物理课件21-33第33章量子力学

量子力学第三十八章引言世界上最强大脑的聚会

——1927年第五届索尔维会议合影（参加这次会议的二十九人中有十七人获得或后来获得诺贝尔奖）关于不确定关系的描述，下面哪句正确（a）没有测量是完美的，因为不可能从技术上制造出完善的测量仪器（b）无法测量粒子的确切位置，除非粒子是静止的（c）不可能同时知道粒子确切的位置和动量（d）粒子实际上不可能有完全确定的动量值开篇问题----请猜一猜§38-1量子力学——一个全新的理论量子力学作为一个全新的理论，它获得了极大的成功。它可以解释复杂原子的光谱及精细结构光谱线的相对强度原子如何组成分子等问题量子力学主要用于处理微观世界的问题。事实证明，经典理论处理宏观世界问题时极为成功，这时量子力学应该回归到经典理论。§31-2波函数及其解释；双缝实验波的特征物理量波长频率振幅对电磁波，光子能量E=hf。对物质波，它的波长和动量满足，正比于

电磁波量子力学中物质波

电场强度或磁感应强度

振幅强度与时间和位置有关的波函数？光波的强度，以光量子理论解释，（N是单位时间内给定区域的光子数目）即：光子数目正比于电场强度的平方对单个光子，任意一点电场强度的平方是光子出现在该位置概率的量度。将上面的解释推广至物质波，玻恩于1927年提出3，如果处理少量电子问题时，我们不能作出非常准确的预测，所以具有概率的属性1，波函数随时间和空间变化。

2，如果该波函数描述的是大量电子的集合，

将正比于该点出现的电子数量。马克斯·玻恩（1882～1970），德国犹太裔理论物理学家，量子力学奠基人之一。因对量子力学的基础性研究尤其是对波函数的统计学诠释，获得1954年的诺贝尔物理学奖。

——t时刻，粒子在空间r处的单位体积中出现的几率，又称为几率密度。波函数的物理意义：与Einstein把视为“光子密度的几率量度”相类似，Born把解释为更好的理解该解释，以光和电子通过双缝实验为例光子穿过双缝，在屏幕上留下明暗相间的干涉条纹光的干涉电子数N=7电子数N=100电子数N=3000电子数N=20000电子数N=70000单个粒子在哪一处出现是偶然事件；大量粒子的分布有确定的统计规律。出现概率小出现概率大电子双缝干涉图样要解释双缝干涉的实验结果，必须承认

电子具有波动性因实验时可控制电子一个个通过狭缝，即使当电子（或光子）是一次一个通过狭缝时，干涉图案也会发生，说明干涉花纹不可能是电子间相互作用的结果。因此，干涉条纹不是通过一个电子与另一个的相互作用出现的，而是由于每个电子像波一样同时通过两个狭缝与自身发生干涉形成的。而且，每一个电子具有粒子性，会撞击屏幕出现一个小亮点，好像它是一个粒子。双缝干涉实验充分说明干涉图像并不是由微观粒子的相互作用产生的，而是单个电子波动属性的集体贡献。§38-3海森堡不确定性原理

海森堡(W.K.Heisenberg，1901—1976）德国理论物理学家.建立了新力学理论的数学方案，为量子力学的创立作出了最早的贡献.1927年提出“不确定关系”，为核物理学和（基本）粒子物理学准备了理论基础；于1932年获得诺贝尔物理学奖.

无论何时测量时，总是包括一些不确定性。例如，你不能对桌子的长度作绝对精确的测量。甚至用最小刻度为1mm的测量棒时，也会出现0.5毫米量级的误差。更精确的仪器会产生更精确的测量。但不管多好的测量仪器，在测量中总含有一些不确定性。我们期望通过使用更精确的仪器，使仪器测量的不确定性可以无限小。

但依据量子力学，实际上一定的测量值的精确度总有实际的限制。此限制不是限制仪器能做得多好，相反，它是测量所带来的固有属性。这是两个因素造成的：波粒二象性和所观察的对象和观测仪器之间不可避免的相互作用。海森堡1927年首先阐明的不确定性原理的精髓

现在让我们看看波粒二象性的用武之地。设想一个思想实验(理想化的科学实验)，我们试图用光子测量一个电子的位置，如图38-5。（如果我们用以电子显微镜，论点是类似的。）

图38-5一个用功能强大的光学显微镜探测单电子的思想实验。至少要有一个来自电子的散射光子（传递给电子一部分动量）进入显微镜。观测仪器之间不可避免的相互作用。知识回顾:35-5波长对显微镜分辨率的影响当我们可能认为我们看到的是一个对象的细节时，而事实上我们看到的只不过是衍射图案的细节。显微镜用的是凸透镜，光线透过它也会产生艾里斑，我们通过显微镜看到的一个点，其实是一个光斑。如果观察的两个点离得比较远，我们还能分辨得出。应用瑞利判据：两个物体(或一个物体附近的两个点)刚好处于可以被分辨的距离，其对应的，由下面公式给出：

这个公式所有显微镜及望远镜都有效，其中D是所述物镜或反射镜的直径。但是如果两个点靠得非常近，近到它们产生的艾里斑重叠在一起，我们就分不清是两个点了，而只是看到模糊的一团。所以艾里斑也决定了显微镜的分辨极限。

1873年，德国物理学家阿贝发现了显微镜分辨极限的公式，被叫做阿贝极限。它大约等于光波波长的一半。可见光中波长最短的紫光的波长大约是400纳米，阿贝极限也就是大约200纳米。也就是说，如果两个点的距离达到200纳米，用光学显微镜就分辨不出了。这大约相当于放大1500倍。这就是光学显微镜的分辨极限。

