2022-2023学年浙江七年级上学期数学重难题型全归纳及技巧提升专项（浙教版）专题02数轴中的动点问题专项讲练（解析版）

专题02数轴中的动点问题专项讲练数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高。【解题技巧】数轴动点问题主要步骤：①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；②写点——写出所有点表示的数：一般用含有，的代数式表示，向右运动用表示，向左运动用表示;③表示距离——右一左，若无法判定两点的左右需加绝对值：④列式求解一根据条件列方程或代数式，求值。注意：要注意动点是否会来回往返运动。题型i.单动点问题TOC\o"1-5"\h\z例1.（2022•河北石家庄♦七年级期末）如图，已知4,B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8,且AB=12,动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M,N始终为AP,8尸的中点，设运动时间为f（r>0）秒，则下列结论中正确的有（ ）BNPMA 4 I 」 , ， 》①B对应的救是一4：②点尸到达点8时，r=6；③3尸0 8=2时，r=5：④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【分析】①根据两点间距离进行计算即可：②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点8的右侧，点P在点8的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点8的右侧，点P在点8的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可.【详解】解：设点8对应的数是x,•••点A对应的数为8,且A8=12,；.8-x=12,.F=4,.♦.点8对应的数是-4,故①正确；由题意得：12+2=6（秒），，点P到达点8时，t=6,故②正确：分两种情况：当点尸在点B的右侧时，'：AB=\2,BP=2,：.AP=AB-BP=\2-2=]O,,10+2=5（秒），...BQ2时,1=5,当点P在点8的左侧时，VAB=12,BP=2,：.AP=AB+BP=\2+2=\4,...14+2=7（秒），.•.8P=2时，t=l,综上所述，8尸=2时，仁5或7,故③错误；分两种情况：当点P在点B的右侧时，'：M,N分别为AP,8P的中点，：.MP=^AP,N*BP,：.MN=MP+NP=44尸+38P=：AB=：x12=6,2 2 2 2当点P在点8的左侧时，•••”，N分别为AP,82的中点，二初号”，NP=；BP,：.MN=MP-NP=■吗8P=g48=3x12=6,二在点P的运动过程中，线段的长度不变，故④正确：所以，上列结论中正确的有3个，故选：C.【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键.变式1.（2022•全国•七年级课时练习）如图，在数轴上有A,B两点（点B在点A的右边），点C是数轴上不与A,8两点重合的一个动点，点A/、N分别是线段AC,BC的中点，如果点A表示数m点B表示数b,求线段MN的长度.下列关于甲、乙、丙的说法判断正确的是（ ）甲说：若点C在线段AB上运动时，线段MN的长度为gs-a）；乙说：若点C在射线AB上运动时，线段MN的长度为：（a-力；丙说：若点C在射线84上运动时，线段MN的长度为1（。+6）.二 J "A.只有甲正确B.只有乙正确C.只有丙正确D.三人均不正确【答案】A［分析】分别求得点C在线段AB上运动时，点C在射线AB上运动时和点C在射线BA上运动时，线段MN的长度，判定即可.【详解】解：点C在线段48上运动时，如下图：AMCNBMN=,AC+LBC=2A8=，S-a）甲说法正确；2 2 2 2当点C在射线A8上运动时，如下图:TOC\o"1-5"\h\zMN=」AC-l8C=lAB=l3-a)乙说法不正确；2 2 2 2当点C在射线84上运动时，如下图：C M A N B\o"CurrentDocument"• • ・ ・ • ♦MN=LBC-，4C=L4B=Ls-a)丙说法不正确故选A2 2 2 2【点睛】此题考查数轴上的动点以及两点之间的距离，解题的关键是对点C的位置进行分类讨论分别求解.题型2.单动点问题(规律变化)例2.(2021•浙江温州•七年级期中)如图，在数轴上，点A表示-4,点B表示-1,点C表示8,P是数轴上的一个点.A B C ►(1)求点A与点C的距离.(2)若PB表示点P与点B之间的距离，-4 -1 8PC表示点尸与点C之间的距离，当点P满足PB=2PC时，请求出在数轴上点P表示的数.(3)动点P从点8开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，当点P满足PC=2以时，则点「移动'次.【答案】(1)12(2)17或5(3)2或29【分析】(1)根据两点间的距离公式可得A与C的距离；(2)设点尸表示的数是x,根据题意列出方程，再解方程即可：(3)设点P表示的数是x,根据题意列出方程可得尸T6或0,再根据点P的移动规律可得答案.⑴解:AC=|8-(-4)|=12,故答案为：12；(2)解：设点尸表示的数是x,则28=卜+1|,PC=|x-8|,二以+l|=2|x-8|,解得x=l7或5：(3)解：设点尸表示的数是x,则附=|x+4|,PC=|x-8|,.,.|x-8|=2|x+4|,解得x=-16或0,根据点P的移动规律，它到达的数字分别是-2,0,-3,1,-4,2,-5,3,……,它移动奇数次到达的数是从-2开始连续的负整数，故移动到-16需29次，移动到0需2次.故答案为：2或29.【点睛】本题主要考查数字的变化类、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键.变式2.(2021•浙江嘉兴•七年级期末)一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，左表示第〃秒时机器人在数轴上的位置所对应的数.给出F列结论：①W=3;②③XiohVXq；④》2019>*2020.其中，正确结论的序号是.