2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练考点四十八圆的方程

四十八圆的方程•基础落实练，3()分钟5()分一、单选题(每小题5分，共20分)(2022•永昌模拟)己知直线/平分圆f+(y—3>=4,且与直线x+y=0垂直，则直线2的方程是()A.x+y—2=0 B.x—y+2=0C.x+y—3=0D.x—y+3=0【解析】选D.因为直线/平分圆V+(y—3尸=4,且与直线x+y=0垂直，所以直线/过圆心(0,3),斜率为1,即直线/的方程是x—y+3=0.2.已知直线/：x—y+2=0,圆GU-3)2+/=4,若点尸是圆。上所有到直线/的距离中最短的点，则点夕的坐标是()A.(3+/,y[2)B.(3-72,小)C.(3—,一啦) D.(3+*,-^2)【解析】选B.圆G(x—3)2+/=4的圆心坐标为(3,0),半径为2,过圆心与直线，垂直的直线方程为x+y—3=0与圆的方程联立得(x+y—3=0, ]*=3+啦，[%=3—/，[(x—3)+7—4, [必=一电，[%=木,所以它与圆的交点坐标为(3+/，-y[2)和(3一位,y[2),由题知，点夕是圆。上所有到直线/的距离中最短的点，所以点夕的坐标为(3—镜，y[2).3.已知半径为1的圆经过点"(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.7【解析】选A.设圆心为C(x,y),则d(x—3)2+(y-4)2=1,化简得(x—3)?+(y—4)2=1,所以圆心。的轨迹是以“(3,4)为圆心，1为半径的圆,所以|幻+121M=小彳？=5,所以|g25-1=4,当且仅当C在线段0V上时，取得等号.（2021•苏州模拟）点夕在圆G（”-3）2+/=4上，点0（—3,0）,则|国|的最大值为（）A.6B.4C.8D.3【解析】选C.由于（-3—3尸+02=36>4,所以点0在圆。外，圆。的圆心为。（3,0）,半径r=2,则IPQ\的最大值为IQC\+r=yj（-3-3）2+02+2=6+2=8.二、多选题（每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）（2021•深圳模拟）己知圆〃：V+/一4矛一1=0,则下列说法正确的是（ ）A.点（4,0）在圆〃外B.圆〃的半径为季C.圆〃关于x+3y-2=0对称D.直线x+y=0截圆〃的弦长为3【解析】选BC.因为圆"的方程为9+/-4*-1=0,所以圆心"为（2,0）,半径为小，B对，因为圆心〃在直线x+3y—2=0上，所以圆〃关于x+3y—2=0对称，C对，因为x=4,y=0时系+/—4万一1=一1<0,所以点（4,0）在圆材内，A错，因为圆心软2,0）到直线x+y=0的距离为第，所以直线x+y=0截圆〃的弦长为2小,D错.6.已知面积为12m的等边三角形/比1的内心为机点N满足I掰V|=1,则欣•砺的值可能为（）A.-9B.-12C.-11D.-10【解析】选ACD.由已知，［AB*AB*sing=乙 O坐伸=12小,解得48=4小.设46边的中点为〃，则点〃在切上，^=2=2m,〃k2,点N在以"为圆心，1为半径的圆上，欣•砺=（祖历）•（前+场）=ND--DB-=\NDJ-12.结合图形知而Bi„=2—1=1,而皿=2+1=3,所以法•NBG[-11,-3].三、填空题（每小题5分，共10分）.已知aGR,方程#*+（a+2）/+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是,半径是.【解析】由已知方程表示圆，则a?=a+2,解得a=2或a=-l.