2023年广州中考数学模拟试卷09（学生版+解析版）

2023年广州中考数学模拟试卷09（满分120分，时间120分钟）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）TOC\o"1-5"\h\z.在实数|-3|,-2,0,n中，最小的数是（ ）A.|-3| B.-2 C.0 D.n.下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（）.为全力抗战疫情，响应政府"停课不停学”号召，某校按照教学计划，开展在线课程教学和答疑，据互联网后台数据显示，九年级七科老师4月20日在线答疑问题总个数如下表：学科语文数学英语物理化学道法IJJ史数量/个26303028222521则4月20日该中学九年级七科老师在线答疑问题总个数的平均数和中位数分别是（ ）A.26；28B.28,28 C.26；26 D.28；26TOC\o"1-5"\h\z.如图，在已知的AABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于｝BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M,N；②作直线MN交AB于点D,连接CD.若AD=AC,13A=80。，则（3ACB的度数为（ ）

.我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺.问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布（ ）尺.A.— B.— C.— D.—16 21 31 36.下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是（ ）,1,A.y=xJ B.y=x-1 C.y=— D.y=-x2x.己知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65Tlem2,设圆锥的母线与高的夹角为6,如图所示，则sin。的值为（ ）.在下列函数图象上任取不同两点《（公凹）、£（%,%），一定能使（％-七）（，|一，2）>。成立的是（）6D.y=——xA.y——3x+1 B.y="x2—26D.y=——xC.y=-x2+4x+l（x<0）9.如图，四边形A5CO是边长为5的正方形，E是DC上一点,DE=\,将绕着点4顺时针旋转到与AAW7重合，则所=（ ）A.向B.7A.向B.742D.2713.如图1,矩形力88中，点E为8。的中点，点P沿BC从点8运动到点C,设8,尸两点间的距离为x,PA-PE=y,图2是点尸运动时y随x变化的关系图象，则8c的长为（ ）A.46DA.46D.7二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）.（-2021）。+卜-闽+（-g）=..因式分解:3ar-9ay=..一次函数y=（l-Qx+父-1的图象经过原点，则歹随x的增大而—.（填"增大"或"减小"）.如图，BL48c是等边三角形，AE=CD,于。，BE交.AD于点P,下列说法：①BWPE=I3C,（2）AQ=BQ,③4D=BE,@AE+BD=AB,其中正确的说法有.（填序号）.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是（结果保留n）.如图，在正方形中，点A/、N分别为边C。、8c上的点，且DM=CN,AM与DN交于点、P,连接4M点Q为4N的中点,连接尸°,BQ,若4B=8,DM=2,给出以下结论：①4W00N：（2）ISMAN=BBAN;③aPQVHaBQV；④尸0=5.其中正确的结论有（填上所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共9小题，第17-18题每小题4分，第19-20题每小题6分，第21题8分，第22-23题每小题10分，第24-25题每小题12分，共72分）17.解方程组:17.解方程组:2x+y=5

x+y=218.如图，在正方形48。中，点E、尸分别在线段BC、8上，连接4E、AF,且尸.求证：AE=AF.. ——. ——।>. . —2x+1x19.已知：A=——； x2-l x+\⑴化简出（2）若x为不等式a+123的最小整数解，求才的值.20.今年3月份，我县某中学开展争做“小雷锋”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A,B,C,。四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：根据以上信息，解答以下问题：等级成绩（S）频数（人数）A90<x<1006B80Vs490XC70<5<8024

D5<709（1）表中的X=.（2）扇形统计图中，"=,"=,C等级对应的扇形的圆心角为度；（3）该校准备从上述获得A等级的六名学生中选取两人做为学校“小雷锋”志愿者，已知这六人中有两名男生和四名女生，请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是一男一女的概率.21.某商店销售4,8两种型号的钢笔.下表是近两周的销售情况:销售时段销售数量（支）销售收入（元）4型号8型号第一周15202350第二周10252500⑴求48两种型号钢笔的销售单价；⑵某公司购买48两种型号钢笔共45支，若购买总费用不少于2600元，则8型号钢笔最少买几支？22.如图，点E是EL48C的内心，的延长线和GW8C的外接圆相交于点D.