【答案】①②®【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即X5=l,第二个循环节结束的数即xio=2,第三个循环节结束的数即xi5=3 第m个循环节结束的数就是第5m个数,即X5m=m.然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值.【详解】根据题意可知：Xl=l,X2=2,X3=3,X4=2,X5=l,X6=2,X7=3,X8=4,X9=3,X10=2,xu=3,Xi2=4,Xi3=5,xi4~4,x”=3,...由上列举知①②正确，符合题意；由上可知：第一个循环节结束的数即X5=l,第二个循环节结束的数即X|O=2,第三个循环节结束的数即Xi5=3 即第m个循环节结束的数即X5m=m.'.'xi(x)=20,/.xioi=21,xio2=22,xio3=23,xio»=22,Vx105=21,Ax।()6=22,xio7=23,xi(«=24故X|08>X104,故③错误，不合题意；•X2015—403»••X2()16~404,X2OI7=405,X2018=406,X2(H9=405,X2()2()=404,»故X2(“9>X2020,故④正确.符合题意.故答案为：①②④.【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”.把数和点对应起来，也就是把''数"和“形''结合起来.前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n+5看余数，余数是儿，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数.题型3.双动点问题(匀速)例3.(2021・陕西•西安铁一中滨河学校七年级期中)如图：在数轴上A点表示数mB点、表示数b,C点表示数c,且人满足|〃+3|+(b-9)2=0,c=\.a=,h=；(2)点P为数轴上一动点，其对应的数为x,则当x时，代数式仪-〃卜卜-"取得最大值，最大值为;(3)点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点。从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为f(W8)秒，求第几秒时，点尸、Q之间的距离是点8、。之间距离的2倍？—禾 0 g*~►［笞案］(1)-3,9；(2)>9,12；(3) 秒或半秒.【分析】(1)由|。+3|+(6-9)2=0,根据非负数的性质得|a+3|=0,(Z?-9)2=0,即可求出a=-3、b=9；(2)由(1)得。=-3、b=9,则代数式仅-。|-打-臼即代数式仅+3|-k-9|,按xV-3、-3qV9及於9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值：(3)先由点C表示的数是1,点8表示的数是9,计算出8、C两点之间的距离，确定，的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可.【详解】解：⑴V|a+3|>0,(b-9)2>0,且|。+3|+(6-9)2=0,...|。+3|=0,(6-9)2=0,：.a=-3,b=9,故答案为：-3,9.a=-3,匕=9,代数式|x--加即代数式以+3|-卜-9|,当xV-3时，|x+3|-\x-9|=-(x+3)-(9-x)=-12；当-3SrV9时，|x+3|-k-9|=x+3-(9-x)=2x-6.V-12<2x-6<12,；.-12<|x+3|-|x-9|<12：当应9时，|x+3|-\x-9|=x+3-(x-9)=12,综上所述，Lr+3|-|x-9|的最大值为12,故答案为：>9,12.(3)1•点C表示的数是1,点8表示的数是9,二8、C两点之间的距离是9-1=8,当点Q与点C重合时，则2r=8,解得r=4,当0〈性4时，如图1,点P表示的数是-3-/,点。表示的数是9-27,一, “， 12根据题意得9-2f-(-3-/)=2x2/,解得/=不：当4<£8时，如图2,点P表示的数仍是-3-r,V1+(2r-8)=2r-7,...点。表示的数是2r-7,根据题意得2r-7-(-37)=2(16-2/),解得仁与，综上所述，第/秒或第半秒，点P、。之间的距离是点8、。之间距离的2倍.PACQB 1 L- 1 1 J- U 1 i 1 1 1 -3 01 9图2PA CQB—"1 "—W―6i''—'―9―1 ' ［点睛］本题考查数轴、数轴上两点间的图1距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.变式3.(2022•辽宁沈阳•七年级期末)已知数轴上有A,B,C三个点，分别表示有理数-2,4,6.(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A,点B,点C；(2)动点尸从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为，秒.①当「=1时，总的长为个单位长度，依的长为个单位长度，PC的长为个单位长度；②在点P的运动过程中，若R4+PB+PC=9个单位长度，则请直接写出f的值为0TOC\o"1-5"\h\z【答案】(1)见解析；1 3 9 11(2)①4,2,4：②;或：或7；或彳4 4 2 2【分析】(I)根据题意画出数轴即可；(2)①先求出当，=1时，P点表示的数为6-4=2,然后根据数轴上两点距离公式求解即可；②分当P从C向A运动和当P从A向。运动两种情况讨论求解即可.(1)解：如图所示，即为所求；4 B cI 1 1一~3 1 1 1 1 »—J L ］ » (2)解： ①当/=1时，P点表示的数为6-4=2,A3 0 2 4 6 ^・・9=2-(-2)=4,PB=4-2=2,尸。=6-2=4,故答案为：4、2、4；②当户从C向A运动，0<fW0.5时，姑=6-4，+2,。8=6-4，-4,PC=4t,；PA+PB+PC=9, 6-4r+2+6-4r-4+4r=9,解得r=一；4当尸从。