2023年高考数学复习讲稿之第15讲 设点设线技巧之设点技巧归纳总结（原卷版）

第15讲设点设线技巧之设点技巧归纳总结一．解答题（共19小题）1．如图，已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧．记，的面积为，．（1）若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积；（2）求的最小值及此时点的坐标．2．如图，已知点为抛物线的焦点．过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记，的面积分别为，．（Ⅰ）求的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求的最小值及此时点的坐标．3．已知椭圆的右焦点为，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆的右顶点，过点的直线与交于、两点（均异于，直线、分别交直线于、两点，证明：、两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；（3）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点的直线与交于、两点，点在上，并使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在的右侧，设、的面积分别为、，是否存在锐角，使得成立？请说明理由．4．已知双曲线的焦距为，其中一条渐近线的方程为．以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为，过原点的动直线与椭圆交于、两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点为椭圆的左顶点，，求的取值范围；（Ⅲ）若点满足，求证为定值．5．已知椭圆的左右焦点分别为、，且经过点，为椭圆上的动点，以为圆心，为半径作圆．（1）求椭圆的方程；（2）若圆与轴有两个交点，求点横坐标的取值范围．6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆上的点满足，．（1）求椭圆的标准方程；（2）作直线垂直于轴，交椭圆于点，，点是椭圆上异于，两点的任意一点，直线，分别与轴交于，两点，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．7．已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点是椭圆上位于第一象限内的动点，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积．8．在平面直角坐标系中，椭圆过点，．（1）求椭圆的方程；（2）点，是单位圆上的任意一点，设，，是椭圆上异于顶点的三点且满足，求证：直线与的斜率乘积为定值．9．在平面直角坐标系中，椭圆过点，．（1）求椭圆的方程；（2）点，是单位圆上的任意一点，设，，是椭圆上异于顶点的三点且满足，探讨是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．10．定义：在平面内，点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离．在平面直角坐标系中，已知圆及点，动点到圆的距离与到点的距离相等，记点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）过原点的直线不与坐标轴重合）与曲线交于不同的两点，，点在曲线上，且，直线与轴交于点，设直线，的斜率分别为，，求．11．已知椭圆的离心率为，且过点，动直线交椭圆于不同的两点，，且为坐标原点）（1）求椭圆的方程．（2）讨论是否为定值．若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由．12．已知，分别是椭圆的左、右焦点，，分别为椭圆的上、下顶点，到直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围；（Ⅲ）过椭圆的右顶点的直线与椭圆交于点（点异于点，与轴交于点（点异于坐标原点，直线与交于点．证明：为定值．13．已知椭圆经过点，且离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与曲线相交于异于点的两点、，且直线与直线的斜率之和为，则直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线上的点和椭圆上点的最小距离为1．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的上顶点为，点，是上的不同于的两点，且点，关于原点对称，直线，分别交直线于点，．记直线与的斜率分别为，．①求证：为定值；②求的面积的最小值．15．在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为．设过点的直线、与椭圆分别交于点，、，，其中，，．（1）设动点满足，求点的轨迹；（2）设，，求点的坐标；（3）设，求证：直线必过轴上的一定点（其坐标与无关）．16．已知是椭圆的左顶点，斜率为的直线交于、两点，点在上，且．（1）当时，求的面积；（2）当时，求的值．17．已知椭圆的离心率为，右焦点．过点作斜率为的直线，交椭圆于、两点，是一个定点．如图所示，连、，分别交椭圆于、两点（不同于、，记直线的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在直线的斜率变化的过程中，是否存在一个常数，使得恒成立？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由．18．已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点斜率为的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，延长，分别与椭圆交于、两点，直线的斜率为，求的值及直线所经过的定点坐标．19．已知椭圆的离心率为