当a=2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a=-l时，原方程为/+4+4x+8y—5=0,化为标准方程为5+2）?+（旷+4尸=25,表示以（一2,—4）为圆心，半径为5的圆.答案：（-2,-4）5.已知圆。经过点（一1，0）和（1,0）,且与直线y=x—l只有一个公共点，则圆心。的坐标为.【解析】由圆C经过点（一1，0）和（1,0）,则圆心一定在y轴上，设圆心为（0,b）,由圆与直线y—x—1只有一个公共点，即圆与直线y=x-1相切.由圆的半径为r—7（0-1）?+仔=声花.所以圆心到直线的距离d=答案：（0，D四、解答题.(10分)在平面直角坐标系x勿中，A(一木,0),4(/，0),。是满足N4笫=年的一个动点.求△45。垂心〃的轨迹方程.【解析】设的外心为Q,半径为此...AB n则有2丁 TjTo=2，又/0QB=400瓜=不,2sin4ACB 3所以〃Q=Kcos?=1,即。(0,1),或Q(0,—1),当，坐标为(0,1)时.设C(x,y),H(xq,必)，则即炉+(j-l)2=4(y>0),由纺_1_44,则x()=x,由AHA.BC,则南•BC=(刘+小)(x―小)+必尸0,g、i晨+m)(x—小) 3—* (y—1)2—1所以外= = =y yy2=y—2,y>0,yo=y—2>—2fx。+(jb+1)。=4(外>—2),所以△力回垂心〃的轨迹方程为V+(y+l)2=4(y>—2).同理，当Q坐标为(0,—1)时.〃的轨迹方程为片+(y—l)2=4(_y<2).综上，〃的轨迹方程为x+(y+l)2=4(y>-2)或V+(y-1)2=4(j<2).潼1【加练备选】已知R。为圆，+「=4上的动点，力(2,0),8(1,1)为定点.(1)求线段月夕中点物的轨迹方程；(2)若/加0=90°,求线段N中点N的轨迹方程.【解析】⑴设点"(x，y)，圆上一点为M的，必)，因为〃为"中点，所以满足L12尸外{x—2x—2° ,代入圆的方程得，(2万—2)2+(2。』4,化简得(*-1)旺/=1；必=2y⑵设点Mx，y),在Rt△阳。中，|/w|=\bn\,设0为原点坐标，连接/则硼J_&,所以|明2=1加2+\on\2=\bn\2+\on\2,所以(X—。2+(y—l)2+/+/=4,化简得x2+y—x—y—\=d,所以线段掰的中点N的轨迹方程为x+y—%—y—1=0.

素养提升练 2（）分钟4（）分.已知点4在圆G（x+l）2+（y-l）2=l±,直线/：y=2x—2与两坐标轴交点分别为〃,N,则面积的最大值为（）A5一#bm+1c#T Dm+52 2 2 2【解析】选D.因为圆C的圆心为。（一1,1）,半径r=l,+1+1=m+1,所以圆。上的点A到直线7：y=2x—2距离的最大值为由已知可得"（1，0）,N（0，-2）,所以|腑|="+（-2）2=#,所以△第V面积的最大值为）XmX（乖+1）==血..（多选题）（2022•东营模拟）如图放置的边长为1的正方形必况'沿x轴滚动，点6恰好经过原点，设顶点P（x，力的轨迹方程是尸/<x）,则对函数尸/<x）有下列四个命题，其中真命题有（）A.函数y=f(x),xC[―2,2]是偶函数B.对任意的B.对任意的xGR,都有f（x+2）1=7G)C.函数y=f(x)在［2,3〕上单调递减D.函数y=f(x)在14,61上是减函数【解析】选AD.由已知当一24后一1时，P点轨迹是以4为圆心，1为半径的四分之一圆，此时尸/'(*)递增；当一1〈忘1时，。点轨迹是以6(原点。为圆心，木为半径的四分之一圆；当1<后2时，P点轨迹是以。