2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第11讲数列求和倒序相加法（解析版）

第11讲数列求和:倒序相加法参考答案与试题解析选择题(共6小题)(2021秋•福建月考)已知函数f(x)=(x一炉+2,数列｛%｝为等比数列，q>0,且“期=e,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，则/(/m,)+f(lna2)+...+ )=()9017A.1 B.2021 C.4034 D.80682【解答】解：用倒序相加法：令/(/叫)+f(lna2)+...+/(/«a2U17)=S@则也有了(加%J1?)+f(lnaxlb)+...+f(lna2)+于(Ina、)=S②由『(x)+f(2-x)=(x_l)3+2+(l_x)3+2=4,=aio(»=/，即有历q+lnai0„=Ine2=2，可得：/(/w2m7)+f(/na,)=f(lna20l6)+f(lna2)=...=4,于是由①②两式相加得25=2017x4,所以S=4O34.故选：C.(2021•奉贤区二模)已知正数数列｛4｝是公比不等于1的等比数列，且/gq+/ga刈9=0,2若/(x)=7^v，则/(%)+/(。2)+…+/(々2019)=( )1+厂A.2021 B.4036 C.2019 D.4038【解答】解：正数数列｛%｝是公比不等于1的等比数列，且/gq+羔^gnO,可得/g4a201g=0,即4心身=1*即彳14%019=叼。2018=…=^1009^1011=fllOIO=1'。 2 r相丁2 2x2/w=-_/(-)=—r=rr^，l+x“ x1.1 1+X]+Fx"即有/(x)+/d)=2，X设S=fa)+/(a,)+...+/(6t20l9)，乂S—/(々oig)+/(”2()ix)+,••+/(4)，相加可得25=[/(«,)+/(a2mQ]+"(%)+ 刈8)】+…+"(*)+ )1=2x2019,解得S=2O19.故选：c(2021•成都二模)已知函数/。)=黄[。£/?),正项等比数列｛4｝满足。=1,则TOC\o"1-5"\h\zf(lna])+f(Jno2)+...+f(lna^)等于( )99 101A.99 B.101 C.— D.—2 2【解答】解：由/(x)=/一可知/(x)+/(-x)=l,

3+1因为正项等比数列｛a,,｝满足%,=1,根据等比数列的性质得到：=/«52=•••=《•出=1，所以/町9+/"%]=/也4»+/也52=.-=/叼+/7KA>9=。 , Ina5a=Ini=0且/(/叫J=/(/nl)=/(0)=；根 据 /(x)+f(-x)=l 得98199)+f(lna2)+...+fQn%)=[/(/叫)+ )J+[f(lna2)+fQna^)J+...+[/(/no49)+f(lna5i)]+ =-+-=—故选：c.4. (2021春•江西月考)已知函数/(x)，,若e1/(-2019)+/(-2018)+...+/(2021)=2020(a2+b2)+\,a,beR.贝U|a-b+2&|的最大值为( )A.2+2>/2 B.2+V2 C.20+1 D.2>/2-2【解答】解：由函数的解析式可得：f(x)+f(2-x)=2,令S=/(-2019)+/(-2018)+...+/(2021),则S=/(2021)+/(2020)+...+/(-2019),25=4041x2, 5=4041,则2020(/+从)+1=4041,a2+b2=2,令〃=a-b,则a—b—〃=0,(a,。)是圆心为(0,0),半径为r=0的圆上的点，直线a-b-“=0与圆有公共点，则圆心到直线〃=0的距离d=里,由d,,r,得苧”0,V2 <2得—2加2,即—2融一匕2,故-2+2仅S一6+2&2+2忘，-2+2y/2^a-h+2y/2\2+2近，故|a-b+2夜|的最大值为2+2拒，故选：A.

