靠性代码。1.3.2中的卡诺图就利用了格雷码的特点。

常用二进制代码表BCD码8421码格雷主要要求：

掌握三种基本逻辑关系及其逻辑函数掌握逻辑函数的四种表达形式1.2逻辑代数基础掌握逻辑代数中的基本公式和常用定律主要要求：掌握三种基本逻辑关系及其逻辑函数掌握逻辑函数的四图所示是一个与逻辑实际电路，图中有两个开关，只有当开关全部闭合时，灯才亮。只有当决定某一事件（如灯亮）的条件（如开关闭合）全部具备时，这一事件才会发生。我们把这种因果关系称之为与逻辑关系。1.2.1逻辑关系图所示是一个与逻辑实际电路，图中有两个开关，只有当开关全部闭图所示是一个或逻辑实际电路，图中有两个开关，只要开关有一个闭合，或者两个都闭合，灯就会亮只要在决定某一事件（如灯亮）的条件（如开关闭合）中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。我们把这种因果关系称之为或逻辑关系。图所示是一个或逻辑实际电路，图中有两个开关，只要开关有一个闭图所示是一个非逻辑实际电路，当开关闭合时，灯灭，反之，当开关断开时，灯亮。事件（如灯亮）发生的条件（如开关闭合）具备时，事件（如灯亮）不会发生，反之，事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称之为非逻辑关系。图所示是一个非逻辑实际电路，当开关闭合时，灯灭，反之，当开关一、逻辑函数1.2.2三种基本逻辑函数一般，人们称决定事物的因素为逻辑自变量，而称事物的结果为逻辑因变量，被概括的以某种形式表达的逻辑自变量和逻辑因变量的函数关系称为逻辑函数。逻辑自变量（输入逻辑变量）和逻辑因变量（输出逻辑变量）统称为逻辑变量。逻辑变量用字母表示，其取值只有两个，1和0。这里1和0不表示数量的大小，只表示变量两种对立的状态，比如真和假、是和非、有和无、高和低、开和关等。一、逻辑函数1.2.2三种基本逻辑函数一般，人逻辑自变量（输入逻辑变量）和逻辑因变量（输出逻辑变量）统称为逻辑变量。逻辑变量用字母表示，其取值只有两个，1和0。这里1和0不表示数量的大小，只表示变量两种对立的状态，比如真和假、是和非、有和无、高和低、开和关等。如果对应于输入逻辑变量A、B、C、…的每一组确定值，输出逻辑变量Y都有唯一确定的值与之对应，则Y是A、B、C、…的逻辑函数。记为Y=f（A、B、C、…）。逻辑自变量（输入逻辑变量）和逻辑因变量（输出逻辑变二、逻辑运算符、逻辑表达式逻辑表达式是实际逻辑问题的抽象表达，是由逻辑变量和逻辑运算符号连接起来所构成的式子。与、或、非逻辑的运算符分别为：“·”、“+”、字母头上加一横。在逻辑表达式中，等式右边的字母是输入逻辑变量，等式左边的字母是输出逻辑变量。逻辑函数的表示形式有真值表、逻辑表达式、逻辑图、卡诺图，它们之间可以互相转换。与逻辑表达式Y=A·B或Y=AB或逻辑表达式Y=A+B非逻辑表达式Y=A

二、逻辑运算符、逻辑表达式逻辑函数的表示形式有真值表、逻辑表三、真值表对于输入变量的不同取值（n个输入变量的函数有2n个取值组合），输出变量均有与其相对应的逻辑值。把输入、输出变量所有相互对应的逻辑值（状态）列在一个表格内，这种表格称为逻辑函数真值表，简称真值表。真值表中，输入变量按二进制数序列顺序由上而下排列，输出变量是实际逻辑事件含义（因果关系）的逻辑值。三、真值表111YAB000001010有0出0；全1出1

000111YA

B101110有1出1；全0出0

AY0110进1出0；进0出1

与逻辑真值表及逻辑规律或逻辑真值表及逻辑规律非逻辑真值表及逻辑规律111YAB00000四、逻辑符号数字电路中常采用一些符号图形表示常用的逻辑关系，这些符号图形叫做逻辑关系的逻辑符号。与、或、非三种基本逻辑关系的逻辑符号，如图所示。与门

(ANDgate)

