MXT-概率论与数理统计习题答案-4

习题四1.设随机变量X的分布律为X1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1)E(X)(1)10111211;82842(2)E(X2)(1)210211212215;821844(3)E(2X3)2E(X)323422.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学希望、方差【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为X01234PC5C1C4C2C3C3C2C4C1900.58310900.34010900.07010900.0071090C1005C1005C1005C1005C1005故E(X)0.58300.34010.07020.007304050.501,5E(X)]2PiD(X)[xii0(00.501)20.583(10.501)20.340L(50.501)200.432.3.设随机变量X的分布律为X101Pp1p2p3且已知E（X）=0.1,E(X2123)=0.9,求P，P，P.【解】因P1P2P31①,又E(X)(1)P10gP21gP3P3P10.1②,E(X2)(1)2gP102gP212gP3P1P30.9③由①②③联立解得P10.4,P20.1,P30.5.

.5C10500C10054.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则1NP(A)全概率公式P{A|Xk}gP{Xk}k0Nk1NkP{Xk}P{Xk}k0NNk0gE(X)n.NN5.设随机变量X的概率密度为x,0x1,f（x）=2x,1x2,0,其他.求E（X），D（X）.【解】E(X)1x2dx2x)dxxf(x)dxx(2011x31x32x21.3031E(X2)x2f(x)dx122(2x)dx7x3dxx016D(X)E(X2)[E(X)]21.故66.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求以下随机变量的数学希望.1）U=2X+3Y+1；2）V=YZ4X.【解】(1)E[U]E(2X3Y1)2E(X)3E(Y)125311144.(2)E[V]E[YZ4X]E[YZ]4E(X)因Y,Z独立E(Y)gE(Z)4E(X)1184568.7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X2Y），D（2X3Y）.【解】(1)E(3X2Y)3E(X)2E(Y)33233.(2)D(2X3Y)22D(X)(3)2DY412916192.8.设随机变量（X，Y）的概率密度为2f（x，y）=k,0x1,0yx,0,其他.试确定常数k，并求E（XY）.f(x,y)dxdy1x1k1,故k=2【解】因dxkdy002E(XY)xyf(x,y)dxdy1x0.25.xdx2ydy009.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为f2x,0x1,f（y）=e(y5),y5,（x）=X0,其他;Y0,其他.求E（XY）.【解】方法一：先求X与Y的均值E(X)12,xg2xdx03E(Y)ye(y令zy5ezdzzezdz516.5)dy5005由X与Y的独立性，得E(XY)E(X)gE(Y)264.3方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为f(x,y)fX(x)gfY(y)2xe(y5),0x1,y5,0,其他,于是E(XY)15)dxdy1ye(y5)dy264.5xyg2xe(y2x2dxg005310.设随机变量X，Y的概率密度分别为f（x）=2e2x,x0,f（y）=4e4y,y0,X0,x0;Y0,y0.求（1）E（X+Y）;（2）E（2X3Y2）.【解】g2x2x-2x(X)xfX(x)dxdx[xe]0edx000e2xdx1.21E(Y)yfY(y)dyg4y04212)y2fY(y)dy2g4e4ydyE(Y0y2.48从而(1)E(XY)E(X)E(Y)113.2443(2)E(2X3Y2)2E(X)3E(Y2)2131528811.设随机变量X的概率密度为cxek2x2,x0,f（x）=x0.0,求（1）系数c;（2）E（X）;（3）D（X）.【解】(1)由f(x)dx0cxek2x2dxc21得c2k2.2k(2)E(X)xf(x)d(x)0xg2k2xek2x2dx2k222πx2ekxdx2k.0(3)E(X2)2f(x)d(x)2g2k2xek2x21xxk2.01π24π故22D(X)E(X)[E(X)]k22k4k2.12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品以前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.【解】设随机变量X表示在获取合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知P{X0}90.750,P{X1}390.204,121211P{X2}3290.041,P{X3}32191211101211100.005.9于是，获取X的概率分布表以下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得E(X)00.75010.20420.04130.0050.301.E(X2)02750120.204220.041320.0050.413D(X)E(X2)[E(X)]20.413(0.301)20.322.13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）遵从指数分布，概率密度为xf（x）=1e4,x0,4x0.0,为保证花销者的利益，工厂规定销售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂盈利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂销售一台设备盈利的数学希望.【解】厂方销售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和200元4P{Y100}P{X1}1ex/4dxe1/44P{Y200}P{X1}1e1/4.故E(Y)100e1/4(200)(1e1/4)300e1/420033.64(元).14.设X1，X2，，Xn是相互独立的随机变量，且有2，2，，E（Xi）=μ，D（Xi）=σ，i=1n，记X1nXi,S2，S2=1n(XiX)2.ni1n1i1（1）考据E(X)=μ，D(X)=2n；n21(Xi2（2）考据S2=nX)；n1i122（3）考据E（S）=σ.【证】(1)E(X)E1nX1E(nXi)1nE(X)1nuu.ninni1i11nD(X)1nXi1nXi)Xi之间相互独立1nDXiDn2D(n2gni1i1i1122.2gnnn(2)因nn2n2n(XiX)2(Xi22XXi)Xi22XXiXnXi1i1i1i1n2n2Xi2Xi2nX2XgnXnXi1i1n2故S21(Xi2nX).n1i1(3)因E(Xi)u,D(Xi)2,故E(Xi2)D(Xi)(EXi)22u2.222u2同理因E(X)u,D(X)n,故E(X)n.从而5E(s2)E1nXi2(n1i11n[E(Xi2)n1i1

