机械控制工程基础-第章-系统的瞬态响应与误差

第4章系统的瞬态响应与误差分析本章考点：1、时间响应：概念及瞬态响应、稳态响应的定义。2、脉冲响应函数：定义、与传函的关系及任意输入下的脉冲响应。3、一阶系统：传递函数及增益、时间常数的计算；一阶系统的单位脉冲、单位阶跃、单位斜坡响应函数的计算。4、二阶系统：传递函数及无阻尼自然频率、阻尼自然频率、阻尼比的计算；特征方程及临界阻尼系数的含义；5、三阶和高阶系统的时间响应：主导极点的概念及其与相应的关系。6、瞬态响应：性能指标的定义；二阶系统瞬态响应指标的计算以及二级系统的阻尼比、无阻尼自然频率与各性能指标的关系。7、系统误差分析：误差和稳态误差的概念及计算；系统类型的定义；系统稳态误差与系统类型、开环增益及输入信号之间的关系；静态误差系数与稳态误差。引言：动态系统的研究方法动态系统的研究方法有两种：1、时域分析法：根据系统的微分方程或传递函数，求出系统的输出量随时间的变化规律，从而确定系统的性能2、频域分析法：以拉氏变换为工具将时域转换为频域，研究系统对正弦输入的稳态响应，分析系统与过程在不同频率的输入信号作用下的响应特性。

本章采用第1种方法。4-1时间响应1、时间相应的概念（1）定义：系统在外加激励下，其输出量随时间变化的函数关系叫做系统的时间响应。（2）时间响应=瞬态响应（0<t<t1)+稳态响应(t→∞）（3）系统微分方程的解=系统时间相应的表达式（4）四种典型输入信号：阶跃函数脉冲函数斜坡函数加速度函数2、脉冲响应函数（1）定义：系统受到一个单位脉冲激励（输入）时产生的响应叫做单位脉冲响应。（2）图示系统的传递函数G(s)即为其脉冲响应函数g(t)的像函数.系统X(t)Y(t)输入函数图4-2单位脉冲响应函数4-2一阶系统的时间响应1、一阶系统的数学模型（1）一阶系统：能用一阶微分方程描述的系统。（2）RC电路一阶系统传函的一般形式

2、一阶系统的单位阶跃响应（1）输入：单位阶跃函数（2）输出：（3）响应曲线Laplace3、一阶系统的脉冲响应（1）输入：单位脉冲函数（2）输出：（3）响应曲线

Laplace4、一阶系统的单位斜坡响应（1）输入:（2）输出：（3）响应曲线Laplace图4-11表一一阶系统对典型输入信号的响应输入信号输入信号输出响应传递函数单位脉冲R(s)=1单位阶跃

1(t)单位斜坡

t加速度函数等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。4-3二阶系统统的时间间响应1、二阶系系统的数数学模型型（1）定义：：由二阶微微分方程程描述的的系统。。（2）典型例例题：弹簧—质量—阻尼系统统（3）微分分方程拉氏变换换传递函数数特征根S(S+2ξωn)ωn2图4-13标准形式的二阶系统方块图_－自然频率率（或无无阻尼振振荡频率率）－阻尼比（（相对阻阻尼系数数）Xi（S）Xo（s)(4)二阶系统统的标准准形式及及方块图图x++2、二阶系系统的单单位阶跃跃响应（1）输输入（2）传递函函数（简简化形式式）特征方程程特征根f(t)t10单位阶跃跃函数特征根有有三种情情况：①欠阻尼，，，，特征征根有一一对共轭轭复根此时，此为衰减减振荡函函数,t,c(t)1∞∞②临界阻尼尼，，，特征根为为一负实实根。此为衰减减振荡的的极限。。③过阻尼，，，系统有两两个不等等的负实实根，二阶系统统的单位位阶跃响响应曲线线图4-16不同值值的二阶阶系统单单位阶跃跃响应曲曲线3、二阶系系统的单单位脉冲冲响应（1）输入入信号（2）传递函函数输出特征方程程特征根特征根有有三种情情况：①欠阻尼，，，，特征征根有一一对共轭轭复根(2)临界阻尼尼（3）过阻阻尼4-4高阶系统统动态分分析1、三阶系系统（1）传递函函数（2）对应方方程（3）单位阶阶跃响应应令，，作作拉氏逆逆变换，，得（4）闭环主主导极点点若实极点点位于共共轭复数数极点的的右侧，，且距原原点很近近，则响响应表现现出明显显的惯性性环节特特性，共共轭极点点只增加加曲线初初始段的的波动动。若实极点点远离共共轭复数数极点，，位于它它们的左左侧较远远处，则则实数极极点对系系统动态态影响较较小，响响应特性性主要决决定于复复数极点点。总之，三三阶系统统的响应应特性主要决定定于距虚虚轴较近近的闭环极点，，这类极极点叫做做系统的闭环主主导极点点2、高阶系系统（1）主导导极点：：系统的所所有闭环环极点中中，距虚虚轴最近近，且周周围无闭闭环零点点的极点点。主导极点点对系统统响应起起主导作作用，其其它极点点在近似似分析中中可以忽忽略不计计。一般的，，闭环主主导极点点总以共共轭复数数极点的的形式出出现。（2）高阶系系统的闭闭环传递递函数4-5瞬态响应应的性能能指标二阶系统统的单位位脉冲响响应性能能要求：稳定性、、准确性性、灵敏敏性1、瞬态响响应的性性能指标标（1）前提条条件：①系统受受单位阶阶跃信号号作用；；②零初始始条件。。（2）瞬态响应应的性能能指标①延迟时时间td：单位阶跃跃响应c(t)达到其稳稳态值的的50%时所需要要的时间间。②上升时时间tr：单位阶跃跃响应c(t),丛稳态值值的10%———90%（对于过过阻尼）），或从从0——100%（对于欠欠阻尼））所需要要的时间间。③峰值时间间tp：单位阶跃跃响应c(t)超过其稳稳态值而而到达第第一个峰峰值时所所需要的的时间。。④超调量量Mp:单位阶跃跃响应c(t)第一次越越过稳态态值而达达峰值时时对稳态态值的偏偏差与稳稳态值之之比。⑤调整时时间ts:单位阶跃跃响应c(t)与稳态值值之差进进入允许许的误差差范围所所需要的的时间。。通常取取5%或2%。相对性指指标——Mp；灵敏性指指标——td，tr，ts。瞬态响应应的性能能指标的的图示2、二阶系系统瞬态态响应指指标的推推证（1）上升时时间tr：由（4-28）式，当当t=tr时C(tr)=1,即令可得（4——43）（2）峰值时时间将（4-28）式对时时间求导导，并令令其为零零，即（3）超调量量Mp：已知代代入超调调量的定定义式。。可得可见，超超调量仅仅与阻尼尼比有关关。（4）调整时时间ts对欠阻尼尼二阶系系统，瞬瞬态响应应为其包络线线方程为为设允许误误差为δ%，则调整整时间满满足用包络线线近似代代替C(t),可得例题4-1，4-2，4-3p87-89C(ts)-1=δ/100R(s)(-)C(s)•化为标准形式•即有2n=1/Tm=5,n2=K/Tm=25解：系统闭环传递函数为•解得n=5,ζ=0.5