向A运动，0.5V/K2时，PA=6-4r+2,PB=4-6+4t,PC=4tf3：PA+PB+PC=9,，6—4f+2+4—6+4r+4f=9,解得t=一4当P从4向C运动时，当2<芯5时,尸A=-2+2(r—2)+2=2r—4,尸8=4-[—2+2«-2)]=10—2r,PC=6-[-2+2(r-2)]=12-2/,9VPA+PB+PC=9,：.2r-4+10-2/+12-2r=9,解得/=q：当P从4向C运动时，当5</46时，PA=2t-4,PB=2t-10.PC=12-2t,VPA+PB+PC=9,/.2r-4+2r-10+12-2r=9,解得f=£；1 3q11综上所述，/的值为;或;或1或?.4 4 2 2【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解.题型4.双动点问题(变速)例4.(2021•江苏•无锡市江南中学七年级期中)已知点。是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是-12、b、c,且6、c满足(b-9)2+|c-15|=0,动点P从点4出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点。从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、8两点之间为“变速区”，规则为从点。运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点8运动到点。期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为秒时，尸、。两点到点B的距离相等.【答案】5或30【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、。点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于r的方程，进行求解即可.【详解】；(匕-9)2+|c-15|=0,'.b-9=0,c-15=0,'.b=9,c=15,二8表示的数是9,C表示的数是15,①当叱二6时，P在线段04上，。在线段BC上，此时不存在P、。两点到点8的距离相等；②当6<£9时，尸、。都在线段。8上，尸表示的数为f-6,。表示的数是9-3(f-6),：.P,。两点到点8的距离相等只需r-6=9-3(/-6),解得片宁，③当9czs15时，P在线段08上，。在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等；④当r>15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，尸表示的数为9+2(r-15),。表示的数是-(f-9),../、。两点到点B的距离相等只需9+2(r-15)-9=9-[-(f-9)],解得/=30,综上所述，P、。两点到点8的距离相等，运动时间为弓秒或30秒，

故答案为：宁或30.【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间，的方程，并进行求解，这是解决这类问题的上要思路.变式4.(2021•四川绵阳七年级期中)已知a、b为常数，且关于x、y的多项式(-20x2+ox-y+]2)-Cbx2+]2x+6y-3)的值与字母x取值无关，其中。、人分别为点A、点8在数轴上表示的数，如图所示.动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点尸以每秒2个单位向右运动，设运动时间为r秒.(1)求a、b的值；(2)请用含f的代数式表示点E在数轴上对应的数为：,点/在数轴上对应的数为：.(3)当E、尸相遇后，点£继续保持向左运动，点尸在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍.在整个运动过程中，当E、尸之间的距离为2个单位时，求运动时间，的值(不必写过程). g q ►【答案](l)a=12,b=-20：(2)12-6t,-20+2r；15 1327 29(3)9秒或:秒0秒或?秒4 3 2 2【分析】(1)由题意根据关于x、y的多项式(-20r+or-y+12)-(^+12x+6y-3)的值与字母x取值无关，即可求出“、6；(2)由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解；(3)根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可.【详解】解：(1),关于x、y的多项式(-20/+6-y+12)-(江+12^+6)，-3)的值与字母x取值无关，(-lOj^+ax-y+12)-(bx2+12x+6y-3)=-20x2+ax-y+12-bx2-12x-6y+3)=(-20-b)x2+(a-12)x-7y+15»，-20-6=0或a-12=0,解得6=-20,a=12；(2)设运动时间为r秒.(3)由题意得：点E在数轴上对应的数为：12-6/,点尸在数轴上对应的数为：-20+2/,故答案为：12-6/,-2O+2Z；(3)设当E、尸之间的距离为2个单位时，运动时间为r秒，15相遇前：12-6r=-20+2/+2,解得：t=—；4相遇后：E、尸相遇的时间为：(20+12)+(2+6)=4(秒)，相遇点为-20+2x4=-12,13点尸在原地停留4秒时，6(Z-4)=2,解得：r=5：

由题意得：当E、尸相遇后，点E在数轴上对应的数为：12-6，，点尸在数轴上对应的数为：-12-2x5(/-4-4)=68-10L当E在尸左侧时，68-10r-(12-6f)=2,解得：f=一：当E在F右侧时，12-6r-(68-10r)=2,解得：t=—.is 1327 29答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为9秒或9秒?•秒或三秒4 3 2 2【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键.题型5.多动点问题例5.(2022•福建・厦门市金鸡亭中学七年级期中)已知数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b,且满足|a+3|+(b-9)2=0,O为原点： 1 ►(l)a=,b=.(2)若点C0.从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点距离，求点C的运动速度？(结合数轴，进行分析.)(3)若点D以2个单位每秒的速度从点O向右运动，同时点P从点A出发以3个单位每秒的速度向左运动，点Q从点B出发，以6个单位每秒的速度向右运动.