知识回顾:35-5波长对显微镜分辨率的影响

正如我们在第35章所看到的，最大分辨率能到所使用的衍射光的波长量级。如果我们想要一个精确的位置测量，那么我们必须使用短波长的光。但很短的波长对应于高频率和大动量（

）；光子的动量越多，当它们入射到观测对象时给目标的动量就越多。如果我们用较长波长的光子，相应地光子的动量越小。受到光子撞击的目标物体的运动不会受到很多的影响。但在较长的波长意味着分辨率较低，所以对象的位置有较差的精确度。这样，观测的行为会对对象电子的位置和动量产生一个不确定性。

这就是海森堡1927年首先阐明的不确定性原理的精髓。

海森堡1927年首先阐明的不确定性原理的精髓

如何定量地近似计算不确定性效应？如果我们使用的光波长

，那么最大分辨率能到波长

量级。也就是说，该观测对象位置测量的不确定度，

，近似为

假设该观测对象可以由单个光子检测到。光子具有动量

（公式37-5）。当光子撞击到观测对象，它会传递给目标部分或全部的动量，如图38-5。

海森堡不确定性原理的数学陈述

因为我们事先不知道能有多少动量将被转移，因此，我们的目标在x方向的最终动量将有不确定量

。

观测对象位置和动量的不确定度乘积是

取决于设备和需要检测的光子的数量，不确定量可能会比这更大，更仔细的数学计算显示了这两个不确定量的乘积满足下列条件

（38-1）

这里

在x方向动量的不确定量。公式38-1就是海森堡不确定性原理的数学陈述，有时或被称为海森堡测不准原理。

海森堡不确定性原理的数学陈述

海森堡测不准原理告诉我们，我们不能同时精确地测量观测目标的位置和动量。我们试图测量目标对象的位置越准确，即

越小，则测量的目标对象的动量的不确定量

就越大。反之，如果我们试图测量目标对象的动量越准确，则测量目标对象的位置不确定量就越大。

|注：然而，量子力学允许同时精确地测量

和

：也就是

*注意

不确定性不是来自仪器的局限，而是由内在的本性决定的（波粒二象性）。然而，不确定性原理并不禁止单个量精确的测量。例如，在原则上，我们可以精确地测量一个物体的位置。但是它的动量将完全是未知的。这样，虽然我们可以知道观测对象在某一时刻的精确位置，但我们不知道它稍后将到哪里。这里表述的不确定性是固有的本质属性，它反映了即使使用最好的仪器在理论上所能达到的最佳精度。海森堡不确定性原理的精髓pqα0Pq缝宽:坐标的不确定量;α衍射角;p动量的不确定量;p

q=h*不确定关系反映了微观粒子的运动规律.是物理学中一个极为重要的关系式,其表式是:粗略的表示：分量形式：海森堡严格推出：其中

约化普朗克常数物理意义(1)也就是说，当粒子的位置X完全确定(X0),那么粒子的动量PX，的数值就完全不确定（Px)；反之，当粒子处于一个动量Px完全确定的状态时（Px),则粒子的坐标X就完全不确定，即不可能把粒子固定住。(2)不确定关系完全是由于微观粒子的波粒二象性所决定的，与所用仪器的精密程度无关；与测量技术无关。事实上因为波粒二象性，使得粒子在客观上不能同时具有确定的坐标和动量。(3)测不准关系给出了经典理论适用的界限。(4)我们无法用轨道的概念来描述微观粒子的运动。不确定的根源是“波粒二象性”，这是微观粒子的根本属性

.微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同时准确测量,它们的精度存在一个终极不可逾越的限制.能量和时间、角动量和角位移也满足不确定关系例38-1

电子位置的不确定性。在电子以作直线运动，速度的测量精度达到0.10％。位置可以同时测量的最大精度是多少？

解题思路

：电子动量是

，动量的不确定量是。

解：电子的动量是

该动量的不确定量由不确定性原理，同时进行的最佳位置测量将具有不确定量

即110nm注：这约是一个原子直径的1000倍。

和子弹飞行速度每秒几百米相比,这速度的不确定性是微不足道的,所以子弹的运动速度是确定的。

例设子弹的质量为0.01㎏,枪口的直径为0.5㎝试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。根据不确定性关系

解：

子弹位置的不确定量子弹动量的不确定量§38-4物理中的哲学——确定论还是概率论＊量子物理的基本规律是统计规律，而经典物理的规律是确定论和严格的因果律。但量子物理的统计规律与经典物理中的统计规律又截然不同，这表现在：（1）在经典物理中，“几率”是统计规律的关键概念；在量子物理中，“几率幅

”才是最核心的概念。（2）在经典物理中，根本的规律还是决定论。经典物理中的统计规律只适用于由大量粒子组成的多粒子体系；而在量子物理中，单个粒子就显示出统计属性。§38-5一维薛定谔方程——不含时（定态）方程薛定谔方程可以写成两种形式：含时（非定态）

和非含时（定态）的形式。一维定态薛定谔方程如下回顾玻恩对波函数的解释可知，本身是不可测量的，但则是可测的。波函数的归一化：波函数的标准条件：因几率不会在某处突变，波函数必须处处连续。因在空间任意处只能有一个几率，波函数必须单值。因几率不能无限大，所以波函数必须有限。不符合这三个条件的函数没物理意义，不代