高中数学：圆锥曲线专题-椭圆中的两大张角

圆锥曲线专题----椭圆中的两大张角【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：中心直张角模型定理1：直线交于P、Q两点，O为椭圆中心，设O到PQ的距离为d，则，。定理2：直线交于P、Q两点，O为椭圆中心，设O到PQ的距离为d，则，。定理3：直线交于P、Q两点，O为椭圆中心，，则。非中心直张角模型定理1：直线交于A,B两点，为椭圆上不同于A，B两点的一个定点，则。定理2：直线交于A,B两点，为双曲线上不同于A,B两点的一个定点，则的充要条件是直线过定点。定理3：直线交于A，B两点，为抛物线上不同于A,B两点的一个定点，则的充要条件是直线过定点。

【考点精选例题精析】：例1．（2021·山东山东·高二阶段练习）已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点．(1)求椭圆的方程；(2)求线段MN的长度的最小值；(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为，若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；点的个数为2【解析】【分析】（1）根据直线方程，求出椭圆方程的上顶点和左顶点坐标，进而求出椭圆方程；（2）设出直线AS的方程，表达出点M，N的坐标，利用基本不等式求出线段MN的长度的最小值；（3）先求出的长度，得到到直线的距离等于，利用点到直线距离得到T所在的直线方程，结合根的判别式得到点的个数.(1)，令得：，令得：，所以椭圆C的左顶点为，上顶点为，所以，故椭圆方程为.(2)直线的斜率k显然存在，且k>0，故可设直线AS的方程为，从而，由，联立得：，设，则，解得：，从而，即，又，由，解得：，所以，故，又，所以，当且仅当即时等号成立，故线段MN的长度的最小值为.(3)由第二问得：，此时，故，要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于．其中直线SB：，即，设平行于AB的直线为，则由解得：或，当时，，联立椭圆方程得：，由得：与椭圆方程有两个交点；当时，，联立椭圆方程得：，由，此时直线与椭圆方程无交点，综上：点的个数为2．例2．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆：.(1)若直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点为，求直线的斜率；(2)如图，已知椭圆：与椭圆有相同的离心率，过椭圆上的任意一动点作椭圆的两条不与坐标轴垂直的切线，，且，的斜率，的积恒为定值，试求椭圆的方程及的的值.【答案】(1)(2)，【解析】【分析】（1）设，，利用点差法计算即可得出结果；（2）由题意设椭圆：，设椭圆过点的切线方程为：，联立，由，化简整理得，则，而，化简可得,要使之恒为定值，只需，计算可得结果.(1)设，，则，两式相减并整理得：；(2)由题得椭圆的离心率，故，因此椭圆：，设椭圆过点的切线方程为：，其中，即，且，即联立：，因为与椭圆相切，所以整理得，视为的一元二次方程，则其两根即为，由韦达定理，得，而，故上式要恒为定值，即与无关，则，得，此时，综上，椭圆：，.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.例3．（2022·浙江绍兴·高二期末）已知椭圆的离心率，过椭圆C的焦点且垂直于x轴的直线截椭圆所得到的线段的长度为1．(1)求椭圆C的方程；(2)直线交椭圆C于A、B两点，若y轴上存在点P，使得是以AB为斜边的等腰直角三角形，求的面积的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由条件可得，解出即可；（2）设，，取AB的中点，联立直线与椭圆的方程消元，算出，，然后可算出，然后由可得，然后表示出的面积可得答案.(1)令，得，所以，解得，，所以椭圆C的方程：．(2)设，，取AB的中点，因为为以AB为斜边的等腰直角三角形，所以且，联立得，则．∴．又∵，∴，且，，∴，由得，∴．∴．例4．（2022·上海市七宝中学附属鑫都实验中学高二期末）设点是抛物线上异于原点O的一点，过点P作斜率为、的两条直线分别交于、两点（P、A、B三点互不相同）．(1)已知点，求的最小值；(2)若，直线AB的斜率是，求的值；(3)若，当时，B点的纵坐标的取值范围．【答案】(1)；(2)3；(3)；【解析】【分析】（1）根据两点之间的距离公式，结合点坐标满足抛物线，构造关于的函数关系，求其最值即可；（2）根据题意，求得点的坐标，设出的直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求得点坐标，同理求得点坐标，再利用斜率计算公式求得即可；（3）根据题意，求得点的坐标，利用坐标转化，求得关于的一元二次方程，利用其有两个不相等的实数根，即可求得的取值范围.(1)因为点在抛物线上，故可得，又，当且仅当时，取得最小值.故的最小值为.(2)当时，故可得，即点的坐标为；则的直线方程为：，联立抛物线方程：，可得：，故可得，解得：，又故可得同理可得：，又的斜率，即.故为定值.(3)当时，可得，此时，因为两点在抛物线上，故可得，，因为，故可得，整理得：，，因为三点不同，故可得，则，即，，此方程可以理解为关于的一元二次方程，因为，故该方程有两个不相等的实数根，，即，故，则，解得或.故点纵坐标的取值范围为.【点睛】本题考察直线与抛物线相交时的范围问题，定值问题，解决问题的关键是合理且充分的利用韦达定理，本题计算量较大，属综合困难题.例5．（2022·四川达州·高二期末（文））如图，已知椭圆的焦点是圆与x轴的交点，椭圆C的长半轴长等于圆O的直径．(1)求椭圆C的方程；(2)F为椭圆C的右焦点，A为椭圆C的右顶点，点B在线段FA上，直线BD，BE与椭圆C的一个交点分别是D，E，直线BD与直线BE的倾斜角互补，直线BD与圆O相切，设直线BD的斜率为．当时，求k．【答案】(1)；(2)-1.【解析】【分析】（1）由题设可得，求出参数b，即可写出椭圆C的方程；（2）延长线段DB交椭圆C于点，根据对称性设B，为，，联立椭圆方程，应用韦达定理并结合已知条件可得，直线与圆相切可得，进而求参数t，即可求直线BD的斜率.(1)因为圆与x轴的交点分别为，，所以椭圆C的焦点分别为，，∴，根据条件得，∴，故椭圆C的方程为．(2)延长线段DB交椭圆C于点，因直线BD与直线BE的倾斜角互补，根据对称性得．由条件可设B的坐标为，设D，的纵坐标分别为，，直线的方程为，．由于，即，所以．由得：．∴，．∴①，②，由①得：，代入②得，∴．∵直线与圆相切，∴，即．∴，解得，又，∴，故，即直线BD的斜率．【点睛】关键点点睛：将已知线段的长度关系转化为D，的纵坐标的数量关系，设直线的含参方程，联立椭圆方程及其与圆的相切求参数关系，进而求参数即可.