在运动过程中,M、N分别为PD、OQ的中点，问，二的值是否发生变化，请说明理由.(注：PD指的是点P与D之间的线段，而算式PQ-OD指线段PQ与OD长度的差•类似的，其它的两个大写字母写在一起时意义一样.【答案】(1)-3、9；(2)点C的速度为每秒1个单位长度：(3)PQ1:D的值没有发生变化,理由见解析.【分析】(1)根据几个非负数的和为。，则每一个数都是0,建立关于a、b的方程即可求出a、b的值；(2)根据点C从O点出发向右运动，经过3秒后点C到A点的距离等于点C到B点:距离，可表小C4=|x+3],CB=|.r-9|,再山CA=CB建M关「x的方程求解即可：(3)根据点的运动速度和方向，分别用含t的代数式灰示点D、P、Q、M、N对应的数，再分别求出PQ、OD、MN的长，然后求出隼岑的值为常工，即可得出结论.【详解】(1)V|a+3|+(b-9)2=0,•*.a+3=0,b-9=0.解得a=-3,b=9；(2)设3秒后点C对应的数为x,则。=|x+3，CB=\x-^\,

；CA=CB,A|x+3|=|x-9|,当x+3=x-9,无解：当x+3=-（x-9）,解得x=3,此时点C的速度为3+3=1个单位每秒，二点C的速度为每秒1个单位长度；（3）段二?。的值没有发生变化,理由如下：设运动时间为1秒，则点D对应的数为2t；点P对应的数为-3-3t；点Q对应的数为9+6t；点M对应的数为-1.5-O.5t；点N对应的数为4.5+31；则PQ=9t+12,OD=2t,MN=3.5t+6,.PQ-OD".PQ-OD"MN7/+123.5/+6=2,为定值,即卷泮的值没有发生变化【点睛】本题考查列代数式和一元一次方程的应用，解题关键是根据数轴表示的数正确列出代数式.变式5.（2021•剑阁县公兴初级中学校七年级月考）己知：b是最小的正整数，且a、b满足（c-6）2+|a+b|=0,请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值.a=—,b=—,c=—.（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C,点P为一动点，其对应的数为x,点P在A、B之间运动时，请化简式子：|x+l|-|x-l|-2|x+5|（请写出化简过程）~A―B 茨―（3）在（I）的条件下，数轴上的A,B,M表示的数为a,b,y,是否存在点M,使得点M到点A,点B的距离之和为5?若存在，请求出y的值；若不存在，请说明理由.（4）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒n（n>0）个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC,点A与点B之间的距离表示为AB.请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由：若不变，请求其值.【答案】⑴-1、1、6；（2）-10；（3）存在，y=2.5或y=-2.5；（4）值不变，BC-AB=3.【分析】（1）据最小正整数的意义和非负数的性质作答；（2）先去绝对值号，再去括号，最后合并即可；（3）据绝对值的性质用y表示出点M到点A,点B的距离之和，再令其等于5,列方程求解；（4）结合题意，用t和n表示出BC-AB再化简即可判断.【详解】解：（1）由b是最小正整数得b=l；由（c-6）2+|a+b|=0得c-6=0和a+b==0,解之得c=6,a=-l.故a=・Lb=l,c=6.(2)•点P在A、B之间运动.".-l<x<l.,.x+l>0,x-l<0,x+5>0二|x+l|-|x-l|-2|x+5|=(x+l)-(l-x)-2(x+5)=x+1-l+x-2x-10=-10.(3)由题意知AB=2,所以M不可能在AB之间，下面讨论M在AB之外的情况第一种情况，当M在A点左侧时由MA+MB=MA+MA+AB=5,得MA=1.5/.|y-(-l)|=1.5且yV-1，y=-2.5；第二种情况，当M在B点右侧时由MA+MB=MA+MA-AB=5,得MA=3.5二卜-(-1)1=3.5且y>-l，y=2.5：故存在这样的点M,对应的y=2.5或y=-2.5.(4)如下图AA1B1Bc1 C• • 0 • • • 其用A'B\C1-1 1 6分别表示A、B、C的初始位置由题意得，当t秒时，A'A=nt,B'B=2nt,C'C=5nt/.AB=AiA+A'B'+B1B=nt+2+2nt=3nt+2,BC=B'C-B1B=B'C'+C'C-B1B=5+5nt-2nt=3nt+5/.BC-AB=(3nt+5)-(3nt+2)=3故BC-AB的值不变，且BC-AB的值为3.【点睛】此题综合考查了绝对值的意义和数轴上两点之间的距离.弄清数轴上点及点的运动与所表示的数之间的关系是解决本题的关键.题型6.新定义问题例6.(2021•江西赣州•七年级期中)定义：若A,B,C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是［AB］的美好点.例如；如图1,点A表示的数为T,点B表示的数为2.表示1的点C到点4的距离是2,到点8的距离是1,那么点C是［48］的美好点；又如，表示0的点。到点A的距离是1,到点B的距高是2,那么点O就不是的美好点，但点。是川的美好点.A D C BU―=2--I 0 1 2 3—*如图2,M,N为数轴上两点，点M所表示的数为-7,点N却所表示的数为2.M Nr―土一立一士一立一片—3―二—® 一~A(1)点E,F,G表示的数即