(1)求证：BD=DEt(2)连接OO交5c于点G,若ODMC,0G=2,BC=10,求圆的半径.M.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数、=依+"&片0)的图象与反比例函数y=-(〃#0)的图象交X3于第二、四象限内的A、8两点，与无轴交于点C,点8坐标为(也-1),AD±xtt.fiA£)=3,tanZ^OD=-.(1)求该反比例函数和一次函数的解析式.(2)点E是x轴上一点，且AAOE是等腰三角形，求E点的坐标..如图1,在MaABC中，ZA=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上，AD=AE,连接。C,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.图1 图2(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是.(2)探究证明：把“£>E绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断aPMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若A£>=4,AB=1(),请直接写出aPMN面积的最大值..如图1,抛物线C/：y=ax2+bx-2与直线/：y=- ；交于x轴上的一点A,和另一点8(3,n)⑴求抛物线。的解析式;⑵点尸是抛物线。上的一个动点(点P在8两点之间，但不包括48两点)于点M,PN//y轴交于点N,求的最大值；(3)如图2,将抛物线C/绕顶点旋转180。后，再作适当平移得到抛物线C2,已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C/上，且抛物线C2与抛物线。交于点。，过点。作。尸〃x轴交抛物线C2于点R过点E作EG〃x轴交抛物线C/于点G,是否存在这样的抛物线C2,使得四边形。尸EG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由.2023年广州中考数学模拟试卷09（满分120分，时间120分钟）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.在实数|-3|,-2,0,n中，最小的数是（ ）A.|-3| B.-2 C.0 D.n【答案】B【解析】【分析】直接利用利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案.在实数|-3|,-2,0,n中，|-3|=3,则-2<0<|-3|<n,故最小的数是：-2.故选B.【点睛】此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键.【答案】D【解析】解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；B、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；C、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意.故选D..为全力抗战疫情，响应政府"停课不停学”号召，某校按照教学计划，开展在线课程教学和答疑，据互联网后台数据显示，九年级七科老师4月20日在线答疑问题总个数如下表：学科语文数学英语物理化学道法历史数量/个26303028222521则4月20日该中学九年级七科老师在线答疑问题总个数的平均数和中位数分别是（ ）A.26：28B.28,28 C.26；26 D.28；26【答案】C【解析】【分析】要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可，求中位数先把数据从小到大排列或从大到小排列，最中间的数据（或最中间两数的平均数）即是中位数.解：（26+30+30+28+22+25+21）+7=182+7=26.将数据从小到大排列：21,22,25,26,28,30,30,最中间的数是26,故选：c.【点睛】本题考查的是平均数和中位数，是基础题型，理解中位数的概念，熟记平均数公式是解题的关键..如图，在已知的AABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于^BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M.N；②作直线MN交AB于点D,连接CD.若AD=AC,ZA=80°,则NACB的度数为（ ）A.65° B.70° C.75° D.80°【答案】C【解析】【分析】根据作图过程可得DM是BC的垂直平分线，所以DC=DB,所以NB=NDCB,再根据AD=AC,ZA=80°,可得ZADC=50°,进而求出NACB的度数.