为圆心，1为半径的四分之一圆，可见，在［-2,2］上/1(x)图象关于y对称，是偶函数，A正确；例如/'(—2)=0,f(0)=a/2,不满足f(x+2)=F(［)，B错误；当2<x<3时，P点轨迹是以力为圆心，1为半径的四分之一圆，此时尸f(x)递增，C错误，由此可知函数周期为4,在［4,6］上的图象与在［0,2］上图象一样，函数为减函数，D正确.y.6-5-4-3-2-1O 123456x.已知圆c：(X—2)2+3—3)2=1,圆C：(A-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C，C上的动点，夕为x轴上的动点，则|掰+|刚的最小值为.【解析】夕是X轴上任意一点，则I掰的最小值为I阳1—1,同理IPM的最小值为3cl—3,则|掰+|朋的最小值为3g|+IAG|-4.作C关于x轴的对称点G'(2,-3).所以I阳|+|尸Cl=|阳，|+|尸G|2|G'G=5y［2,即|掰+|刚=|阳+|附一425镜-4.答案：5^2-4.动点。与给定的边长为1的正方形在同一平面内，设此正方形的顶点为4B,C,〃(逆时针方向)，且P点到4B,。的距离分别为a,b,c.若才+#=占则点P的轨迹是；P点到〃点的最大距离为.【解析】以6为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，因为［(0,1),6(0,0),C(1,0),〃(1,1),不妨设P(X,y),则4=f+(y—1)2,.2=f+/,c2_(%—l)。+了，又因为a'+Z>2=c2,所以y+(y—1)2+^+/=(x—1)2+/,整理，可得(x+1)2+G-l)2=2,所以点夕的轨迹是圆，轨迹方程为G+。2+(y-l)

2=2(注，坐标系建立的不同，圆的方程的形式不同).结合图象得，尸点到〃点的最大距离为2+*\/2,答案：圆2+/.(能力挑战题)已知点P(2,2),圆G?+y-8y=0,过点尸的动直线/与圆。交于4B两点，线段力6的中点为机。为坐标原点.(1)求〃的轨迹方程；⑵当I例=|掰时，求/的方程及△尸〃"的面积.【解析】(1)圆C的方程可化为戈+3—4)2=16,所以圆心为。(0,4),半径为4.设"(x,力，则唬=(x,y-4),MP=(2~x,2~y).由题设知编♦而=0,故x(2—x)+(y—4)(2—y)=0,即(x—1”+(厂~3)?=2.由于点夕在圆。的内部，所以〃的轨迹方程是(x—1)?+(y—3)2=2.(2)由(1)可知〃的轨迹是以点M1，3)为圆心，y[2为半径的圆.由于|帆|=|泌，故。在线段;¥的垂直平分线上，又P在圆N上，从而班L掰因为外的斜率为3,所以/的斜率为一;，故/的方程为x+3y-8=0.•J又|掰=|西=2啦,〃到1的距离为处理,所以倒=理，X嘤X嘤若，故△如〃的面积境..在复平面中原点为0,已知力对应的复数为©=2,点6对应的复数为Z2，I©—Z21=1,点C点C对应的复数为Z3,且Z：,=Z2•,且6,C均在实轴上方,(1)求|zi+z21的取值范围;⑵当时，尸是线段的上的动点，求I⑦I的取值范围;⑶求耕23的最大值.【解析】（1）由©=2,所以©对应的点为力（2,0）,设马=x+yi,x,yGR即Z2对应的点为6（x,y）,由I©—Zz|=1,所以（x—2）J+y=l（y>0）,即勿对应的点在圆上，\Z\+z2\=yj（x+2）叶、,即点（一2,0）到（X,力的距离，即圆外一点到圆上的距离，所以I©+Z2I"in=*\/（—2—2）"—1=3,IZt+z2\皿=7（—2—2）2+1=5,又y>0,所以|zi+zz|的取值范围为（3,5）；⑵由H=小,/+/=3,联立（x—2）。+/=1,得x=|, 或者y=—乎（舍），所以心，乎|,^=1+乎i'z尸便+判・［异川二小仁此时C（0,小）,所以到。点最近，到力点最远，\c