例1

已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。[解]：①③当T不变时，T=0.25，②[例2]：如图所示系统，试求：①和;②和③若要求时，当T不变时K=?R(s)(-)C(s)•化为标准形式•即有2n=1/Tm=5,n2=K/Tm=25解：系统闭环传递函数为•解得n=5,ζ=0.5

例3

已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。4-6系统误差差分析引论：(1)时间响应应=瞬态分量量+稳态分量量(2)误差产生生原因：：①系统结结构不同同，输入入信号不不同，使使输出值值偏离输输入值。。②外界界的干扰扰作用。。③系统统存在摩摩擦、间间隙、零零件变形形。1、误差与与误差的的概念（1）误误差差测量量值值与与真真值值之之差差异异称称为为误误差差；；测测量量值值偏偏离离真真值值的的大大小小，，称称为为绝绝对对误误差差；；相相对对误误差差，，是是绝绝对对误误差差与与测测量量值值或或多多次次测测量量均均值值的的比比值值。。①误误差差信信号号E(S)=R(s)-H(s)C(s)Fig.4-24②误差差(2)稳态态误误差差①时时域域分分析析中中：：误差差通通常常是是时时间间t的函函数数，，以以e(t)表示示；；稳态态误误差差定定义义为为误误差差信信号号的的稳稳态态分分量量，，以以ess表示示②计算算公公式式：：C(s)=E(s)G(s)E(s)=R(s)-E(s)G(s)H(s)∴由终终值值定定理理E(S)=R(s)-H(s)C(s)，Fig.4-242、系系统统的的类类型型（1）开环环传传递递函函数数①定义义②一般般地地，，K——开环环增增益益；Ta,Tb,--Tm;T1,T2,--Tp---时间间常常数数；；----传递递函函数数在在原原点点有有λ重极极点点。。（2）按按积积分分环环节节的的个个数数分分类类：：λ=0，0型系系统统；；λ=1，Ⅰ型系系统统；；λ=2，Ⅱ型系系统统（3）影影响响系系统统稳稳态态误误差差的的因因素素可见见，，影影响响系系统统稳稳态态误误差差的的因因素素为为系系统统的的类类型型λ、开开环环增增益益K和输输入入信信号号R(s)3、静静态态误误差差系系数数与与稳稳态态误误差差（1）静态态位位置置误误差差系系数数Kp：由（（4-50）式式，，对对单单位位阶阶跃跃输输入入其中中①②位置置误误差差单位位阶阶跃跃输输入入的的响响应应曲曲线线0型系系统统1型及及以以上上系系统统（2）静态态速速度度误误差差系系数数Kv①定义义：：系系统统对对单单位位斜斜坡坡输输入入的的稳稳态态误误差差叫叫做做速度度误误差差，，即即静态速速度误误差系系数Kv定义为为②速度误误差