2023年高考数学复习讲稿之第18讲 向量的数量积问题（解析版）

第18讲向量的数量积问题参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．已知圆交抛物线的准线于，两点点在上方），且．（1）求抛物线的方程；（2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，求直线的斜率．【解答】解：（1）由题意可得，解得，所以抛物线的方程为．（2）由（1）可知焦点的坐标为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，所以，，抛物线的准线方程为，联立圆的方程，所以，所以，，所以，不满足，所以直线的斜率不存在不满足条件．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得，设，，，，则，，则，，又，所以，，，解得，所以直线的斜率为2．2．已知抛物线的焦点在轴上，顶点在原点且过点，过点的直线交抛物线于，两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交于点．（1）求抛物线的方程；（2）是否存在直线，使得以为直径的圆经过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意可设抛物线的方程为，而在抛物线上，，即，抛物线的方程为：．（2）由题意可设，代入，得：，设，，，，则，，，，，，，，，，若以为直径的圆经过点，则，，，即，．存在直线，的方程：．3．已知抛物线过点．（1）求抛物线的标准方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于为坐标原点）的直线，使得直线与的距离等于？若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．（3）过抛物线的焦点作两条斜率存在且互相垂直的直线，，设与抛物线相交于点，，与抛物线相交于点，，求的最小值．【解答】解：（1）将代入，得，解得．故所求抛物线的方程为，其准线方程为．（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得．直线与抛物线有公共点，△，解得，由直线与的距离，可得，解得．，，符合题意的直线存在，其方程为．（3）由题意可知：设，，，，设直线的斜率为，则的方程为，联立，得，，．，直线的斜率为，方程为，设，，，．联立，化为，，．，当且仅当时取等号．当时，的最小值为16．4．已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于，两点（不同于点，直线，分别交直线于点，（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）已知为原点，求证：为定值．【解答】解：（1）将代入，得，抛物线方程为，焦点坐标为，，准线方程；．（3分）（2）证明：设，，，，，，，，因为直线不经过点，则直线的斜率存在，设直线方程为，与抛物线方程联立得到，消去，整理得：，则由韦达定理得：，，（6分）直线的方程为：，即，令，得，（9分）同理可得：，（10分）又，，则，（13分），即为定值．（14分）．方法二：证明：设，，，，，，，，设直线方程为，于抛物线方程联立得，整理得：，则由韦达定理得：，，（6分）直线的方程为：，即，令，得，（9分）同理可得：，（10分）又，，则，（13分），即为定值．（14分）5．已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．（1）分别求抛物线和椭圆的方程；（2）经过，两点分别作抛物线的切线，，切线与相交于点．证明：；（3）椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线，，为切点），使得直线过点？若存在，求出点及两切线方程，若不存在，试说明理由．【解答】解：（1）抛物线的焦点为，可得，解得，可得抛物线的方程为；设椭圆的方程为，半焦距为．由已知可得：，，，解得，．所以椭圆的方程为；（2）证明：显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意，故可设直线的方程为，设，，，，代入抛物线方程，消去并整理得，．抛物线的方程为，求导得，过抛物线上、两点的切线方程分别是，，即，，解得两条切线，的交点的坐标为，，即，，，，，．（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，设过点且与抛物线相切的切线方程为，其中点，为切点．令，，得，解得或，故不妨取，，即直线过点．综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、、为切点），能使直线过点．此时，两切线的方程分别为和．6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，，且为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线相切，并求该圆的方程．【解答】解：（1）满足，可得的横坐标为，纵坐标为，再由，可得，，解得，，所以椭圆的方程为：；（2）证明：设，，，，联立，整理可得：，则，，，因为，即，则，即，可得，原点到直线的距离为定值，所以可证：存在一个确定的圆与直线相切．7．设，为双曲线的左、右顶点，直线过右焦点且与双曲线的右支交于，两点，当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形．（1）求双曲线的离心率；（2）若双曲线左支上任意一点到右焦点点距离的最小值为3，（ⅰ）求双曲线方程；（ⅱ）已知直线，分别交直线于，两点，当直线的倾斜角变化时，以为直径的圆是否过轴上的定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解答】解：（1）由轴时，为等腰直角三角形，可得，所以，即，故，因为，解得，故双曲线的离心率为2；（2）由双曲线的几何性质可知双曲线左顶点到右焦点的距离最小，最小距离为，即，又，所以，，所以，所以双曲线的方程为：，由题知直线的斜率不为0，设直线，，，，，联立直线与双曲线的方程得，化简得，，根据根与系数的关系得，，，①所以，②，③设直线，直线，令，可得，，，，设是以为直径的圆上的任意一点，则，则以为直径的圆的方程为：，由对称性可得，若存在定点，则一定在轴上，令，可得，即，将①②③代入，可得，即，解得或2，所以以为直径的圆过定点，．