2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练考点五十五圆锥曲线中的定值、定点问题

五十五圆锥曲线中的定值、定点问题(2021•成都模拟)已知抛物线G/=2以(2>0),。为。上一点且纵坐标为4,Q2Ly轴于点R且|少|=；1啰1,其中点£为抛物线的焦点.(1)求抛物线。的方程；(2)已知。为坐标原点，A,8是抛物线。上不同的两点，且满足aLL如证明直线月6恒过定点，并求出定点的坐标.【解析】(1)设。(斯，4),根据抛物线的定义可得，3=及+彳，又“_Ly轴于点P,则IQP\=x0,因为@1=3IQF\,所以］荀+习，则Xs=g,所以砥，4),因为0在抛物线。上，将0点坐标代入抛物线方程，所以16=2•p• ,解得0=4,故抛物线的方程为y=8x(2)依题意可知直线与x轴不平行.设直线46为x=/7/y+〃，力(不，%),B(xz,%),(x=/27y+〃联立直线与抛物线，。 ，化简整理可得，iy=8x7一8在一8〃=0,由根与系数的关系可得，%+%=8加，乂%=-8〃，因为OALOB,所以小即+必必=(加必+〃)(勿叫+〃)+/必=(1+/)%%+%〃(必+%)+#=(1+/»)(—8/?)+加〃(80)+//=0所以n—8或〃=0(舍去),故直线46恒过定点(8,0).

2 2(2021.长沙模拟)如图,在平面直角坐标系初中'椭圆G+方=l(a>6>。)的左、右顶点分别为4B,已知［4。=4,且点e,力5在椭圆上，其中e是椭圆的离心率.(1)求椭圆。的方程;(2)设夕是椭圆。上异于46的点，与x轴垂直的直线/分别交直线力只即于点〃，N,求证：直线4V与直线身/的斜率之积是定值.【解析】(1)因为|力8=4,所以2a=4,所以a=2,又点(e,¥斗在椭圆上，d,45所以了+项=1'又斤+。2=才=4,联立方程组解得斤=3,2 2XV所以椭圆方程为I+f=1.(2)设点〃的坐标为(s,t),点M,N的横坐标为加(/W±2),则直线心的方程为尸三(x+2),s十N故”加，1为(n+2)),故直线冽/的斜率 t(勿+2)1 (s+2)(m—2)'同理可得直线於的斜率_t(加一2)” (s-2)(/zt+2)故k[k2=故k[k2=t(勿+2)t(加一2)(s+2)(m—2)(s—2)(加+2)TOC\o"1-5"\h\z2 12又点P在椭圆上，所以?+y=1>2s2s

/)\

3-4

-以

所-4（J） 3所以A/= 77^ =-4•即直线4V与直线身/的斜率之积为定值.3.设椭圆£：§+奈=1（a>6>0）经过点欣击,-）,离心率为己-.（1）求椭圆£的标准方程；（2）设椭圆£的左，右顶点分别为4B,过定点M-1,0）的直线与椭圆£交于。，〃两点（与A,6不重合），证明：直线4G曲的交点的横坐标为定值.QJ__a4匕1 （a—2【解析】（1）由题意知《_c_J3,解得《6=1,卢/2、云=6+3所以椭圆后的标准方程为I+/=i.⑵设过点M-1,0）的直线方程为x=ki,代入椭圆£的方程，整理得（疗+4）/—2呼一3=0,因为A=4方+12（忧+4）=16（/+3）>0,设C（xi,7J,D（xz,%），（不，及工±2）,2m 3 ―则%+%=/百，必必=—庐马①，由⑴得4（一2,0）,由2,0）,则直线”的方程为尸扁（叶2）,直线班的方程为广言（*—2）,联立两直线方程，消去y,

整理得2义（及一2）%+2（整理得2义（及一2）%+2（不+2）%

（xi+2）y2—（而—2）yx将x{=Hiy\—\,x2=my2—1代入②,整理得x=2X2以%%+（y+%）―4y

（%+%）+2%③,-4%把①式代入③，整理得x=2X——2yH4mB+42mm+4=-4,所以直线4G8〃的交点的横坐标为定值-4.2 2XV4.（2022•天津模拟）设椭圆f+£=l（a〉力0）的左、右焦点分别为£, 〃为椭圆上一动点，已知椭圆的短轴长为,△用晒面积的最大值为十.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为4,过内的直线/与椭圆交于46两点，连接4448并延长分别交直线x=4于R0两点，以内为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标，若不是，请说明理由.r2b=24【解析】（1）由已知＜1•2c•b=-^i,解得a=2, ,c=l.=b+c2 2XV所以椭圆的方程为7+y=1.（2）由题知，4（-2,0）,晨1,0）,设力（乂，/），B{x2,必），由已知，直线，与x轴不平行，{x=my+1xy,消去x得（3/+4）「+6犯一9=0,4+3=1由2 । _6m _ 9所以必+%=一赤q'必•必=一六工'直线AA的方程为y=-^X\।乙（x+2）,直线44的方程为尸W（x+2）,莅十N则④,⑥=1性-黑I，I〃。1 |3yl3M|2 =|汨+2―a+21，掰中点为（4,急+制,所以以收为直径的圆的方程为（I）普JJ3必3Ml2&+2x2~\~2）93必3y2/必（及+2）+-（不+2）汨+2 及+2 （小+2）（加+2）3）%（勿%+3）+%（9%+3）（0力+3）（期+3）3〉2加必必+3（弘+%）方%％+3/（必+%）+9=2《一亮）+3'品）序（一得辅+3〃（一洋卜9=—3/77,3yl 3小必（%+2）-%（为+2）汨+2 必+2 *（为+2）（泾+2）_y（奶+3）-%（物+3）S”（勿力+3）（勿叫+3）=9X_ zn_,序必必+3勿（必+"）+9'3必

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