分别是-3,6.5,11,其中是美好点的是:写出［MM］美好点H所表示的数是.（2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动.当/为何值时，点P恰好为M和N的美好点？【答案】（1）G,-4或-16；（2）1.5或3或9【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2,宜观考察点E,凡G到点M,N的距离，只有点G符合条件.结合图2,根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化.（2）根据美好点的定义，分情况分别确定尸点的位置，进而可确定，的值.【详解】解：（1）根据美好点的定义，结合图2,直观考察点E,F,G到点用，N的距离，只有点G符合条件，故答案是：G.结合图2,根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定-4符合条件.点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是-16.故答案是：-4或-16.（2）根据美好点的定义，P,M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，第一情况：当尸为【M,N］的美好点，点尸在M,N之间，如图1,F13m>当尸N时，PN=3,点P对应的数为2-3=-1,因此片1.5秒；卸第二种情况，当P为1N,Ml的美好点，点P在M,N之间，如图2, J ~• >MP2°N 当2PM=PN时，NP=6,点尸对应的数为2-6=4因此r=3秒：图2第三种情况，P为［N,Af］的美好点，点P在M左侧，如图3,••・• >P3MON当PN=2MN时,NP=18,点?对应的数为2-18:16,因此片9秒；图3综上所述，，的值为：1.5或3或9.【点睛】本题考查实数与数轴、美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目.变式6.（2022•全国•七年级专题练习）“幸福是奋斗出来的“，在数轴上，若C到A的距离刚好是3,则C点叫做A的“幸福点”，若C到4、B的距离之和为6,则C叫做A、8的“幸福中心”.-5-4-3-2-1012345匕$一？图1 图、

A BC<—P-3-2-1i12345678910> (1)如图1,点A表示的数为-1,则A的幸福点C所图3表示的数应该是；(2)如图2,M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4,点N所表示的数为-2,点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是(填一个即可)；(3)如图3,A、B、P为数轴上三点，点4所表示的数为-1,点8所表示的数为4,点P所表示的数为8,现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速7度向左运动，二秒时，电子蚂蚁是A和8的幸福中心吗？请说明理由.47【答案】(1)d或2；(2)。所表示的数可以是・2或・1或0或1或2或3或4(答案不唯一)；(3)当经过:4秒时，电子蚂蚁是A和8的幸福中心.【分析】(D根据幸福点的定义即可求解；(2)根据幸福中心的定义即可求解；(3)根据幸福中心的定义即可求解.【详解】解：(1)A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=4或-1+3=2；故答案为：-4或2；(2)V4-(-2)=6,N之间的所有数都是M,N的幸福中心.故C所表示的数可以是-2或-1或。或1或2或3或4(答案不唯一)；7(3)经过二秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，理由是：47 78-2x--4+(8-2x-+l)=6,4 47故当经过:秒时，电子蚂蚁是A和8的幸福中心.4【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间x速度，认真理解新定义.课后专项训练：(2022•全国•七年级专题练习)已知数轴上有三点A,B,C分别表示有理数-26,-10,10,动点尸从点A出发，以1个单位长度/s的速度向终点C移动，设点户移动时间为APB C（1）用含，的代数式表示点户分别到点A和点C的距离：PA=, । । । I I »-26 -10 0 10PC=.（2）当点?运动到点B时，点。从点A出发，以3个单位长度/s的速度向点C运动，点。到达点C后，再立即以同样的速度返回，当点尸运动到点C时，两点运动停止.当点尸，。运动停止时，求点尸，。间的距离.【答案】（1）t,36-/；（2）24【分析】（1）根据数轴上两点的距离即可求得答案；（2）先求得点户从8点到C点的时间，进而求得点Q运动20s的路程，根据题意确定。的位置，进而求得P,Q的距离【详解】（1）PA=t,PC=36-t故答案为：t,36-：（2）解：点尸从B点到C点的时间为20+l=20s点。运动20s的路程为3x20=60点尸，。距离为60-（26+10）=24答：点尸，。距离为24【点睛】本题考查了数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键.（2021.北京四中七年级期中）我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A,B,若数轴上存在一点M,使得点M到点A的距离等于点M到点8的距离，则称点M为点A与点8的中点.解答以下问题：（1）若点4表示的数为-5,点A与点B的中点表示的数为1,则点B表示的数为；（2）点A表示的数为-5,点C,。表示的数分别是-3,-1,点O为数轴原点，点B为线段CO上一点.①设点"表示的数为机，若点M为点A与点8的中点，则机的取值范围是；②当点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动，同时点。从点C出发以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动;若经过KdO）秒，点尸与点。的中点在线段02上，则r的取值范围是.【答案】（D7；（2）©-4<m<--:②，26或r=02【分析】（1）根据中点的定义进行解答即可；（2）①得出点8的范围，再得出，”的取值范围即可；②由题意得：点?表示的数为-5+r,点。表示的数为-3+3r,则点P与点。的中点表示的数为：-5+f+(T)，3,再分。点超过。点和没有超过。点两种情况讨论求解即可.2 2【详解】解：(1)设点8表示的数为-由题意得二手=1,解得x=7,.•.点B表示的数为7：故答案为：7；(2)①设点8表示的数为,则-34640,•・•点A表示的数为一5,点M可以为点A与点8的中点，-8<-5+Z><-5,・・-4Wm= W—2 2**•ni的取值范围为：-4</n<-1,故答案为：；2②由题意得：点户表示的数为-5+1,点。表示的数为-3+3,，.•.点P与点。的中点表示的数为：-5+r+(T)=J,2 2•••点P与点D的中点在线段OQ上，当点。没有运动超过。