排列、组合和概率习题

资料来源：第一节：分类计数原理与分步计数原理

第二节：排列

第三节：组合

第四节：二项式定理

第五节：随机事件的概率

第六节：互斥事件有一个发生的概率

第七节：相互独立事件同时发生的概率第一节：分类计数原理与分步计数原理一、选择题1．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有（

）．A．种

B．种C．种D．种2．将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（

）．A．种

B．种C．18种D．36种3．已知集合，，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（

）．A．18B．10C．16D．144．用1，2，3，4四个数字在任取数（不重复取）作和，则取出这些数的不同的和共有（

）．A．8个B．9个C．10个D．5个二、填空题1．由数字2，3，4，5可组成________个三位数，_________个四位数，________个五位数．２．用1，2，3…，9九个数字，可组成__________个四位数，_________个六位数．３．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有_______种不同的选法．要买上衣、裤子各一件，共有_________种不同的选法．４．大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的两个数字之积不小于20的情形有_______种．三、解答题1．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，能得到多少个不同的对数值？2．在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中，与正八边形有公共边的有多少个？参考答案：一、选择题：1．B

2．D

3．D

4．A二、填空题：１．

２．；

３．33；270

４．5三、解答题：1．注意到1不能为底数，1的对数为0，以2，3，4，7，9中任取两个不同数为真数、底数，可有个值，但，，，，所以对数值共有（个）.

2．与正八边形有两个公共边的有8个，有一个公共边的有个，所以共有40个．

第二节：排列一、填空题1．6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_________种不同的排法．2．5名男生和4名女生排成一队，其中女生必须排在一起，一共有________种不同的排法．3．排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法有_______种．4．0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是．二、选择题1．下列各式中与排列数相等的是（

）．A．B．C．

D．2．，且，则等于（

）．A．B．C．D．3．若，则的个位数字是（

）．A．8B．5

C．3D．04．7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有（

）．A．720种B．360种C．1440种D．120种三、解答题1．求和.2．5名男生、2名女生站成一排照像：（1）两名女生要在两端，有多少种不同的站法？（2）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？（3）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？（4）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？（5）女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？（6）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？参考答案：一、填空题：1．504

2．17280

3．9

4．3140二、选择题：1．D

2．D

3．C

4．C

三、解答题：1．∵，.∴2．（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排；（种）；（2）中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生；（种）；（3）把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列；（种）；（4）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生；（种）；（5）七个位置中任选五个排男生问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的；（种）；（6）采用排除法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的个，再去掉女生乙在右端的个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的种排除了两次，要找回来一次．（种）．

第三节：组合一、选择题1．掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有（

）．A．种B．种C．种D．不同于A、B、C的结论2．从五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（

）．A．24B．48C．121D．723．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为（

）．A．672B．784C．840D．8964．…，为100条共面且不同的直线，若其中编号为的直线互相平行，编号为的直线都过某定点．则这100条直线的交点个数最多为（

）．A．4350B．4351C．4900D．4901二、填空题1．在数字0，1，2，3，4，5，6中，任取3个不同的数字为系数，组成二次函数，则一共可以组成__________个不同的解析式？2．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包一项，丙、丁公司各承包2项，则共有_________种承包方式．3．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰好有一个空盒的放法共有______种．4．某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男、女运动员各3名参加三场混合双打比赛（每名运动员只限参加一场比赛），共有＿＿＿种不同的选赛方法．三、解答题1．有7本不同的书：（1）全部分给6个人，每人至少一本；（2）全部分给5个人，每人至少一本，求各有多少种不同的分法．2．九张卡片分别写着数字0，l，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果写着6的卡片还能当9用，问共可以组成多少个三位数？参考答案：一、选择题：1．A

2．D

3．C

4．B二、填空题：１．180

２．1680

３．144

４．3628800三、解答题：1．（l）先取两本书作为一份，其余每本书为一份，将这六份书分给6个人，有种分法．（2）有两类办法：一人得3本，其余4人各得一本，方法数为；两人各得2本，其余3人各得一本，方法数为，所以所求方法种数为.2．以是否取卡片6分成两类，每类中再注意三位数中0不能在首位．（l）不取卡片6，组成三位数的个数为；（2）取卡片6，又分成两类，（i）当6用时组成的三位数的个数为；（ii）当9用时同样有个．根据加法原理得所求三位数的个数为：.

第四节：二项式定理一、选择题1．展开式中的常数项是（

）A．－160

B．－40

C．40

D．1602．在的展开式中，的系数是（

）A．－297

B．－252

C．297

D．2073．，则等于（

）A．

B．

C．

D．4．设，它等于下式中的（

）A．

B．

C．

D．二、填空题5．除以100的余数是

。6．计算7．在的展开式中，的系数是

（结果用数值表示）。三、解答题8．已知展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而等于它后一项系数的。试求该展开式中二项式系数最大的项。9．在的展开式中，已知前三项系数成等差数列，求展开式里所有的有理项。10．求的展开式中含的项。参考答案一、选择题：1．A