或门

(ORgate)非门(NOTgate)又称“反相器”四、逻辑符号与门或门非门(NOTgate)1.2.3复合逻辑函数人们在研究实际问题时发现，事物的各个因素之间的逻辑关系往往要比单一的与、或、非复杂得多。不过它们都可以用与、或、非的组合来实现。含有两种或两种以上逻辑运算的逻辑函数称为复合逻辑函数。逻辑运算的优先级从低到高依次为：小括号、非、或、与。逻辑图：逻辑图是逻辑函数的表示形式之一。若已知逻辑函数的逻辑表达式，把逻辑表达式中的各逻辑运算用相应门电路的逻辑符号代替，就可画出和逻辑表达式相对应的逻辑图。1.2.3复合逻辑函数人们在研究实际问题时发现常用复合逻辑运算

与非逻辑(NAND)先与后非若有

0

出

1若全

1

出

0100011YA

B101110011或非逻辑(NOR)先或后非若有

1

出

0若全

0

出

1100YA

B001010与或非逻辑(AND–OR–INVERT)先与后或再非常用复合逻辑运算与非逻辑(NAND)先与后非若有0出异或逻辑(Exclusive–OR)若相异出1若相同出0同或逻辑(Exclusive-NOR，即异或非)若相同出1若相异出0000011YAB101110100111YAB001010注意：异或和同或互为反函数，即异或逻辑(Exclusive–OR)若相异出1同或逻常用复合逻辑运算的逻辑符号

与非逻辑或非逻辑与或非逻辑异或逻辑同或逻辑常用复合逻辑运算的逻辑符号与非逻辑或非逻辑与或非逻辑异或1.2.4逻辑代数

逻辑代数是逻辑学家乔治·布尔创立的，又称为布尔代数。

逻辑代数与普通代数相似之处在于它们都是用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。不同的是，逻辑代数描述的是逻辑关系，逻辑函数表达式中的逻辑变量的取值和逻辑函数值都只有两个值，即0和1。这两个值仅表示两种相反的状态，如开关的闭合与断开；电位的高低；真与假等。因此，逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则。1.2.4逻辑代数逻辑代数是逻辑学家乔治·布尔创立的一、公理

0+A=A1+A=11·A=A0·A=0A+A=AA·A=A

一、公理0+A=A二、基本定律

交换律A+B=B+AA·B=B·A结合律(A+B)+C=A+(B+C)(A·B)·C=A·(B·C)分配律A(B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+C)普通代数没有！吸收律A+AB=A

A+AB=A(1+B)=A二、基本定律交换律A+B=B+A0011111011011100A+BA·BA

B0011001000011100A·BA+BA

B推广公式：摩根定律(又称反演律)001111101101110三、三个规则

1.

代入规则从而摩根定理得到扩展将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。摩根定理的两变量形式为B均用BC代替三、三个规则1.代入规则从而摩根定理得到扩展变换时注意：①保持变换前的运算优先顺序不变，必要时加括号表明运算的先后顺序

。②不属于单个变量上的反号应保留不变。2.

反演规则对任一个逻辑函数式

Y，将“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数。【例1.2.1】求下列函数的反函数变换时注意：2.反演规则对任一个逻辑函数式Y，3.对偶规则对任一个逻辑函数式

Y，将“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到原逻辑函数式的对偶式

Y。

对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。

【例】求下列函数的对偶函数3.对偶规则对任一个逻辑函数式Y，将“·”换成“+”，主要要求：

1.3逻辑函数的化简了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。理解最简与-或式的标准。

了解逻辑函数的代数化简法。主要要求：1.3逻辑函数的化简了解逻辑函数式的常见形式及逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。逻辑函数式的几种常见形式

【例如】

与或表达式

或与表达式与非-

与非表达式或非-

或非表达式与或非表达式逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间逻辑函数相等设有两个逻辑函数，Y1=f（A、B、C、…），Y2=g（A、B、C、…），它们的变量都是A、B、C、…，如果对应于A、B、C、…的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2是相等的，记为Y1=Y2。

显然，若两个逻辑函数相等，那么它们的真值表一定相同；若两个函数的真值表完全相同，那么这两个函数一定相等。这个概念为逻辑函数的化简提供了基础。逻辑函数相等设有两个逻辑函数，Y1=f（A、B、C、…最简与-或式标准(1)乘积项(即与项)的个数最少(2)每个乘积项中的变量数最少用与门个数最少与门的输入端数最少