5.(5.(2021春•武汉期中)己”1、 2、 “2018、/f(- )+f(- )+・・・+/(― )=( )2019 2019 2019A.2021 B.2019【解答】解：根据题意，知函数/(x)=x+3sin(x--^)+^,则C.4036 D.4038函数/(x)=x+3sin(x-；)+；,则1 13 . 1/(I—x)=(1-x)+3sin(——x)+—=——x-3sin(x——)»则/（i-x）+/a）=2,1、 2、 々2018、\、r/2018 12、,,2017、 ^1009,,,1010、/( )+/( )+...+/( )=/( )+/( )+/( )+/( )+ + /( )+/( )=1009x2=2018TOC\o"1-5"\h\z2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019 2019故选：4.6.(2021秋•广陵区校级期中)已知g(x)=/(x+；)-3是R上的奇函数，an=/(0)+/(-)+...+/(^)+/(I)，nwN*，则数列｛4｝的通项公式为( )n nA.an=n+1 B.an=3/?4-1 C.an=3n+3D.an=n2—2n+3【解答】解：由题意可知：g(-x)=-g(x),即：/(；-x)+/(g+x)=6(xeR)，・•・函数/(x)关于点(13)对称，令,= BO—+x=1-r.TOC\o"1-5"\h\z2 2得到〃r)+/(lT)=6,1 n-\■:'=〃0)+/(-)+...+/(——)+/(I)，n nn-\ 14=/⑴+/(——)+・•・+/(-)+/(O)，n n以上两式相加可得24=6(九+1),即an=3(〃+1)»故选：C.二,填空题(共1小题)7.(2021秋•桃城区校级月考)已知函数/(x)=—片，数列｛4｝为等比数列，a„>0,且2017。1009=1，则/(/叫)+"««2)+…+/(/««20”)=-—•【解答】解：；〃x)=，一,e+1••/(-^)+/W=-^—7+-r-r=i-e+1e+1.•数列｛4｝是等比数列，..qX々2017=X^2016= =〃1008X“1010="iooq?，;设S刈7=/(/叫)+/(/")+...+/(加02a7)①,••s2a17=f(lnaxn)+f(lnaxl(t)+...+/(/叫)②，①+②得2s刈7=2017,_2017,•02017- 2 '故选：D.三.解答题(共6小题)8.(2021秋•北硝区校级月考)已知函数/(x)对任意xeR都有〃x)+/(l-x)=3.(1)求/(')的值；⑵若数列｛4｝满足4=f(0)+/小+f(2)+...+/")+/凸(〃eN*),求数列｛4｝的nn nn通项公式；(3)设4= (”e｛N*),C.=b”b”,i，求数列｛CJ的前"项和7；.4”,-5TOC\o"1-5"\h\z【解答】解：⑴在f(x)+/(l-x)=±中，1 1 1Q；,・心4(2) an=/(0)+/(-)+/(-)+...+/(---)+/(1)nn nn—1 n—2 14=/(D+/(——)+/(——)+.・・+/(-)+/(0)nn n根据/*)+/(>x)=5，.1./(o)+/(1)=1./(-)+/(—)=|....2nn2..2cL= 3〃+3Cn=bnbn+l= =—( )* 11(3〃-2)(3〃+1)33〃-23〃+14 111 1I4 1 4〃"1 2 "3 4 47 3n-23〃+1 33九+13n+l(2021秋•沙坪坝区校级月考)函数f(x)对任意xwR都有f(x)+/(l-x)=g成立.(I)求和/(』)+_/■(巴二3(〃eN*)的值；nn(II)数列®｝满足条件；=/(0)+/(-)+/(-)+...+/(—)+/(I).试证：数列｛4｝是nn n等差数列.【解答】解：⑴•.加对任意E都有了⑴+”七成立,/(、)=:’令X=，’则仃/(，)+/(1-，)=：,即

2 4 n nn2TOC\o"1-5"\h\z(H)・・・可=/(o)+/(-)+，(2)+...+/(—)+/(i)nn n■-an=/(1)+/(-)+/(-)+...+/(-)+/(0)nn niw_i 9 勿_2两式相加可得，2«„=[/(0)+/(I)]+[/(-)+/(——)]+[/(-)+/(——)]+...nnnn4/(--~)+/(-)]H/⑴+/(。)]=-nn 2所以数列｛a,,｝是等差数列.(2016春•汇川区校级月考)已知函数/(x)对任意xwR都有，(x)+/(l-x)=2.(1)求/4)和/(-)+/(—)(neN*)的值；2nn⑵数列㈤｝满足为=/(0)+/(2)+/(2)+...+/(七11)+/⑴，MN*),求证：｛4｝是等差数列.