点时，-3+3「4—340,2解得T0，,此时f=0：当点。运动超过。点时，0<--3<-3+3r,2解得，26综上所述，当，26或f=0时，点P与点。的中点在线段。。上.故答案为：摩6或t=0.【点睛】本题考查了有理数与数轴，掌握数轴上点的表示方法，数轴上的动点问题，以及两点的中点表示方法是解题的关键.（2021•山东滨州•七年级期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是-2.参照图中所给的信息，完成填空：已知A,B都是数轴上的点.的点.（1）若点A表示数-3,将点4向右移动5个单位长度至点A,则点A表示的数是；9（2）若点B表示数2.5,将点8先向左移动7个单位长度，再向右移动］个单位长度至点C,则点C表示的数是;（3）在（2）的条件下点B以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点C以每秒2个单位长度沿数轴向右运动,当点8运动到-5.5所在的点处时，则B、C两点间距离为；【答案】（1）2；（2）0；（3）13.5【分析】（1）根据数轴上点向右平移加，向左平移减，可得点A表示的数；（2）根据数轴上点向右平移加，向左平移减，可得点C表示的数：（3）根据点B运动的距离和速度求出时间，然后求出此时点C表示的数，即可求出B、C两点间距离.【详解】解：（1）•••点A表示数-3,将点4向右移动5个单位长度至点A,-3+5=2,二点A表示的数是2；（2）若点8表示数2.5,将点8先向左移动7个单位长度，再向右移动，个单位长度至点C,9/.2.5-7+-=0,2二点C表示的数是0；•:点B表示数2.5,当点8运动到-5.5所在的点处时，二点B运动的时间r=2,5~95.5）=4,二点C运动的路程=2x4=8,，此时点C表示的数=0+8=8,：.B,C两点间距离=8-（-5.5）=13.5.【点睛】此题考查/数轴上点的表示和两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上点的表示方法和两点之间的距离的求法.（2021•广东佛山•七年级阶段练习）如图，有两条线段，AB=2（单位长度），8=1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是-12,点。在数轴上表示的数是15. $ 法今(1)点B在数轴上表示的数是,点C在数轴上表示的数是,线段BC的长=:(2)若线段AB以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段C。以2个单位长度秒的速度向左匀速运动.当点B与C重合时，点8与点C在数轴上表示的数是多少？(3)若线段4B以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动.设运动时间为r秒，当r为何值时，点B与点C之间的距离为1个单位长度？【答案】-10，14,24；(2)-2；(3)/=23或25【分析】(1)根据AS、CO的长度结合点A,。在数轴上表示的数，即可求出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式求出线段BC的长度：(2)设相遇时间为a,分别用a表示出相遇时B、C两点所表示的数,让其相等即可求出；(3)分线段48与线段CC在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合BC=1,得出关于t的的一元一次方程，解之即可得出结论；【详解】解：(1)：A8=2,点A在数轴上表示的数是-12,二点8在数轴上表示的数是-12+2=10：'：CD=\,点。在数轴上表示的数是15,...点C在数轴上表示的数是15-1=14./.BC=14-(-10)=24.故答案为：-10,14,24；(2)设运动时间为"秒时8、C相遇，此时点8在数轴上表示的数为-10+。，点C在数轴上表示的数为14-2a■:B、C重合.,.-10+a=14-2a解得a=8此时点B与点C在数轴上表示的数是-10+a=-10+8=-2；故答案为：-2(3)当运动时间为，秒时，点B在数轴上表示的数为-10”,点C在数轴上表示的数为14-2/.*.flC=|-10-/-(14-2/)|=|f-24|VBC=1.,."24|=1；.〃=23,t2=25综上所述：当BC=\时，U23或25；【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间的位置关系求出点B、C在数轴上表示的数.（2022•天津•南开翔宇学校七年级阶段练习）如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒万个单位，大圆的运动速度为每秒2万个单位.一一 .-5 -3^<AOy<l34567（K-XA （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是（结果保留）；（2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：-1,+2,-4,-2,+3,-8①第次滚动后，小圆离原点最远；②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？（结果保留万）【答案】（1）-An.（2）①6,②20万【分析】（1）该圆与数轴五合的点所表示的数，就是大圆的周长；（2）①分别计算出第几次滚动后，小I员牌原点的距离，比较作答；②根据1+2+4+3+2+8=20计算:总路程即可.【详解】解：（1）若大圆沿数轴向左滚动一周，则该圆与数轴币:介的点所表示的数是-2个2=7万.（2）①第1次滚动后，|一1|=1,第2次滚动后，|-1+2|=1,第3次滚动后，卜1+2-4|=3,第4次滚动后，|-1+2-4-2|=5,第5次滚动后，卜1+2—4—2+3|=2,第6次滚动后，|-1+2-4-2+3-8|=10,则第6次滚动后，小圆离原点最远.②1+2+4+3+2+8=20,当小圆结束运动时，小圆运动的路共有20万.【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，明确向右移动坐标加的关系，向左移动坐标减的关系，是解题的关键.（2021・河南・鹤壁市外国语中学七年级阶段练习）如图，在一条数轴上从左至右取A,B,C三点，使得A,5到原点。