逻辑函数化简一般来说，如果表达式比较简单，那么电路使用的元、器件就少，设备就简单。本节主要介绍如何将一个函数表达式化简成最简与—或表达式，常用的化简方法有公式法和图解法两种，重点在于图解法。

如最简与-或式标准(1)乘积项(即与项)的个数最少用与门运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。并项法

运用，将两项合并为一项，并消去一个变量。1.3.1逻辑函数的公式化简法运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。并项法吸收法

利用A+AB

=A，消去多余项。利用，消去多余项。吸收法利用A+AB=A，消去多余项。利用配项法

利用

，为某一项配上所缺的变量，以便用其它方法进行化简

。配项法利用利用A+A=A，为某项配上其所能合并的项

。利用A+A=A，为某项配上其所能合并的项。消去冗余项法

利用

，将冗余项BC消去。消去冗余项法利用1.3.2逻辑函数的卡诺图表示一、逻辑函数的最小项如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，又叫最小项。根据最小项的定义，一个变量A可以组成2个最小项；两个变量A、B可组成4个最小项：；三个变量A、B、C可组成8个最小项

一般地，n个变量可组成个最小项。1.3.2逻辑函数的卡诺图表示一、逻辑函数的最小项为了叙述和书写方便，通常用符号来表示最小项。其中下标i是这样确定的：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定的后，可以按顺序排列成一个二进制数，与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。如：按照这个原则，三变量的8个最小项可分别表示为：为了叙述和书写方便，通常用符号来表示最小项。其中下标i是

如果一个逻辑函数的某两个最小项只有一个变量不同，其余变量均相同，则称这样的两个最小项为相邻最小项。如：两个相邻最小项可以合并成一项并消去一个变量，如：

如果一个逻辑函数的某两个最小项只有一个变量不同，其余变量二、逻辑函数的最小项

每个逻辑函数都可以化成最小项之和的形式，这种表达形式称为函数的最小项表达式。逻辑函数的真值表和最小项表达式都是唯一的，由真值表可以很容易地写出函数的最小项表达式。二、逻辑函数的最小项每个逻辑函数都可以化成最小项之和的Y的真值表如表所示。逻辑函数的真值表和最小项表达式都是唯一的，且是一一对应的，所以由真值表也可以很容易地写出函数的最小项表达式。【例1.3.1】写出逻辑函数的最小项表达式。用最小项编号来代表最小项，Y的最小项表达式可以写为：ABCY最小项0000m00011m10101m20111m31000m41011m51100m61110m7Y的真值表如表所示。逻辑函数的真值表和最小项表达式都是唯一的三、最小项的卡诺图表示将逻辑函数真值表中的最小项排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。

以格雷码排列以保证相邻性三、最小项的卡诺图表示将逻辑函数真值表中的最小项排列成卡诺图的特点是：任意两个相邻的最小项在图中几何位置和对称位置上都是相邻的，即卡诺图中最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的，最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的。卡诺图的特点是：任意两个相邻的最小项在图中几何位置和对称位置如何写出卡诺图方格对应的最小项？

已知最小项如何找相应小方格？

例如

原变量取1，反变量取0。1001？ABCD0001111000011110

如何写出卡诺图方格对应的最小项？已知最小项如何找相应小方格四、逻辑函数在卡诺图上的表示1.如果已知某逻辑函数的真值表或者最小项表达式，那么只要在卡诺图上将该逻辑函数对应的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0，即得到该函数的卡诺图。ABC

Y000001010011100101110111

100

1

10

10

1

1

1

1在卡诺图中对应于ABC取值分别为000、011、100和111的方格内填入1，其余填入0，即得到如图所示的卡诺图。

m0m3m4m6【例1.3.2】用卡诺图表示下表所示的逻辑函数四、逻辑函数在卡诺图上的表示1.如果已知某逻辑函数的真值在与最小项m1、m3、m4、m6、m7、m11、m14、m15相对应的方格内填入1，其余填入0，即得该函数的卡诺图

【例1.3.3】用卡诺图表示逻辑函数Y（A，B，C，D）=∑m（1，3，4，6，7，11，14，15）在与最小项m1、m3、m4、m6、m7、m11、m14、m12.如果已知逻辑函数的一般逻辑表达式，可先将该函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后找出函数的每一个乘积项所包含的最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子），再在与这些最小项对应的方格内填入1，其余填入0，即得到该函数的卡诺图。其中同理11