(3)在(2)的情况下，令b〃=―—,Tn-bx+b2+...+bn,若a>l,对任意几.2,不等-1式一(＞工(I+log"/-log.x)恒成立，求X的取值范围.【解答】解：(1)f(x)对任意xwR都有/(x)+/(lr)=2.・・・当X=g时，/(；)+/(l-g)=2=2冲.^x=-f则f(_L)+/(i—_L)=2,即/(_L)+/(3)=2,(2)证明：/(x)对任意xwR都有/(x)+/(l-x)=2.则令x=4,则/(与+/(nnTOC\o"1-5"\h\z:4=/(。)+/(~)+/(-)+...+/(-~~-)+/(1)»nn nn-1 n—7⑴+/(——)+f(——)+.・.+/(—)+/(。)，则两式相加得2an=[f(0)+f则两式相加得2an=[f(0)+f(1)]+"(-)+/( )]+...+/( )+・・•+"(1)nn n+/(0)]=2(n+l),则an=n+l,则4+i-q=〃+2-(〃+1)=1,为常数，，｛q,｝是等差数列.⑶-j则易知⑶-j则易知S= + + 〃+1〃+2〃+3+...+!=/(〃)，

2n八、 1 1 1111 11 111 1 An+2n+3 2〃+2〃+1〃+2〃+32n2/1+12〃+2〃+12/1+12〃+2所以/(〃)单调递增.所以心一空"所以心一空"(2)7 7故石〉石。+log. log“工)所以10ga+|XV10g“X，

于是———<—,(a>OJga>0)恒成立心(。+1)Iga(2021•江门模拟)己知f(x)= (m>0),当X、/wR且X+*2=1时，总有4'+m（1）求m的值；（2）设数列｛4｝满足a,,=f（e）+fd）+f（2）+-+f（U）,求｛%｝的通项公式;nnn n（3）对MzcN"£<里恒成立，求欠的取值范围（其中Z>0且％wl）.an〃〃+l【解答】解：（1）依题意，取为=£=；,得/A）」，2 4当m当m=2时，V%1X2eRfX)+x2=1»1_ 14f+2“+2TOC\o"1-5"\h\z4+(1_ 14f+2“+24”产与+2(4%+4叼)+4—2所以m=2.(2)a„=/(-)+/(-)+/(-)+...+/(-),nnn nan=/(-)+/(-)+/(-)+...+/(-)nnn n两式相加,并由已知得血=二里.2所以可=1.得人>—=9=1+_!_,ann+1 〃+1VneTV*，VneTV*，i+Ji+L3,n+\ 22等号当且仅当〃=l时成立,所以无的取值范围是212.函数f(x)= (771>0)，%、X、WR,当司+工2=1时，/(%)+/6)='•TOC\o"1-5"\h\z4'+m 2(1)求〃7的值；⑵数列｛4｝，已知q=/(())+/(■!■)+八2)+…+/(匕!)+/(1),求nn n【解答】解：(1)由/(X)+/(X,)=—•得— 1 —=—,- 2 4A,+m4X,+m24%+4&+2m=；[…+m(4*+4-)+病].•.•丹+毛=1,：.(2-m)(4x,+4力=(,〃-2)2.：.4X'+4Xj=2-m<&2-m=0.•.•4"+43.2,4*，4：=2"'"=4,而n?>0时2—/nv2,...4"+40工2—m..\m=2•(2) =/(0)+/(-)+/(—)++/(^-^)+/(1),nnn>2—1 n—2 I•**an=f(1)+/( )+/( )++/(—)+/(。)•nnn•*-2a„=[/(0)+/(1)]+[/(-)+/(--+ (1)+/(0)]=:+?++\=・nn 22 2 2n+\13.(2021秋•雁峰区校级月考)已知函数f(x)=L/〃上.2l-x(I)求证：存在定点用，使得函数/(X)图象上任意一点尸关于“点对称的点Q也在函数/(x)的图象上，并求出点M的坐标；(H)定乂S”=工/(二)=/(-)+/(—)+…+/( )，其中"WN"且”..2,求$2012；i=innn n(III)对于(II)中的S〃，求证：对于任意〃eN*都有/阪菖-岫向＞」-」n【解答】解：(1)函数定义域为(0,1).设点M的坐标为(〃,6),则若点M,使得函数/(x)图象上任意一点P关于M点对称的点。也在函数