的距离相等，且A到8的距离为4个单位长度，C到3的距离为8个单位长度.（1）在数轴上点A表示的数是,点8表示的数是,点C表示的数是.（2）在数轴上，甲从点A出发以每秒3个单位长度的速度向右做匀速运动，同时乙从点8出发也向右做匀速运动.①若甲恰好在点C追上乙，求乙的运动速度.②若丙从点C出发以每秒1个单位长度的速度向左做匀速运动，甲、乙、丙同时开始运动，甲与丙相遇后1秒，乙与丙的距离为1个单位长度，求乙的运动速度.-j 4 „ A A【答案】（1）-2,2,10；（2）①2；②乙的运动速度A U o C3 5为:或:个单位长度/秒.【分析】（1）4,8到原点O的距离相等，且A到B的距离为4个单位长度，则A8=4,OA=OB=2,可以得到A表示的数为-2,8表示的数为2,再由C到8的距离为8个单位长度，得到C表示的数为10：（2）①先求出AC的距离，从而求出甲从A运动到C的时间，即可求出乙的速度；②分乙与丙未相遇时和乙与丙相遇后两种情况讨论求解即可.【详解】解：（1）VA,B到原点O的距离相等，且A到B的距离为4个单位长度，."8=4,：.OA=OB=2,二4表示的数为-2,B表示的数为2,；C到B的距离为8个单位长度，•••C表示的数为10,故答案为：—2,2,10； （2）①YA表示的数为-2,C表示的数为10,.\AC=12二甲从A运动到C所用的时间为：12+3=4（秒）,二乙的速度为：8+4=2（个单位长度/秒）.②甲与丙相遇的时间为：12+（3+1）=3（秒），因为甲与丙相遇后1秒，乙与丙的距离为1个单位长度，所以此时乙与丙的运动时间为：3+1=4（秒）.设乙的运动速度为x个单位长度/秒.当乙与丙未相遇时，由题意得4x+4=8-l,3解得x==;4当乙与丙相遇后，由题意得4x+4=8+l,解得x=.43 5综上，乙的运动速度为:或5个单位长度/秒.【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上的动点问题，数轴上两点的距离，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.7.（2022・山东济南•七年级期末）已知数轴上两点A、8对应的数分别为一1、5,点尸为数轴上一动点，其对应的数为X.（1）若点P到点A点8的距离相等，求点P对应的数是；（2）数轴上是否存在点尸，使点P到点A点B的距离之和为8?若存在，请求出x的值：若不存在，说明理由；（3）现在点A点8分别以2个单位长度每分和1个单位长度每分的速度同时向右运动，点P以6个单位长度每分的速度向。点向左运动，当遇到A时，点P以原来的速度向右运动，并不停得往返于A与B之间，求当4遇到B重合时，P所经过的总路程.AO pB」 1 1 1 1 1 1 1 ►［答案］（1）2；（2）存在x的值，当x=-2或4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5时，满足点P到点A、点8的距离之和为8；（3）点P所经过的总路程是36个单位长度【分析】（1）由点P到点A、点8的距离相等得点尸是线段AB的中点，而A、8对应的数分别为-1、5,根据数轴即可确定点P对应的数；（2）分两种情况讨论，①当点P在A左边时，②当点尸在8点右边时，分别求出x的值即可.（3）设经过x分钟点A与点8重合，根据题意得：2k6+x.【详解】解：(1)•••点P到点A、点8的距离相等，.•.点尸是线段48的中点.•.•点A、8对应的数分别为-1、5,.•.点P对应的数是2；故答案为:2；(2)①当点P在A左边时，-l-x+5-x=8,解得：x=-2；②点?在8点右边时，x-3+x-(-1)=6,解得：x=4,即存在x的值，当4-2或4时，满足点P到点4、点8的距离之和为8；(3)设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：2r=6+x,解得户6,则6ur=36,答：点P所经过的总路程是36个单位长度.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，比较复杂，读题是难点，所以解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.(2021•云南玉溪•七年级期末)如图，已知数轴上点。为原点，A、B两点所表示数分别为-2和8.(1)线段AB的长为；(2)动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒，①当0Vt<10时，PA=,PB=,点P表示的数为；②若点M是线段PA的中点，点N是线段PB的中点，试判断线段MN的长度是否与点P的运动时间t有关.若有关，请求出线段MN的长度与t的关系式；若无关，请说明理由，并求出线段MN的长度.A B ►【答案】(1)10；(2)①t,10-3-2+t；②MN的.2O 8长与点P的运动时间t无关，MN的长度为5.【分析】(1)用右边的数减去左边的数，化筒即可：(2)①利用路程=速度x时间计算PA,根据线段和的意义，计算PB；利用x-(-2)=t计算；②根据线段中点的意义，线段和的意义，化简计算即可.【详解】解：(1)AB=8-(-2)=10,故应填10；(2)①OVtVIO时,•.•速度为每秒1个单位，，t秒时运动路程为PA=t；VPA+PB=AB=10,，PB=10-t,设点P表示的数为x,则x+2=t,:.x=t-2,.,•点P表示的数为-2+t；故依次填t,10-t,-2+t；②MN的长与点P的运动时间t无关.当octwio时，PA=t,PB=10-t,又•点M、N分别是PA、PB的中点，.*.PM=-,PN=-(1O-Z)=5--,2 2 2/.MN=PM+PN=-+(5--)=52 2当t>10时，PA=t,PB=t-10,又•.•点M、N分别是PA、PB的中点，/.PM=-,PN=-(Z-10)=--5,/.MN=PM-PN=--(--5)=522综上所述，MN的长与点P的运动时间t无关，MN的长度为5.【点睛】本题考查了数轴上动点问题，熟练运用两点间距离公式，线段和的意义，线段中点的意义是解题的关键.(2021•重庆九龙坡•七年级期末)已知数轴上的点A,B,C,。所表示的数分别是b,c,J,且(a+14)2+(fe+12)2=-|c-6|-|J-8|.(1)求a,b,c,"的值；(2)点A,C沿数轴同时出发相向匀速运动，5秒后两点相遇，点A的速度为每秒4个单位长度，求点C的运动速度；A,C两点以(2)中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，。