21n[E(2nX)Xi2)nE(X)]n1i1nE(X2)]12gng(2u2)nu22.n1n15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1,计算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）.【解】Cov(3X2Y1,X4Y3)3D(X)10Cov(X,Y)8D(Y)3210(1)8328(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其他近似).16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为1,x2y21,f（x，y）=π0,其他.试考据X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】设D{(x,y)|x2y21}.E(X)xf(x,y)dxdy1xdxdyπx2y21=12π1g0.π0rcosrdrd0同理E(Y)=0.而Cov(X,Y)[xE(x)][yE(Y)]f(x,y)dxdyg1xydxdy12π12sincosrdrd0,π2π0ry210x由此得XY0,故X与Y不相关.1x2下面谈论独立性，当|x|≤1时，fX(x)1x21

dy21x2.ππ1y2当|y|≤1时，fY(y)1y21

dx21y2.ππ显然fX(x)gfY(y)f(x,y).6故X和Y不是相互独立的.17.设随机变量（X，Y）的分布律为X101Y11/81/81/801/801/811/81/81/8考据X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律以下表X101P323888Y101P323888XY101P242888由希望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.又P{X1}gP{Y3311}8P{X1,Y1}88从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为极点的三角形地域上遵从均匀分布，求Cov（X，Y），ρ.XY【解】如图，SD=1，故（X，Y）的概率密度为2题18图2,(x,y)D,f(x,y)0,其他.7从而同理

E(X)xf(x,y)dxdy11x1dxxg2dy3D00E(X2)1dx1x1x2f(x,y)dxdy2x2dyD006D(X)E(X2)[E(X)]2121.16318E(Y)1,D(Y)1.318而E(XY)xyf(x,y)dxdy2xydxdy11x10dx2xydy.DD012因此Cov(X,Y)E(XY)E(X)gE(Y)11111233.36Cov(X,Y)11从而XY36D(X)gD(Y)112181819.设（X，Y）的概率密度为f（x，y）=1sin(xy),0xπ,0yπ,2220,其他.求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.1ππ/2π/2【解】E(X)xf(x,y)dxdydx0xgsin(xy)dy.024ππ2π2.E(X2)2dx2x2g1sin(xy)dyπ00282从而2D(X)E(X2)[E(X)]2ππ2.162π2π同理E(Y)π2.,D(Y)1624E(XY)π/2π/2xysin(xy)dxdyπ1,又0dx02ππππ42故Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)1.g24448π42Cov(X,Y)4(π4)22π16π8XY222.D(X)gD(Y)πππ8π32π8π32162220.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为系数.【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而