解：根据作图过程可知：DM是BC的垂直平分线，DC=DB,/.ZB=ZDCB,ZADC=ZB+ZDCB=2ZDCB,VAD=AC,NA=80°,.*.ZADC=ZACD=-(18O°-ZA)=5O°,2，NDCB=；ZADC=25°,NACB=/DCB+NACD=250+50°=75°.NACB的度数为75°.故选：C.【点睛】本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质..我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺.问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布（）尺.TOC\o"1-5"\h\z5 5 _5 5A.— B.— C.— D.—16 21 31 36【答案】c【解析】【分析】设第一天织布X尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，再根据"5日共织布5尺”建立方程，解方程即可得.解：设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，由题意得：x+2x+4x+8x+16x=5,即该女子第一天织布［尺，故选：C.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键.6.下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是（ ）A. B.y=x-1 C.y=— D.y--x2x【答案】D【解析】【分析】A、根据二次函数的图像的性质解答；B、由一次函数的图像的性质解答；C、由反比例函数的图像的性质解答；D、由二次函数的图像的性质解答.解：A、二次函数y=x2的图像，开口向上，对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意：B、一次函数y=x-1的图像，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意：C、反比例函数中，-K0,图像在二、四象限，X当x>0时，y随x的增大而增大，故此选项不符合题意；D、二次函数y=的图像，开口向下，对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而减小，故此选项符合题意；故选：D.【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数、反比例函数图像的性质，能够根据解析式判断其增减性是解题的关键..己知圆锥的底面半径为5cm,侧面积为65ncm2,设圆锥的母线与高的夹角为。，如图所示，则sin。的值为（ ）【答案】B【解析】设圆锥的母线长为R，由题意得65n=nx5xR,解得R=13.二圆锥的高为12,..a5.*sin0=,13故选B.在下列函数图象上任取不同两点勺（与,乂）、£（七,丫2），一定能使（3-七）（乂-月）>。成立的是（）A.y=-3x+l B.y=—Xt—2x—<1）C.y=—x2+4x+1（x<0） d.y=~—【答案】c【解析】【分析】根据各函数的增减性依次判断即可.V）l=-3＜0,•••V随x的增大而减小，y随x的减小而增大，即当耳＞x2时，必有yt＜y2,当xt＜x2时，必有%＞必，.•.«r2）（X-必）＜0,故此项不满足题意；Va=-1,.•.二次函数图象开口向下，:图象对称轴为x=-l,当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，此时当X1＞%时，必有M＜丫2，*广&）（凹-必）＜0,故此项不满足题意：Va=-1,二次函数图象开口向下,•.•图象对称轴为x=2,二当％＜0时，y随x的增大而增大，此时当为＞今时，必有必＞必,（%-%）（%-72）＞。，故此项满足题意;6 6 6(x.—x,)・・・ye=——+—=―!―-•/ \/ \6(工]一三)〜..(x-x2)(y,-y2)=!~~—...显然当々和X2异号时，(3F)(%-%)=如二Qvo,故此项不满足题意;%9故选：C.【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质，结合函数的增减性即可作答.9.如图，四边形A8C£>是边长为5的正方形，E是。C上一点，DE=\,将AADE绕着点4顺时针旋转到与AABF重合，则防=( )FB CA.a B.742 C.5& D.2>/13【答案】D【解析】【分析】根据旋转变换的性质求出FC、CE,根据勾股定理计算即可.