对应最小项为同时满足B

=0D

=1的方格。111

对应最小项为同时满足A=0，

C=0的方格。【例1.3.4】用卡诺图表示逻辑函数2.如果已知逻辑函数的一般逻辑表达式，可先将该函数变换为与一、卡诺图

1.卡诺图上任何2个相邻最小项，可以合并为一项并消去1个变量。

2.卡诺图上任何4个相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。

3.卡诺图上任何n个相邻最小项，可以合并为一项，并消去2n个变量。

1.3.3逻辑函数的卡诺图化简法一、卡诺图1.卡诺图上任何2个相邻最小项，可以数字电子技术第1章课件数字电子技术第1章课件画包围圈规则包围圈必须包含2n个相邻1方格，且必须成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；1方格可重复圈，但须每圈有新1；每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈；同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；四个角上的1方格也循环相邻，可画圈。注意ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

卡诺

图化

简法

步骤画函数卡诺图

将各圈分别化简对填1的相邻最小项方格画包围圈

将各圈化简结果逻辑加

二、画包围圈规则包围圈必须包含2n个相邻1（1）画出Y的卡诺图，如右图所示。

（2）画卡诺圈合并最小项，得出最简与或表达式为BDCD【例1.3.5】用卡诺图化简逻辑函数

Y（A,B,C,D）=∑m（3,5,7,8,11,12,13,15）

（1）画出Y的卡诺图，如右图所示。（2）画卡诺圈合并最（1）由表达式画出Y的卡诺图，如右图所示。

（2）画卡诺圈合并最小项，得出最简与或表达式为BCBDAD【例1.3.6】用卡诺图化简逻辑函数（1）由表达式画出Y的卡诺图，如右图所示。（2）画卡诺三、具有约束项的逻辑函数的化简：

1.逻辑函数中的约束项：在实际中，经常遇到一些逻辑函数，对有些最小项的取值既可以为1，也可以为0；或者，某些变量取值组合不允许出现，如8421码中，1010～1111这6种代码是不允许出现的。这些最小项称为约束项，又称为禁止项、无关项、任意项。在真值表和卡诺图中，约束项所对应的函数值往往用符号“×”或“Φ”表示。如一个逻辑函数的约束项是则可以写成下列等式（称为约束条件）：或∑d（0，2，6，7）=0三、具有约束项的逻辑函数的化简：1.逻辑函数中的

2.利用约束项化简逻辑函数对于含有约束项的逻辑函数的化简，如果某约束项对函数化简有利，则把它看作“1”，反之，则把它看作“0”。（1）根据最小项表达式，画出卡诺图，如图所示。（2）画卡诺圈，从图可看出，有两个约束项被看作了“1”，参与了逻辑函数的化简。由此可得出到函数的最简与或表达式。Y（A,B,C,D）=∑m（0,1,7,8,13,15）+∑d（2,5,9,10）∑d（2，5，9，10）=0（约束条件）最小项约束项【例1.3.7】用卡诺图化简逻辑函数2.利用约束项化简逻辑函数对于含有约束项的逻辑

数字信号及数字电路的基本概念第1章数字逻辑基础逻辑代数基础逻辑函数的化简数字信号及数字电路的基本概念第1章数字逻辑基础逻辑代主要要求：

了解数字电路的特点和分类。掌握各种进制及它们之间的相互转换。1.1数字信号及数字电路的基本概念主要要求：了解数字电路的特点和分类。掌握各种进制及它们之间

模拟电路是传递、处理模拟信号的电子电路

数字电路是传递、处理数字信号的电子电路数字信号时间上和幅度上都不连续变化的信号

模拟信号时间上和幅度上都连续变化的信号数字电路中典型信号波形1.1.1数字信号与数字电路模拟电路是传递、处理模拟信号的电子电路数字电路是传递、处数字电路中只有两种状态，如真与假、开与关、高与低、有与无等，这两种状态可分别用0和1来表示。双极型数字集成电路单极型数字集成电路根据半导体的导电类型不同分为以双极型晶体管作为基本器件以单极型晶体管作为基本器件例如