112Y和Z2=2XY的相关1，试求Z1=X4D(Z1)D(X2Y)D(X)4D(Y)4Cov(X,Y)1444113,D(Z2)D(2XY)4D(X)D(Y)4Cov(X,Y)414414,Cov(Z1,Z2)Cov(X2Y,2XY)2Cov(X,X)4Cov(Y,X)Cov(X,Y)2Cov(Y,Y)2D(X)5Cov(X,Y)2D(Y)2151245.故Z1Z2Cov(Z1,Z2)5513.D(Z1)gD(Z2)1342621.关于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（CouchySchwarz）不等式.【证】令g(t)E{[VtW]2},tR.显然0g(t)E[(VtW)2]E[V22tVWt2W2]E[V2]2tgE[VW]t2gE[W2],tR.可见此关于t的二次式非负，故其鉴识式Δ≤0，即0[2E(VW)]24E(W2)gE(V2)4{[E(VW)]2E(V2)gE(W2)}.故[E(VW)]2E(V2)gE(W2)}.22.假设一设备开机后无故障工作的时间X遵从参数λ=1/5的指数分布.设备准时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间9X~E(λ),E(X)=1=5.依题意Y=min(X,2).关于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0.关于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.关于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为P{X≤x}=1eλx,因此F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)y}=≤P{X≤y}=1ey/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【解】（1）Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为P{Zk}C3kgC33kk0,1,2,3.C63,Z=k0123P1991k20202020因此，E(Z)011929313.202020202设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，依照全概率公式有3P(A)P{Zk}gP{A|Zk}k0109192131206206206.20424.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）遵从正态分布N（μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其他为合格品.销售每件合格品盈利，销售每件不合格品损失，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有以下关系1,若X10,T=20,若10X12,5,若X12.问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？【解】E(T)P{X10}20P{10X12}5P{X12}P{Xu10u}20P{10uXu12u}5P{Xu12u}(10u)20[(12u)(10u)]5[1(12u)]25(12u)21(10u)5.故dE(T)25(12u)(1)21(10u)(1)0(这里(x)1ex/2),令2du210得25e(12u)2/221e(10u)2/2两边取对数有ln251(12u)2ln211(10u)2.22解得12511110.9128(毫米)u11lnln1.192212由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大.25.设随机变量X的概率密度为1x0xπf(x)=22其他.0,对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学希望.（2002研考）1,Xπ,【解】令Yi3(i1,2,3,4)π.0,X34则YYi~B(4,p).由于1pP{Xπππ}1P{X}及P{X}333因此E(Y)1,D(Y)1,E(Y)412,i2i42