解：由旋转变换的性质可知，MDE^AABF,：.正方形ABC。的面积=四边形AECF的面积=25,/.BC=5,BF=DE=T,FC=6,CE=4,EF=VFC2+CE2=>/52=2713•故选D.【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理的应用，掌握性质的概念、旋转变换的性质是解题的关键.TOC\o"1-5"\h\z10.如图1,矩形/8CZ）中，点E为8C的中点，点尸沿8c从点8运动到点C,设3,尸两点间的距离为x,PA-PE=y,图2是点尸运动时y随x变化的关系图象，则8c的长为（ ）图1 图2A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】当x=0,即P在8点时，BA-BE=1；利用三角形两边之差小于第三边，得至IJRI-PE4E,得y的最大值为4E=5；在RtZVIBE中，由勾股定理求出8E的长，再根据8c=28E求出BC的长.由函数图象知：当x=0,即P在8点时，BA-BE=1.利用三角形两边之差小于第三边，得到PA-PE<AE.二7的最大值为ZE,*.AE=5.在Rt△48E中，由勾股定理得：BA2^BE2=AE2=25,设BE的长度为f,则BA=t+l,：.(Z+l)2+t2=2S,即：t2+t-12=0,二(Z+4)(/-3)=0,由于r>o,"4>0,.,.t-3=0,•»t--3.:.BC=2BE=2t=2x3=6.故选：C.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出8E的长是解题的关键.二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分).(-2021)。+1-闽+ .【答案】V2+9【解析】【分析】根据零指数基、绝对值、负整数指数基的性质计算，即可得到答案.(-2021)。+卜-闽+卜：)=5/2+9故答案为：0+9.【点睛】本题考查了零指数累、绝对值、负整数指数幕的知识，解题的关键是熟练掌握零指数塞、负整数指数累的性质，从而完成求解..因式分解:3ax-9砂=.【答案】3a(x-3y)【解析】【分析】提公因式3a即可.解：原式=3a(x-3y)故答案为：3a(x-3y).【点睛】本题考查了因式分解，掌握提公因式法因式分解是解题的关键..一次函数y=(l-Qx+公-1的图象经过原点，则y随x的增大而—.(填"增大"或"减小")【答案】增大【解析】【分析】由题意可得：公-1=0且1一女工0,求得％=-1,即可求解.解：由题意可得：r-1=0且1—kx0,解得％=-1则一次函数为：y=2x因为2>0所以丁随x的增大而增大，故答案为：增大【点睛】此题考查了一次函数的定义，图像与性质，解题的关键是根据题意正确求得％的值..如图，△Z8C是等边三角形，AE=CD,8。，/。于。，BE交AD于尽P,下列说法：①NAPE=NC,②AQ=BQ,③AD=BE,@AE+BD=AB,其中正确的说法有.（填序号）ABDC【答案】①③④【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得/8=4C,ZBAE=ZC=60°,再利用“边角边”证明△48E和全等.然后得到Z1=Z2,结合角的关系，得到N4PE=NC；由"BE和△（7">全等对应边相等得到/O=8E；再结合边的关系，得到/C=43；即可得到答案.证明：如图所示:是等边三角形，：.AB=ACfN54E=NC=60°,在△48E和△C/。中，AB=ACZBAE=ZC=60°,AE=CD.••△ABE冬ACAD(S4S),AZ1=Z2,・・・N8P2=N2+N3=Nl+N3=N84C=60°,:.ZAPE=ZC=60°9故①正确；无法判断BQ=AQf故②错误，・・•△NBC是等边三角形，：.AB=ACfZ^J£=ZC=60°,:.4ABE”ACAD(SAS),：.AD=BE故③正确；■：AC=BC.AE=DC,：.BD=CE,：.AE+BD=AE+EC=AC=AB,故④正确，...正确的有①③④故答案为：①③④.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，牢固掌握并灵活运用以上知识点是做出本题的关键..如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留n)A n口B匕 C【答案】8-2n【解析】【分析】根据S|?!=SAaBD-S用彩BAE计算即可.