CMOS、NMOS等例如TTL、ECL二、数字电路现代数字电路一般为集成电路。集成电路是将晶体管、电容、电阻等元器件和导线通过半导体制造工艺做在一块硅片上而成为一个不可分割的整体电路。数字电路中只有两种状态，如真与假、开与关、高与低、有与无等，集成电路分类集成度电路规模与范围小规模集成电路SSI1~10门/片或10~100个元件/片逻辑单元电路包括：逻辑门电路、集成触发器中规模集成电路MSI10~100门/片或100~1000个元件/片逻辑部件包括：计数器、译码器、编码器、数据选择器、寄存器、算术运算器、比较器、转换电路等大规模集成电路

LSI100

~

1000

门/片或

1000

~100000

个元件/片数字逻辑系统包括：中央控制器、存储器、各种接口电路等超大规模集成电路VLSI大于1000门/片或大于10万个元件/片高集成度的数字逻辑系统

例如：各种型号的单片机，即在一片硅片上集成一个完整的微型计算机根据集成密度不同分为集成电路集成度电路规模与范围小规模集成1~10门/便于高度集成化工作可靠性高、抗干扰能力强数字信息便于保存集成电路成本低、通用性强保密性好数字电路的优点便于高度集成化工作可靠性高、抗干扰能力强数字信息便于保存集成不同进制间的转换十进制数二进制数、八进制数和十六进制数1.1.2数制与数制的转换不同进制间的转换十进制数二进制数、八进制数和十六进制数1.1数制是计数的方法

一、十进制

(xxx)10或(xxx)D

例如(246.134)10

或(246.134)D

数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、92×1014×100

1×10-1

3×10-2权权权

权

数码所处位置不同时，所代表的数值不同

(24.13)10

进位规律：逢十进一，借一当十10i

称十进制的权

10称为基数0~9十个数码称系数数码与权的乘积，称为加权系数十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式

(246.134)10=2×103+4×102+6×101+1×100+3×10-1+4×10-2数制的概念

数制是计数的方法一、十进制(xxx)10或(例如0+1=11+1=1011+1=10010–1=1

二、

二进制、八进制和十六进制

(xxx)2或(xxx)B

例如(1001.01)2或(1001.01)B

数码：0、1

进位规律：逢二进一，借一当二

权：2i

基数：2系数：0、1

按权展开式表示

(1001.01)2=1×23+0×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2

将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。=8+0+0+1+0+0.25(1001.01)2=(9.25)10

=9.25(1001.01)2=1×23+0×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-21.二进制例如0+1=11+12.八进制3.十六进制

进制数的表示计数规律基数

权数码八进制

(Octal)(xxx)8

或(xxx)O逢八进一，借一当八

80~78i

十六进制(Hexadecimal)

(xxx)16

或(xxx)H

逢十六进一，借一当十六160

~

9、A、B、C、D、E、F

16i例如(425.25)8=4×82+2×81+5×80+2×8-1+5×8-2=256+16+5+0.25+0.078125=(277.328125)10

例如(3C1.C4)16=3×162+12×161+1×160+12×16-1+4×16-2=768+192+1+0.75+0.015625=(961.765625)10

2.八进制二、不同数制间的关系与转换

不同数制之间有关系吗？表1.1.1十进制、二进制、八进制、十六进制对照表77011176601106550101544010043300113220010211000110000000十六八二十F17111115E16111014D15110113C14110012B13101111A121010109111001981010008十六八二十二、不同数制间的关系与转换不同数制之间有关系吗？表1.1.三、不同数制间的转换

1.R进制转换成十进制按权展开求和【例1.1.1】将二进制数(11010.011)2转换成十进制数

(11010.011)2=1×24

+1×23+0×22+1×21+0×20+0×2-1+1×2-2

+0×2-3=16+8+0+2+0+0.25+0.125=(26.375)10

【例1.1.2】将八进制数(137.504)8转换成十进制数

(137.504)8=1×82+3×81

+7×80+5×8-1+0×8-2

+4×8-3=64+24+7+0.625+0+0.078125=(95.6328125)10三、不同数制间的转换1.R进制转换成十进制按【例1.1.3】将十六进制数(12AF.B4)16转换成十进制数

