2023学年河南省洛阳市第一高中高三一诊考试数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（）A． B． C． D．2．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则下述四个结论：①②③④点为函数的一个对称中心其中所有正确结论的编号是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④3．已知函数，，若总有恒成立.记的最小值为，则的最大值为（）A．1 B． C． D．4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．85．已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C． D．6．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（）A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣127．已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．8．设为等差数列的前项和，若，则A． B．C． D．9．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（）A． B． C． D．10．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．11．已知为定义在上的偶函数，当时，，则（）A． B． C． D．12．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设、为两个同高的几何体，、的体积不相等，、在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于、两点，且,，则椭圆的离心率为__________．14．如图是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，，则的面积为________.15．设，满足约束条件，则的最大值为______.16．一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数，若把当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为，则_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及．18．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF；（Ⅱ）若二面角CBFD的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．19．（12分）如图，在直三棱柱中，，点P，Q分别为，的中点.求证：（1）PQ平面；（2）平面.20．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，且，求的最小值.21．（12分）如图，在直角中，，，，点在线段上.（1）若，求的长；（2）点是线段上一点，，且，求的值.22．（10分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：序号选科情况序号选科情况序号选科情况序号选科情况11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？（2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备高校专业报名资格的人数为，用样本的频率估计概率，求的分布列与期望.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【答案解析】

如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，设，利用双曲线的几何性质可以得到，，结合、可求离心率.【题目详解】如图，设双曲线的右焦点为，连接，连接并延长交右支于.因为，故四边形为平行四边形，故.又双曲线为中心对称图形，故.设，则，故，故.因为为直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故选：D.【答案点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于的方程，本题属于难题.2．B【答案解析】

首先根据三角函数的平移规则表示出，再根据对称性求出、，即可求出的解析式，从而验证可得；【题目详解】解：由题意可得，又∵和的图象都关于对称，∴，∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，∴①③④正确，②错误.故选：B【答案点睛】本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题.3．C【答案解析】

根据总有恒成立可构造函数,求导后分情况讨论的最大值可得最大值最大值,即.根据题意化简可得,求得,再换元求导分析最大值即可.【题目详解】由题,总有即恒成立.设,则的最大值小于等于0.又,若则,在上单调递增,无最大值.若,则当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增.故在处取得最大值.故,化简得.故,令,可令,故,当时,,在递减；当时,,在递增.故在处取得极大值,为.故的最大值为.故选：C【答案点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解的最大值.属于难题.4．A【答案解析】

由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【题目详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，．故选：A．【答案点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键．5．D【答案解析】

设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.【题目详解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影为.故选：D.【答案点睛】本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.6．D【答案解析】

分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果.【题目详解】设，联立则，因为直线经过C的焦点，所以.同理可得，所以故选：D.【答案点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。7．A【答案解析】双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F1与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x﹣c），与y=﹣x联立，可得交点M（，﹣），∵点M在以线段F1F1为直径的圆外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．则e=＞1．∴双曲线离心率的取值范围是（1，+∞）．故选：A．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.8．C【答案解析】

根据等差数列的性质可得，即，所以，故选C．9．A【答案解析】

根据题意，五人分成四组，先求出两人组成一组的所有可能的分组种数，再将甲乙组成一组的情况，即可求出概率.【题目详解】五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，所有可能的分组共有种，甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关，故甲和乙恰好在同一组的概率是.故选：A.【答案点睛】本题考查组合的应用和概率的计算，属于基础题.10．D【答案解析】

与中间值1比较，可用换底公式化为同底数对数，再比较大小．【题目详解】，，又，∴，即，∴．故选：D.【答案点睛】本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较．11．D【答案解析】

判断，利用函数的奇偶性代入计算得到答案.【题目详解】∵，∴．故选：【答案点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.12．A【答案解析】

由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【题目详解】解：由题意，若、的体积不相等，则、在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，、在等高处的截面积不恒相等，但、的体积可能相等，例如是一个正放的正四面体，一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A.【答案点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【答案解析】

设,则,,由知,,,作,垂足为C，则C为的中点,在和中分别求出,进而求出的关系式,即可求出椭圆的离心率.【题目详解】如图,设,则,,由椭圆定义知,,因为,所以,,作,垂足为C，则C为的中点,在中,因为,所以，在中,由余弦定理可得,，即,解得,所以椭圆的离心率为.故答案为:【答案点睛】本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.14．【答案解析】

根据个全等的三角形，得到，设，求得，利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式，求得三角形的面积.【题目详解】由于三角形是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，所以.在三角形中，.设，则.由余弦定理得，解得.所以三角形边长为，面积为.故答案为：【答案点睛】本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．29【答案解析】

由约束条件作出可行域，化目标函数为以原点为圆心的圆，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【题目详解】由约束条件作出可行域如图：联立，解得，目标函数是以原点为圆心，以为半径的圆，由图可知，此圆经过点A时，半径最大，此时也最大，最大值为.所以本题答案为29.【答案点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.16．1【答案解析】

根据均值的定义计算．【题目详解】由题意，∴．故答案为：1．【答案点睛】本题考查均值的概念，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(Ⅰ).(Ⅱ)见解析.【答案解析】

(Ⅰ)人中很幸福的有人，可以先计算其逆事件，即人都认为不很幸福的概率，再用减去人都认为不很幸福的概率即可；(Ⅱ)根据题意,随机变量，列出分布列，根据公式求出期望即可．【题目详解】(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福(Ⅱ)根据题意，随机变量，的可能的取值为；；；所以随机变量的分布列为：所以的期望【答案点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布列，数学期望的求解，概率分布中的二项分布问题，属于常规题型．18．（1）见解析（2）【答案解析】分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解.详解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BDcos30°，解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2，根据勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.又因为DE⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴AD⊥DE.又因为BDDE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD，∴平面ADE⊥平面BDEF，（Ⅱ）方法一：如图，由已知可得，，则，则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.则.过点C做，交DB、AB于点G，H，则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG，则，DE⊥平面ABCD，则平面.过G做于点I，则BF平面，即角为二面角CBFD的平面角，则60°.则，，则.在直角梯形BDEF中，G为BD中点，，，，设，则，，则.，则，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为．（Ⅱ）方法二：可知DA、DB、DE两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设DE＝h，则D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h).，.设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z)，则所以取x=，所以m＝(，-1，－)，取平面BDEF的法向量为n＝(1，0，0)，由，解得，则，又,则，设CF与平面ABCD所成角为，则sin=.故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.19．（1）见解析（2）见解析【答案解析】

（1）取的中点D，连结，.根据线面平行的判定定理即得；（2）先证，，和都是平面内的直线且交于点，由（1）得，再结合线面垂直的判定定理即得.【题目详解】（1）取的中点D，连结，.在中，P，D分别为，中点，，且.在直三棱柱中，，.Q为棱的中点，，且.，.四边形为平行四边形，从而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D为中点，.由（1）知，，.又，平面，平面，平面.【答案点睛】本题考查线面平行的判定定理，以及线面垂直的判定定理，难度不大.20．（1）（2）【答案解析】

（1）化简得到，分类解不等式得到答案.（2）的最大值，，利用均值不等式计算得到答案.【题目详解】（1）因为，故或或解得或，故不等式的解集为.（2）画出函数图像，根据图像可知的最大值.因为，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值是3.【答案点睛】本题考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.21．（1）3；（2）.【答案解析】

（1）在中，利用正弦定理即可得到答案；（2）由可得，在中，利用及余弦定理得，解方程组即可.【题目