। 45x万x4~=8-2n,解：Sb=SAabd-S用彩bae=二x4x4 =8-2n,2 360故答案为8-2n.【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积..如图，在正方形Z8CO中，点、M、N分别为边CO、8c上的点，且。M=CN,AM与DN交于点、P,连接4N,点0为4N的中点，连接尸°,BQ,若48=8,DM=2,给出以下结论：①4V/LQN；②NMAN=NBAN；③4PQN4BQN；®PQ=5.其中正确的结论有(填上所有正确结论的序号)【答案】①④【解析】【分析】①正确，证明(SAS'),可得结论.②③错误，利用反证法证明即可.④正确，利用勾股定理求出再利用直角三角形斜边中线的性质求出尸0,可得结论.解：•••四边形Z8C。是正方形，：.AD=DC,ZADM=ZDCN=90",在和aOCN,AD=DCZADM=Z.DCN,DM=CN:•△ADM<ADCN(SAS),：./DAM=/CDN,；NCDN+/ADP=9。。,：.N4OP+N£MM=90°,:.ZAPD=90°9：.AMLDN,故①正确，不妨假设NM4N=N84M在A/l/W和Zk/BN中，ZPN=NA8N=90。ZPAN=4BAN,AN=AN:,/\PAN学丛ABN(AAS),：.AB=AP,.•这个与力PV4O,AB=ADf矛盾，・・假设不成立，故②错误，不妨假设△PQNg/XBQM则/ANP=/ANB,同法可证△力尸Ng△48N,：.AP=AB,.,这个与4PV4D,AB=AD,矛盾,...假设不成立，故③错误，,:DM=CN=2,AB=BC=89:,BN=6,*.•N4BN=90°,:,AN=yjAB2+BN2=,8?+6,=1°，■:/APN=9b,AQ=QN9：.PQ=^AN=5.故④正确，故答案为：①④.【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用反证法解决问题，属于中考填空题中的压轴题.三、解答题（本大题共9小题，第17-18题每小题4分，第19-20题每小题6分，第21题8分，第22-23题每小题10分，第24-25题每小题12分，共72分）f2x+y=517.解方程组：,）.[x+y=2\x=3【答案】,【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可.①-②求出X=3,把X=3代入②得出3+y=2,再求出y即可.j2X+y=5-W解：1+y=2@，①■②，得x=3,把x=3代入②，得3+y=2,解得：y=-1,[x=3所以方程组的解是 ,.[y=-i【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键..如图，在正方形中，点尸分别在线段BC、CD上,连接4E、AF,且BE=DF.求证：AE=AF.【答案】见解析.【解析】【分析】利用正方形的性质可证明△Z8E丝ZVI。尸，可得AE=AF.证明：,四边形48C。是正方形，：.AB=AD,ZB=ZD=90",,:BE=DF,在RtAJBf与RtAJDF中，AB=ADNB=ND,BE=DF：.(SAS),：.AE=AF.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质是解题的关键.f ,X2-2x+1 X.已知：A=——； X-1X+1⑴化简4(2)若x为不等式。+123的最小整数解，求X的值.【答案】⑴-击【解析】【分析】(1)先将分式的分子分母分解因式，然后约分，再根据分式的减法计算即可;(2)根据x为不等式a+123的最小整数解，可以得到x的值，然后代入(1)中的结果，即可得到力的值.x2-2x+1Xx2-1 X+1("1)2X(x+l)(x-l)X+1工一1Xx+1 x+1x-l-xX+lx+1'(2)由不等式。+123可得，a>2,Vx为不等式a+l>3的最小整数解，・・X=2,由（1）知，/化简后的式子是一一二，X+1当x==2时，原式=-n=-§，即Z的值是-3，【点睛】本题考查了分式的化简求值，求一元一次不等式的整数解，正确的计算是解题的关键.20.今年3月份，我县某中学开展争做“小雷锋”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A,B,C,。四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图：根据以上信息，解答以下问题：等级成绩（S）频数（人数）A90<x<l(X)6B80<5<90XC70<5<8024D5<709(1)表中的x=.(2)扇形统计图中，"=,"=，C等级对应的扇形的圆心角为度：(3)该校准备从上述获得A等级的六名学生中选取两人做为学校“小雷锋”志愿者，已知这六人中有两名男生和四名女生，请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是一男一女的概率.【答案】(1)21；(2)10,40,144；(3)已【解析】【分析】(1)利用。