【达标检测】：1．（2021·河北·二模）已知圆x2+y2=17与抛物线C:y2=2px(p>0)在x轴下方的交点为A，与抛物线C的准线在x轴上方的交点为B，且点A，B关于直线y=x对称.(1)求抛物线C的方程；(2)若点M，N是抛物线C上与点A不重合的两个动点，且AM⊥AN，求点A到直线MN的距离最大时，直线MN的方程.【答案】(1)y2=16x(2)2x+y-38=0【解析】【分析】（1）通过所给的作图分析，尤其是关于y=x对称点的条件，可以求出抛物线方程；（2）联立直线与抛物线方程，利用向量表达垂直的方法，可以得出结论.(1)依题意，作图如下：由于点B在准线上，设，由于关于y=x对称，所以，由，以及解得p=8，m=1，所以抛物线的方程为：，；(2)设M(，y1)，N(，y2)，直线MN的方程为x=my+n，将直线MN的方程代入y2=16x得y2-16my-16n=0，所以y1+y2=16m，y1y2=-16n.因为AM⊥AN，所以·=(-1，y1+4)·(-1，y2+4)=+(y1+4)(y2+4)=0，由题意可知y1≠-4，y2≠-4，所以(y1+4)(y2+4)≠0.所以+1=0，即y1y2-4(y1+y2)+272=0，所以-16n-64m+272=0，即n=-4m+17，所以直线MN的方程为x=m(y-4)+17，所以直线MN过定点P(17，4)，当MN⊥AP时，点A到直线MN的距离最大，此时直线MN的方程为2x+y-38=0.故答案为：，2x+y-38=0.2．（2021·河南·中牟县第一高级中学模拟预测（理））已知圆与抛物线：在轴下方的交点为，与抛物线的准线在轴上方的交点为，且，两点关于直线对称．（1）求抛物线的方程；（2）若点，是抛物线上与点不重合的两个动点，且，求点到直线的距离最大时，直线的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先求点根据对称性得点，再将点代入抛物线方程即可求得值；（2）设直线的方程为，代入抛物线方程，得，，结合即可得，所以直线过定点，当时，点到直线的距离最大，则方程可解．【详解】解：（1）将代入，得，所以，由点，关于直线对称，可得，将的坐标代入抛物线的方程得，得，所以抛物线的方程为．（2）由（1）得，设，，直线的方程为，将直线的方程代入，得，，所以，．因为，所以．由题意可知，，所以，所以，即，所以，即，满足，所以直线的方程为，所以直线过定点，当时，点到直线的距离最大当时，点到直线的距离最大，此时直线的方程为．【点睛】解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、曲线的条件；(2)强化有关直线与曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3（2021·北京八中高二期末）已知抛物线，焦点到准线的距离为2，直线过x轴正半轴上定点且交抛线C于A，B两点，O为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)若，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由焦点到准线的距离为焦参数可得抛物线方程；（2）设直线方程为，，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得，代入可得范围．(1)焦点到准线的距离为2，则，抛物线方程为；(2)直线斜率不为0，设直线方程为，，由，得，所以，，，因为，所以，又，解得．4．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，且过点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知过的直线l交椭圆C于A、B两点，试探究在平面内是否存在定点Q，使得是一个确定的常数？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，定点【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合是常数列方程，从而求得定点的坐标.(1)，，由题可得：.