(12AF.B4)16=1×163+2×162+10×161+15×160+11×16-1+4×16-2

=16+8+0+2+0+0.25+0.125=(26.375)10

【例1.1.3】将十六进制数(12AF.B4)16转换2.十进制转换为R进制整数和小数分别转换整数部分：除2取余法①将给定的十进制整数除以R，余数作为R进制数小数点前的最低位。②把前一步的商再除以R，余数作为次低位。③重复步骤②，记下余数，直至商为0，最后的余数即为R进制的最高位。小数部分：乘2取整法①将给定的十进制小数乘以R，整数作为R进制数小数点后的最高位。②把前一步的积再乘以R，余数作为次高位。③重复步骤②，记下整数，直至最后积为0或达到一定的精度。2.十进制转换为R进制整数和小数分别转换整数部分：除(26)10=(11010)2

一直除到商为0为止

读数顺序【例1.1.4】将十进制数(26)10转换成二进制

商01361326余数11010÷2【例1.1.5】将十进制数(26)10转换成八进制数

商0326余数32÷8(26)10=(32)8(26)10=(11010)2一直除到商为0为止(0.875)10=(0.111)2一直乘到积为0或达到一定的精度

【例1.1.6】将十进制数(0.875)10转换成二进制数

1.500

1整数1.750

1×2×21.000

1×2读数顺序0.875(0.875)10=(0.111)2一直乘到积为0或3.基数R为2K的各进制之间的转换每位八进制数用三位二进制数代替，再按原顺序排列。八进制→二进制二进制→八进制从小数点开始，整数部分向左

(小数部分向右)

三位一组，最后不足三位的加0补足三位，再按顺序写出各组对应的八进制数。3.基数R为2K的各进制之间的转换每位一位十六进制数对应四位二进制数，因此二进制数四位为一组。十六进制→二进制:每位十六进制数用四位二进制数代替，再按原顺序排列。二进制→十六进制:从小数点开始，整数部分向左(小数部分向右)

四位一组，最后不足四位的加0补足四位，再按顺序写出各组对应的十六进制数。一位十六进制数对应四位二进制数，因此二进制数四(10100110.1110101)2=(246.724)8

补0(10100110.1110101)2=(?)8

10100110.111010

000

246724补0101001101110101【例1.1.7】将下列二进制数分别

转换成八进制数或十六进制数

(10010100111.11001)2=(4A7.C8)16

(10010100111.11001)2=(?)16

10010100111.11100100

4A7C80

补010010100111111001补0(10100110.1110101)2【例1.1.8】将下列数

转换成二进制数

(537.361)8=(101011111.011110001)2

=(101011111.011110001)2(4B5D.97D)16=(0100101101011101.100101111101)2

=(100101101011101.100101111101)2

【例1.1.8】将下列数转换成二进制数(537.36例如：用四位二进制数码表示十进制数0~90000→00001→10010→20011→30100→40101→50110→60111→71000→81001→9二进制数码不仅可以表示数值的大小，还可表示特定的信息。将若干个二进制数码0和1按一定规则排列起来表示某种特定含义的代码称为二进制代码，简称二进制码。1.1.3常用的二进制代码例如：用四位二进制数码表示十进制数0~9二进制数常用二进制代码表BCD码十进制数码8421码格雷码012345678900000001001000110100010101100111100010010000000100110010011001110101010011001000将十进制数0～9用4位二进制表示的代码，称为BCD码。8421BCD码，是分别将十进制数中的0～9用4位自然二进制码的前十个码字来表示。下式为一个十进制数和8421BCD码的互换。(129)10=(000100101001)8421BCD码格雷码的特点是：相邻的两个码组之间仅有1位不同，这种编码可减少转换和传输出错的可能性，它是一种可靠性代码。1.3.2中的卡诺图就利用了格雷码的特点。