等级的人数和其所占百分比求出抽取的人数，即可解决问题；(2)分别利用A等级和C等级的人数和抽取的人数即可求出m和〃的值，再用360。乘以C等级所占百分比即可求得圆心角；(3)画树状图，共有30个等可能的结果，恰好选取的是一男一女的结果有16个，再由概率公式求解即可.解：(1)抽取的人数为9+15%=60(人)，.\x=60-6-24-9=21,故答案为：21；(2)A等级式所占的百分比为：100%=10%,C等级式所占的百分比为£x100%=40%,60二〃=40,C等级对应的扇形的圆心角为：360°x40%=144°,故答案为：10,40,144；(3)画树状图如图：恰好选取的是一男一女的概率为2 .【点睛】本题考查了列表法与树状图法.利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从中选出符合事件4或8的结果数目加，然后利用概率公式求事件1或8的概率.也考查了频数分布表和扇形统计图.21.某商店销售48两种型号的钢笔.下表是近两周的销售情况:销售时段销售数量(支)销售收入(元)/型号8型号第一周15202350第二周10252500⑴求48两种型号钢笔的销售单价;(2)某公司购买48两种型号钢笔共45支，若购买总费用不少于2600元，则8型号钢笔最少买几支？【答案】（1）4型号的钢笔销售单价为50元/支，8型号的钢笔销售单价为80元/支⑵最少买B型号的钢笔12支【解析】【分析】（1）设4型号的钢笔销售单价为x元/支，8型号的钢笔销售单价为y元/支，根据题意，列二元一次方程组，解方程组求解即可；（2）设买8型号的钢笔机支，则/型号的钢笔（45-机）支，根据题意列出一元一次不等式，解不等式求解即可.⑴设工型号的钢笔销售单价为x元/支，8型号的钢笔销售单价为y元/支，根据题意得：J15x+20y=2350[1Ox+25y=2500',,fx=50解得：8„，[y=80答：4型号的钢笔销售单价为50元/支，8型号的钢笔销售单价为80元/支；⑵设买8型号的钢笔m支，则/型号的钢笔（45-加）支，根据题意得：80/M+50（45-m）>2600,35解得：771^—»•.•加是正整数，答：最少买8型号的钢笔12支.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式组是解题的关键.22.如图，点E是△ABC的内心，4E的延长线和△ABC的外接圆相交于点O.(1)求证：BD=DE；⑵连接OO交8C于点G,若。DG=2,BC=10,求圆的半径.【答案】(1)证明见详解,29(2)t【解析】【分析】(1)根据三角形内心性质及同弧所对的圆周角相等，利用等量代换即可证得=根据等角对等边即可求证.(2)在同圆中，利用等角所对弧相等性质得到BD=CD，在根据垂径定理即可求得BG,再利用勾股定理即可求得.

(1)证明：连接BE,•.•点E是△力8c的内心，ZABE=ZCBE,NBAD=NDAC,由圆周角定理得：NCAD=NCBD,：.ZBAD=ZDBC,：.NDBE=NDBC+NEBC=NABE+NBAD=NDEB,：.BD=BE.(2)解：连接O。，OC,由⑴可知，NB4D=ND4C,BD=CD>■.OD1BC,垂直平分BC,：.BG=-BC=-xlO=5,2 2设OO=O8=x，贝ljOG=x-DG=x-2,在HQO8G中，由勾股定理可得，OGr+BG2=OB2,(x-2)2+52=V,29解得*=弓，429所以圆的半径为?.【点睛】本题考查了圆内同弧所对的圆周角相等、等角所对的弧相等及垂径定理和三角形内心及利用勾股定理求直角三角形的斜边，解题的关键在于熟练掌握圆周角及垂径定理.23.如图，在平面直角坐标系x°y中，一次函数丫=丘+。(&*0)的图象与反比例函数y=2(〃w0)的图象交X3于第二、四象限内的A、B两点,与x轴交于点C,点8坐标为(m,T),AZ)_Lx轴，且A£)=3,tanNAOOu].(1)求该反比例函数和一次函数的解析式.(2)点E是*轴上一点，且ZVIOE是等腰三角形，求E点的坐标.【答案】（1）反比例函数：y=—;一次函数：y=-：x+2；（2）E,（713,0）,七（一曲,0）,与（-4,0）,—x 2【解析】【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式.（2）分类讨论，当A0为等腰三角形的腰与底时，求出点E的坐标即可.(1)在RtAOAD中，ZADO=90°3AnVtanZAOD=-=—,AD=32OD：.OD=2A(-2,3)把A（-2,3）代入y=:中解得〃=-6二反比例函数的解析式为y=aXtn解得〃?=6把A（-Z3）和5（6,-1）分别代入y=H+b中,得J—2左+匕=3164+%=-1\k=~-解得2b=2...一次函数的解析式为y=-;x+2.（2）如图，①当OE=04=后于=而时，有£（而,0）,马（-布②当OA=4E=Vi5时，有OE=2OD=4,可得&（T,0）③当AE=OE时，设E点的坐标为（x,0）得32+（-2-j：）2=（-x）213解得x=4故点E的坐标为：g（旧,（））,马卜历,0）,£,（-4,0）,E4[-j,0