8．已知，是椭圆的左、右焦点圆与椭圆有且仅有两个公共点，点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，已知，若为定值，则直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标和定值；若不经过，请说明理由．【解答】解：（1）因为圆与椭圆有且仅有两个公共点，所以，由题意，得，解得，，所以椭圆的标准方程为．（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得，所以△，设，，，，由根与系数的关系可得，，，而，，，，所以，由为定值，可得，即，解得或（满足△，所以直线的方程为或，所以直线过定点或，此时定值为，当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，不妨令，，则，又为定值，所以，直线的方程为，此时直线过点，，，符合题意，综上，若为定值，则直线过定点或，且定值为．9．设双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的左、右准线与其一条渐近线的交点分别为，，四边形的面积为4．（1）求双曲线的方程；（2）已知为圆的切线，且与相交于，两点，求．【解答】解：（1）设，由直线是双曲线的一条渐近线，可得①，因为双曲线的准线方程为，则，可得，所以，由双曲线的对称性，可得，结合四边形的面积为4，可得，解得，结合①，可得，所以双曲线的方程为；（2）①当直线的斜率存在时，对于圆，不妨考虑，则由，可得，所以，所以；②当直线的斜率存在时，设，因为这些与相交于，两点，所以，因为这些与圆相切，所以，即，设，，，，联立方程组，可得，结合，可得△，则，所以，结合，可得．综上所述，．10．已知椭圆的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，，又，由此解得，．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）点在以为直径的圆内．证明如下：方法1：由（Ⅰ）得，．设，．点在椭圆上，．①又点异于顶点、，．由、、三点共线可以得．从而，，．．②将①代入②，化简得．，，于是为锐角，从而为钝角，故点在以为直径的圆内．方法2：由（Ⅰ）得，．设，，，，则，，又的中点的坐标为，依题意，计算点到圆心的距离与半径的差③直线的方程为，直线的方程为，而两直线与的交点在直线上，，即④又点在椭圆上，则，即⑤于是将④、⑤代入③，化简后可得．11．已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于，两点，判断点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解答】解法一：（1）由已知得，解得，椭圆的方程为．（2）设点，，，中点为，．由，化为，，，．，．，故．，故在以为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点，，，则，．由，化为，，，从而．，又，不共线，为锐角．故点在以为直径的圆外．12．已知圆，经过椭圆的右焦点及上顶点，过圆外一点，倾斜角为的直线交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点在以线段为直径的圆的内部，求的取值范围．【解答】解：（1）圆经过点，．，，．故椭圆的方程为，（4分）（2）设直线的方程为．由消去得，设，，，，则，（6分）．，，，，（8分）（10分）点在圆的内部，，即，解得，由△，解得．又，，（12分）13．设，分别为椭圆的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且点在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为直线上不同于点的任意一点，若直线与椭圆相交于异于的点，证明：为钝角三角形．【解答】解：（Ⅰ）由题意：，所以，所求椭圆方程为；又点在椭圆上，，；故所求椭圆方程为：．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，，，设，，，则直线的方程为：，；由得；因为直线与椭圆相交于异于的点，所以，所以；由，得，所以；从而，；所以．又，，三点不共线，所以为钝角；所以为钝角三角形．14．设，分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为右准线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，证明点在以为直径的圆内．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，，解得，，从而．故椭圆的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．设，．点在椭圆上，（1）又点异于顶点、，，由、、三点共线可以得．从而，，．．（2）将（1）代入（2），化简得．，，则为锐角，从而为钝角，故点在以为直径的圆内．15．设，分别为椭圆的左右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线是它的右准线．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为椭圆右准线上不同于点的任意一点，若直线于椭圆相交于两点，，求证：为锐角．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，解得，从而．故椭圆的方程为．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，设，，点在椭圆上，①又点异于顶点、，，