常用二进制代码表BCD码8421码格雷主要要求：

掌握三种基本逻辑关系及其逻辑函数掌握逻辑函数的四种表达形式1.2逻辑代数基础掌握逻辑代数中的基本公式和常用定律主要要求：掌握三种基本逻辑关系及其逻辑函数掌握逻辑函数的四图所示是一个与逻辑实际电路，图中有两个开关，只有当开关全部闭合时，灯才亮。只有当决定某一事件（如灯亮）的条件（如开关闭合）全部具备时，这一事件才会发生。我们把这种因果关系称之为与逻辑关系。1.2.1逻辑关系图所示是一个与逻辑实际电路，图中有两个开关，只有当开关全部闭图所示是一个或逻辑实际电路，图中有两个开关，只要开关有一个闭合，或者两个都闭合，灯就会亮只要在决定某一事件（如灯亮）的条件（如开关闭合）中，有一个或几个条件具备时，这一事件就会发生。我们把这种因果关系称之为或逻辑关系。图所示是一个或逻辑实际电路，图中有两个开关，只要开关有一个闭图所示是一个非逻辑实际电路，当开关闭合时，灯灭，反之，当开关断开时，灯亮。事件（如灯亮）发生的条件（如开关闭合）具备时，事件（如灯亮）不会发生，反之，事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称之为非逻辑关系。图所示是一个非逻辑实际电路，当开关闭合时，灯灭，反之，当开关一、逻辑函数1.2.2三种基本逻辑函数一般，人们称决定事物的因素为逻辑自变量，而称事物的结果为逻辑因变量，被概括的以某种形式表达的逻辑自变量和逻辑因变量的函数关系称为逻辑函数。逻辑自变量（输入逻辑变量）和逻辑因变量（输出逻辑变量）统称为逻辑变量。逻辑变量用字母表示，其取值只有两个，1和0。这里1和0不表示数量的大小，只表示变量两种对立的状态，比如真和假、是和非、有和无、高和低、开和关等。一、逻辑函数1.2.2三种基本逻辑函数一般，人逻辑自变量（输入逻辑变量）和逻辑因变量（输出逻辑变量）统称为逻辑变量。逻辑变量用字母表示，其取值只有两个，1和0。这里1和0不表示数量的大小，只表示变量两种对立的状态，比如真和假、是和非、有和无、高和低、开和关等。如果对应于输入逻辑变量A、B、C、…的每一组确定值，输出逻辑变量Y都有唯一确定的值与之对应，则Y是A、B、C、…的逻辑函数。记为Y=f（A、B、C、…）。逻辑自变量（输入逻辑变量）和逻辑因变量（输出逻辑变二、逻辑运算符、逻辑表达式逻辑表达式是实际逻辑问题的抽象表达，是由逻辑变量和逻辑运算符号连接起来所构成的式子。与、或、非逻辑的运算符分别为：“·”、“+”、字母头上加一横。在逻辑表达式中，等式右边的字母是输入逻辑变量，等式左边的字母是输出逻辑变量。逻辑函数的表示形式有真值表、逻辑表达式、逻辑图、卡诺图，它们之间可以互相转换。与逻辑表达式Y=A·B或Y=AB或逻辑表达式Y=A+B非逻辑表达式Y=A

二、逻辑运算符、逻辑表达式逻辑函数的表示形式有真值表、逻辑表三、真值表对于输入变量的不同取值（n个输入变量的函数有2n个取值组合），输出变量均有与其相对应的逻辑值。把输入、输出变量所有相互对应的逻辑值（状态）列在一个表格内，这种表格称为逻辑函数真值表，简称真值表。真值表中，输入变量按二进制数序列顺序由上而下排列，输出变量是实际逻辑事件含义（因果关系）的逻辑值。三、真值表111YAB000001010有0出0；全1出1

000111YA

B101110有1出1；全0出0

AY0110进1出0；进0出1

与逻辑真值表及逻辑规律或逻辑真值表及逻辑规律非逻辑真值表及逻辑规律111YAB00000四、逻辑符号数字电路中常采用一些符号图形表示常用的逻辑关系，这些符号图形叫做逻辑关系的逻辑符号。与、或、非三种基本逻辑关系的逻辑符号，如图所示。与门

(ANDgate)

或门

(ORgate)非门(NOTgate)又称“反相器”四、逻辑符号与门或门非门(NOTgate)1.2.3复合逻辑函数人们在研究实际问题时发现，事物的各个因素之间的逻辑关系往往要比单一的与、或、非复杂得多。不过它们都可以用与、或、非的组合来实现。含有两种或两种以上逻辑运算的逻辑函数称为复合逻辑函数。逻辑运算的优先级从低到高依次为：小括号、非、或、与。逻辑图：逻辑图是逻辑函数的表示形式之一。若已知逻辑函数的逻辑表达式，把逻辑表达式中的各逻辑运算用相应门电路的逻辑符号代替，就可画出和逻辑表达式相对应的逻辑图。1.2.3复合逻辑函数人们在研究实际问题时发现常用复合逻辑运算