【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的几何问题，掌握锐角三角函数的定义、待定系数法、反比例函数和一次函数的性质、等腰三角形的性质是解题的关键.24.如图1,在R/aABC中，ZA=90°点24.如图1,在R/aABC中，ZA=90°点M,P,N分别为£>E,DC,BC的中点.(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断aPMN的形状,并说明理由；(3)拓展延伸：把aADE绕点A在平面内自由旋转，若A£>=4,AB=10,请直接写出aPMN面积的最大值.49【答案】(1)PM=PN、PMLPN；Q)等腰直角三角形，证明见解析；(3)—【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线得出PN*BD,进而判断出即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM〃"得出N0尸M=N0C4,最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△”£）且△彳CE,得出BD=CE,同（1）的方法得出PM=^BD,PN=』BD,即可得出PM=PN,同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出8D最大时，的面积最大，而8。最大是43+4）=14,即可得出结论.解：（1）•・,点尸，N是BC,C。的中点，:.PN〃BD,PN=gBD,:点P,"是CO,DE的中点,：.PM//CEfPMqCE,\'AB=AC,AD=AE,:・BD=CE,:・PM;PN,:PN//BD、：./DPN=/ADC,,:PM〃CE,：./DPM=/DCA,N840900,•・ZJDC+ZJCZ）=90°,J/MPN=NDPM+NDPN=NDCA+/ADC=9G°,:・PM1PN,故答案为：PM=PN,PMLPN；APA/N是等腰直角三角形.理由如下：由旋转知，NBAD二/CAE,*：AB=AC,AD=AE,:•△ABDqAACE(SAS),AZABD=ZACEfBD=CE,利用三角形的中位线得，PN=；BD,PM=gcE,:.PM;PN,•••△PAfN是等腰三角形，同(1)的方法得，PM〃CE,；・NDPM=/DCE,同(1)的方法得，PN〃BD,：.4PNC=4DBC,:/DPN=/DCB+4PNC=4DCB+4DBC,:.4MPN=/DPM+/DPN=NDCE+ZDCB+ZDBC=/BCE+/DBC=NACB+/ACE+/DBC=/ACB+NABD+/DBC=ZJCB+NABC,,.・N8心90°,•・Z/4C5+ZJ5C=90°,/MPN=9b,.,•△PMN是等腰直角三角形；(3)由(2)知，△PAW是等腰直角三角形，PM二PNqBD,

・・・PM最大时，△〃〃义面积最大,,•点。在历（的延长线上，/.BD=AB+4D=14,:・PM=7,i i 49:.SAPMN最大=-PA/2=-x49=—.2 2 2【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用，解决本题的关键是要熟练掌握三角形的中位线定理，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质.25.如图1,抛物线夕=”+&-2与直线/：y=-/x-g交于x轴上的一点/，和另一点8(3,")⑴求抛物线G⑴求抛物线G的解析式;(2)点尸是抛物线C/上的一个动点(点尸在4,8两点之间，但不包括48两点)于点M,PN//y轴交48于点N,求MN的最大值;(3)如图2,将抛物线C/绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线C2,已知抛物线C2的顶点E在第一象限的抛物线C/上，且抛物线C2与抛物线。交于点。，过点。作。尸〃x轴交抛物线C2于点R过点E作EG〃x轴交抛物线C/于点G,是否存在这样的抛物线C2,使得四边形。EEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由.【答案］(l)y=g/-1x-2(2)也5(3)存在，£点的横坐标为2G+g【解析】【分析】(1)求直线/与x轴交点4坐标、8坐标，用待定系数法求抛物线。的解析式.(2)延长尸