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，设，，联立方程组，整理得，可得，所以则恒成立，则，解得，，，此时，即存在定点满足条件当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝－2，可得，，设要使得是一个常数，即，显然，也使得成立；综上所述：存在定点满足条件.5．（2022·广东珠海·高三期末）已知椭圆的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（不同于A，B两点），且直线时，求F在l上的射影H的轨迹方程．【答案】(1)，离心率为(2)【解析】【分析】（1）由题意可得，，可求出，再由可求得，从而可求出椭圆C的方程和离心率；（2）设，，当直线斜率存在时，可设代入椭圆方程消去，整理后利用根与系数的关系，结合，可求出的值，从而可得直线l经过定点，当直线斜率不存在时，可设，求出的坐标，结合可求出的值，得F在l上的射影H的轨迹为以为直径的圆，从而可求出射影H的轨迹方程(1)由题意可得：，，，可得，，，所以椭圆C的方程为，离心率为．(2)当直线斜率存在时，可设代入椭圆方程，得：．设，，则．因为直线，垂直，斜率之积为，所以，所以．将代入，整理化简得：，所以或．由直线，当时，直线l经过，与B点重合，舍去，当时，直线l经过定点，当直线斜率不存在时，可设，则，，因为，所以，解得，舍去．综上所述，直线l经过定点，而F在l上的射影H的轨迹为以为直径的圆，其，，所以圆心，半径，所以圆的方程为，即为点H的轨迹方程．6．（2022·山西运城·高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为为坐标原点，点Q在椭圆C上，且满足.(1)求椭圆C的标准方程；(2)P为椭圆C的右顶点，设直线与椭圆C交于异于点P的两点，且，求的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根据题意求出a、b、c即可；(2)根据题意设l：(t≠2)，联立l与椭圆C的方程，由求出t为定值，再求出弦长MN，求出点P到直线l的距离d，即可求出，根据m的范围求出的最大值，又根据即可求出的最大值.(1)；(2)，设，，则，∵PM⊥PN，∴，且.由题可知直线l斜率不为0，设l方程为(t≠2)，，(*)，则，，则，，，∴，即或t＝2(舍).时，l过定点(，0)，则(*)恒成立.P(2，0)到直线l：x－my－t＝0的距离，令，则，则，则，∵在s≥8时单调递增，∴当s＝8时，取最大值，∴，∴.即的最大值是.【点睛】本题关键是利用△PMN的面积的最大值来求的最大值，将问题转化为常规的椭圆内部三角形面积的问题.7．（2022·福建漳州·二模）已知椭圆的长轴长为，且过点(1)求的方程：(2)设直线交轴于点，交C于不同两点，，点与关于原点对称，，为垂足.问：是否存在定点，使得为定值？【答案】(1)(2)存在【解析】【分析】（1）利用待定系数法求方程；（2）联立方程组，结合韦达定理可得直线恒过定点，进而求解.(1)依题意知，即所以的方程可化为，将点代入得，解得，所以椭圆方程为；(2)设点，，联立得，，，解得，，，注意到，，三点共线，，又当，解得，因为，所以，此时，满足，故存在定点，使得等于定值.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．8．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知椭圆的焦距为，且经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且，则直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)(2)直线l过定点【解析】【分析】(1)由题意列出相应的方程组,解得答案;（2）考虑直线斜率是否存在的情况，然后斜率存在时，设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合，化简整理,从而可得直线过定点，直线斜率不存在时同理可求直线过该定点，由此可得答案.(1)由题意得

解得．

所以椭圆C的方程是．(2)设，由可知，A,B异于点P,若直线l的斜率