与非逻辑(NAND)先与后非若有

0

出

1若全

1

出

0100011YA

B101110011或非逻辑(NOR)先或后非若有

1

出

0若全

0

出

1100YA

B001010与或非逻辑(AND–OR–INVERT)先与后或再非常用复合逻辑运算与非逻辑(NAND)先与后非若有0出异或逻辑(Exclusive–OR)若相异出1若相同出0同或逻辑(Exclusive-NOR，即异或非)若相同出1若相异出0000011YAB101110100111YAB001010注意：异或和同或互为反函数，即异或逻辑(Exclusive–OR)若相异出1同或逻常用复合逻辑运算的逻辑符号

与非逻辑或非逻辑与或非逻辑异或逻辑同或逻辑常用复合逻辑运算的逻辑符号与非逻辑或非逻辑与或非逻辑异或1.2.4逻辑代数

逻辑代数是逻辑学家乔治·布尔创立的，又称为布尔代数。

逻辑代数与普通代数相似之处在于它们都是用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。不同的是，逻辑代数描述的是逻辑关系，逻辑函数表达式中的逻辑变量的取值和逻辑函数值都只有两个值，即0和1。这两个值仅表示两种相反的状态，如开关的闭合与断开；电位的高低；真与假等。因此，逻辑代数有其自身独立的规律和运算法则。1.2.4逻辑代数逻辑代数是逻辑学家乔治·布尔创立的一、公理

0+A=A1+A=11·A=A0·A=0A+A=AA·A=A

一、公理0+A=A二、基本定律

交换律A+B=B+AA·B=B·A结合律(A+B)+C=A+(B+C)(A·B)·C=A·(B·C)分配律A(B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+C)普通代数没有！吸收律A+AB=A

A+AB=A(1+B)=A二、基本定律交换律A+B=B+A0011111011011100A+BA·BA

B0011001000011100A·BA+BA

B推广公式：摩根定律(又称反演律)001111101101110三、三个规则

1.

代入规则从而摩根定理得到扩展将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。摩根定理的两变量形式为B均用BC代替三、三个规则1.代入规则从而摩根定理得到扩展变换时注意：①保持变换前的运算优先顺序不变，必要时加括号表明运算的先后顺序

。②不属于单个变量上的反号应保留不变。2.

反演规则对任一个逻辑函数式

Y，将“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数。【例1.2.1】求下列函数的反函数变换时注意：2.反演规则对任一个逻辑函数式Y，3.对偶规则对任一个逻辑函数式

Y，将“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到原逻辑函数式的对偶式

Y。

对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。

【例】求下列函数的对偶函数3.对偶规则对任一个逻辑函数式Y，将“·”换成“+”，主要要求：

1.3逻辑函数的化简了解逻辑函数式的常见形式及其相互转换。理解最简与-或式的标准。

了解逻辑函数的代数化简法。主要要求：1.3逻辑函数的化简了解逻辑函数式的常见形式及逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。逻辑函数式的几种常见形式

【例如】

与或表达式

或与表达式与非-

与非表达式或非-

或非表达式与或非表达式逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间逻辑函数相等设有两个逻辑函数，Y1=f（A、B、C、…），Y2=g（A、B、C、…），它们的变量都是A、B、C、…，如果对应于A、B、C、…的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2是相等的，记为Y1=Y2。

显然，若两个逻辑函数相等，那么它们的真值表一定相同；若两个函数的真值表完全相同，那么这两个函数一定相等。这个概念为逻辑函数的化简提供了基础。逻辑函数相等设有两个逻辑函数，Y1=f（A、B、C、…最简与-或式标准(1)乘积项(即与项)的个数最少(2)每个乘积项中的变量数最少用与门个数最少与门的输入端数最少

逻辑函数化简一般来说，如果表达式比较简单，那么电路使用的元、器件就少，设备就简单。本节主要介绍如何将一个函数表达式化简成最简与—或表达式，常用的化简方法有公式法和图解法两种，重点在于图解法。

如最简与-或式标准(1)乘积项(即与项)的个数最少用与门运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。并项法

运用，将两项合并为一项，并消去一个变量。1.3.1逻辑函数的公式化简法运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。并项法吸收法

利用A+AB

=A，消去多余项。利用，消去多余项。吸收法利用A+AB=A，消去多余项。利用配项法

利用

，为某一项配上所缺的变量，以便用其它方法进行化简

。配项法利用利用A+A=A，为某项配上其所能合并的项

。利用A+A=A，为某项配上其所能合并的项。消去冗余项法

利用

，将冗余项BC消去。消去冗余项法利用