π/30

1x1cosdx,222D(Y)4111E(Y2)(EY)2,22从而E(Y2)D(Y)[E(Y)]21225.26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)遵从参数为5的指数分布，第一开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学希望E（T）及方差D（T）.【解】由题意知：fi(t)5e5t,t0,0,t.0,T独立，因此f(t)=f(t)*f(t).因T12T12当t<0时，fT(t)=0;当t≥0时，利用卷积公式得fT(t)f1(x)gf2(tx)dxt5xg5(tx)5t05e5edx25te故得11fT(t)25te5t,t0,0,t0.11(i=1,2)由于Ti~E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=255因此，有E(T)=E(T1+T22)=.52又因T1,T2独立，因此D（T）=D（T1+T2）=.2527.设两个随机变量X，Y相互独立，且都遵从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|XY|的方差.122【解】设Z=XY，由于X~N0,,Y~N0,1,22且X和Y相互独立，故Z~N（0，1）.因D(XY)D(Z)E(|Z|2)[E(|Z|)]2E(Z2)[E(Z)]2,而E(Z2)D(Z)1,E(|Z|)|z|1ez2/2dz2π2zez2/2dz2，2π0π因此D(|XY|)2.1π28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时，即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求E（X）和D（X）.【解】记q=1p,X的概率分布为P{X=i}=qi1p,i=1,2,，故E(X)iqi1pp(qi)pqp1.i1i11q(1q)2p又E(X2)i2qi1p(i2i)qi1piqi1pi1i2i1pq(i1pqq21q)p1qpi22pq11q2p(1q)3pp2p2.12D(X)E(X2)[E(X)]22p11p因此p2p2p2.题29图29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为极点的三角形地域上遵从平均分布.（如图），试求随机变量U=X+Y的方差.【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY)E(X)·E(Y)].由条件知X和Y的联合密度为f(x,y)2,(x,y)G,G{(x,y)|0x1,0y1,xy1}.0,t0.从而fX(x)f(x,y)dy12x.2dy1x因此E(X)1xfX(x)dx13,E(X2)12x3dx1,02x2dx0022141.D(X)E(X2)[E(X)]2312918同理可得E(Y),D(Y).218E(XY)11ydy5,2xydxdy2xdxG01x12Cov(X,Y)E(XY)E(X)gE(Y)541,12936于是D(U)D(XY)1121.1818361830.设随机变量U在区间[2,2]上遵从平均分布，随机变量1,若U，1,若U，X=1Y=11,若U，1,若U1.1试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y）.【解】（1）为求X和Y的联合概率分布，就要计算（X，Y）的4个可能取值(1,1),(1,1),(1,1)及(1,1)的概率.P{x=1,Y=1}=P{U≤1,U≤1}P{U1dx1dx11}444213P{X=1,Y=1}=P{U≤1,U>1}=P{}=0,P{X=1,Y=1}=P{U>1,U≤1}P{1U1}1dx11442dx1P{X1,Y1}P{U1,U1}P{U1}4.14故得X与Y的联合概率分布为(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(X,Y)~1011.424(2)因D(XY)E[(XY)2][E(XY)]2,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为20204XY~111,(XY)2~11.42422从而E(XY)(2)1210,44E[(XY)2]01412,22因此D(XY)E[(XY)2][E(XY)]22.31.设随机变量X的概率密度为f(x)=1e2

x，（∞<x<+∞）求E（X）及D（X）；2）求Cov(X,|X|),并问X与|X|可否不相关？3）问X与|X|可否相互独立，为什么？【解】(1)E(X)xg1e|x|dx0.2D(X)(x0)2g1e|x|dx0x2exdx2.20(2)Cov(X,|X)E(Xg|X|)E(X)gE(|X|)E(Xg|X|)g1e|x|0,2因此X与|X|互不相关.为判断|X|与X的独立性，需依定义构造合适事件后再作出判断，为此，对定义域∞<x<+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x0，则有{x0Xx0}{|X|x0}{Xx0}.因此0P{|X|x0}P{Xx0}1.14故由P{Xx0,|X|x0}P{|X|x0}P{|X|x0}gP{Xx0}得出X与|X|不相互独立.32.已知随机变量X和Y分别遵从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数ρXYXY32（1）求Z的数学希望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数ρ；XZ（3）问X与Z可否相互独立，为什么？【解】(1)E(Z)EXY1.323D(Z)DXDY2CovX,Y323219116211Cov(X,Y),9432而Cov(X,Y)

XYD(X)gD(Y)13462因此D(Z)1413.63(2)因Cov(X,Z)CovX,XY1CovX,X1CovX,Y323211(6)93D(X)-3=0,23因此XZ

Cov(X,Z)0.D(X)gD(Z)1(3)由XZ0，得X与Z不相关.又因Z~N,3,X~N(1,9)，因此X与Z也3相互独立.33.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系数XY.【解】由条件知X+Y=n，则有D（X+Y）=D（n）=0.1,再由X~B(n,p),Y~B(n,q)，且p=q=2n从而有D(X)npqD(Y)415因此0(XY)(X)( )2XY()(Y)DDDYDXgDnn,XY=1.22XYg故434.设随机变量X和Y的联合概率分布为XY10100.070.180.1510.080.