2．D

3．C

4．C

二、填空题：5．81

6．

7．－8

三、解答题：8．解：设展开式的第项的系数是它前一项系数的2倍，而等于它后一项系数的，即由（1）得

（3）

由（2）得（4）

由（3）、（4）可得

。所以二项式系数最大的项是第4项及第5项，。9．解：展开式的前三项分别是：，这一项系数为，这一项的系数是。这一项的系数是。因为，，的系数成等差数列，所以，即，解此方程得（舍去）。令第项为有理项，则有。欲求有理项，只需求为整数。因此r取0，4，8，代入项分别得各有理项：。10．解：依题意，只有三部分中能有含的项。它们分别是。把这三项合并，得－168。所以展开式中，含的项是－168。

第五节：随机事件的概率1．某小组有成员3人．每人在一个星期中参加一天劳动如果劳动日期可随机安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为（

）A．B．C．D．2．从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是（

）A．B．C．D．3．十个人站成一排，其中甲、乙、丙三人恰巧站在一起的概率为（

）A．B．C．D．4．从长度分别为1、3、5、7、9个单位的5条线段中任取3条作边，能组成三角形的概率为（

）A．B．C．D．二、填空题5．将4个球随机地放入4个盒中，则恰有一个盒子空着的概率为

．6．圆周上有十个等分圆周的点，以这十个点中，任取三点为顶作一个三角形．则所作的三角形是直角三角形的概率是

．7．一批产品中，有n件正品和m件次品，对产品逐个进行检测，如果已检测的前k个均为正品，那么第次检测的产品为正品的概率为

．三、解答题8．某组有16名学生，其中男、女生各占一半，把全组学生分成人数相等的两小组，求每小组里男、女生人数相同的概率．9．把1，2，3，4，5各数分别写在5张卡片上，随机地取出3张排成自左向右的顺序，组成三位数，求：（1）所得三位数是偶数的概率；（2）所得三位数小于350的概率；（3）所得三位数是5的概率．10．把10个运动队一部平均分成两组进行预赛．求最强两队被分在（1）不同组内；（2）同一组内的概率．四、研究题11．某自然保护区内有n只大熊猫，从捕捉t只体检并加上标志再放回保护区，1年后再从这个保护区内捕捉m只大熊猫（设该区内大熊猫总数不变），求其中有5只大熊猫是第2次接受体检的概率．参考答案：1．C

2．B

3．A

4．D

5．

6．

7．8．解：基本事件有．事件A为组里男、女生各半的情形，它有，即种，所以．9．解：从5张卡片中任取3张组成三位数共可组成个不同的三位数．（1）所得三位数是偶数的情况有种，因而所得三位数是偶数的概率为．（2）所得三位数中小于350的个数为．因而所得三位数小于350的概率为．（3）所得三位数是5的倍数的概率为．10．解：10个运动队平均分成两组，共有种不同分法．（1）最强两队被分在不同组内的分法有种．所以最强两队被分在不同组内的概率为．（2）最强两队被分在同一组内的分法有．所以最强两队被分在同一组内的概率为．11．解：基本事件（第二次捕捉m只大熊猫）数为，事件A为第二次捕捉的大熊猫有S只是第2次接受体检，它有个．所以．

第六节：互斥事件有一个发生的概率一、选择题1．两个事件对立是这两个事件互斥的（

）．A．充分但不是必要条件B．必要但不是充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件2．今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（

）．A．B．

C．D．3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射一个目标，则他们都中靶的概率是（

）A．B．C．D．4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（

）A．0.99B．0.98C．0.97D．0.96二、填空题5．乘客在某电车站等待26路或16路电车，该站停靠16，22，26，31四路电车假定各路电车停靠的频率一样，则乘客期待电车首先停靠的概率等于6．今有一批球票，按票价分类如下：10元票5张，20元票3张，50元票2张，从这10张票中随机抽出3张，票价和为70元的概率是____________．7．某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛甲乙两队夺取冠军的概率分别是．则该市足球队夺得全省冠军的概率是_________.三、解答题8．在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分别求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率．9．在房间里有4个人．间至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少？10．从1，2，3，…，100这100个数中，随机取出两个数，求其积是3的倍数的概率参考答案1．A；

2．C；

3．A；

4．D；

5．；

6．；

7．；8．解：以12个球中任取3个，共有种不同的取法，故全是同色球的概率为，全是异色球的概率为9．解：由于事件A“至少有两个人的生日是同一个月”的对立事件是“任何两个人的生日都不同月”．因而至少有两人的生日是同一个月的概率为：10．解：基本事件数有种．在由1到100这100个自然数中．3的倍数的数组成的集合M中有33个元素，不是3的倍数组成的集合N中有67个元素，事件A为任取两整数相乘为3的倍数，分二类：1°取M中2个元素相乘有种；2°从集合M，N中各取1个元素相乘有种．因为第两类互斥，所以

第七节：相互独立事件同时发生的概率一、选择题1．甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个上螺母，其中有180个A型的，现从甲、乙两盒中各任取一个，则能配成A型的螺栓概率为（

）．A．B．C．D．2．流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，则流星数量为10个的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率约为（

）A．B．C．D．3．有10门炮同时向目标各发射一发炮弹，如果每门炮的命中率都是0.1，则目标被击中的概率约为（

）A．0.45B．0.55C．0.65D．0.754．某人参加一次考试，若五道题中解对四题则为及格，已知他的解题正确率为，则他及格的概率是（

）．A．B．C．D．二、填空题5．从甲、乙、丙三种零件中各取1件组成某产品，所用三零件必须是正品，所得产品才是合格品．已知三种零件的次品率分别为2％，3％，5％，则产品的次品率是______．6．两台独立在两地工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率