点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在f秒时有BO=2AC,求f的值；A,C两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点A运动到点C起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点C起始位置方向运动：当点C运动到点A起始位置时马上停止运动.当点C停止运动时，点A也停止运动.在此运动过程中，A,C两点相遇，求点A,C相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）.【答案】（I）一14,b=-\2,c=6,d=8；（2）点C的运动速度为每秒2个单位；（3）/=4或20：（4）TOC\o"1-5"\h\z22 _—, ，-10.3【分析】（1）根据平方数和绝对值的非负性计算即可：（2）设点C运动速度为X,由题意得：yX+yX4=/ft'=20,即可得解；（3）根据题意分别表示出AC,BD,在进行分类讨论计算即可；（4）根据点A,C相遇的时间不同进行分类讨论并计算即可；【详解】（1）；（a+14）2+S+12『=-|c-61Td-8|,.,•（a+14）2+（/?+12）2+|c-6|+|J-8|=0,a=-149b=—12,c=6,d=8；（2）设点C运动速度为x,由题意得：10 10, “cc—x+—x4=AC=20,3 3解得：x=2,・・・点C的运动速度为每秒2个单位；t秒时，点A数为一14+42,点B数为-12,点C数为6+力，点D数为8+小AC=\&+2t-（-14+4t）|=|20-2f|,切=18+力一（-12）|=20+t,BD=2AC,.••①20-2tN0时，20+2t=2（20-2f）,解得：r=4；②20-2t<0时，即t>10,20+t=2（2t-20）,解得：t=2O-,；.f=4或20.6-1-14） inC点运动到A点所需时间为一~L=10s,所以A,C相遇时间r410,由（2）得，==时，A,2 3C相遇点为一14+4x曰=-A到C再从C返回到A,用时6二（74）+6J-14）=75仁）；①第•次从点C出发时，若与C相遇，根据题意得8x^-5）=2t,，=弓<10,此时相遇数为6-2xy=-y；②第二次与C点相遇，得8x（f-7.5）+2t=6-（一14）,解得r=8<10,此时相遇点为6-8x2=-10：2 22•••A,C相遇时对应的数为：,-10.3 3【点睛】本题主要考查了数轴的动点问题，准确分析计算是解题的关键.（2022•四川・成都市青羊实验中学七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8,8是数轴上位于点A左侧一点，且A8=20,动点尸以A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为f（r>。）秒.B O A」 1 1 ►（1）写出数轴上点8表示的数0 8点尸表示的数（用含，的代数式表示）.（2）动点。从点8出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、。同时出发，问多少秒时产、。之间的距离恰好等于2?（3）若M为AP的中点，N为族的中点，在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长.【答案】（1）-12；8-5Z；（2）2.25秒或2.75秒：（3）MN长度不变，画图见解析，MN=10.【分析】（1）根据点B和点P的运动轨迹列式即可.（2）分两种情况：①点P、Q相遇之前：②点P、Q相遇之后，分别列式求解即可.（3）分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时；②当点P在点8的左侧时，分别列式求解即可.【详解】解：（1）数轴上点8表示的数为：8-20=-12,点户表示的数为：8-5/.故答案为：-12；8-5/.（2）设，秒后尸，。之间的距离恰好等于2,①点尸，。相遇前，山题意可得：3f+2+5f=20,解得r=2.25,②点P，。相遇之后，由题意可得：3r-2+5r=20,解得r=2.75.答:若点P,。同时出发，2.25秒或2.75秒时,P,。之间的距离恰好等于2.故答案为：2.25秒或2.75秒.（3）线段MN的长度不发生变化，都等于10,①当点P在A,B两点之间运动时，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"B NP MA 111,、I ・j・ ・I >MN=MP+NP=-AP+-BP=-（AP+BP）=-AB=-x20=10,2 2②当点P在点B的左侧时，pNBM 4 1 14 1 1 : 1 1 >MN=MP-NP=-AP——BPO 2 2=-（AP-BP）=-AB=1x20=10,2 2 2综上可得MN长度不变，且MN=10.【点睛】本题考查了数轴动点的问题，掌握数轴的性质是解题的关键.（2022•吉林长春♦七年级期末）定义：A,B,C为数轴上三点，当点C在线段AB上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是（AB）的美好点.例如：如图①，点A表示数-1,点B表示数2,点C表示数1,点D表示数0.点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是（A8）的美好点；又如，点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D就不是（A8）的美好点，但点D是（B,A）的美好点.ADCB 1 1 1 1 i 1 1 »如图②，M,N为数轴上两点，点M表示数-7,点N表示数2.TOC\o"1-5"\h\z-3 -2 -I 0 12 3M N―I一i_i !_!_， 11111a.（1）①求（M,N）的美好点表示的数为-8-7-6-5-4-3-2T0 1 2 3②求（MM）的美好点表示的数为.（2）数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动.设点P运动的时间为t秒，当点P,M和N中恰有一个点为其余两点的美好点时，求t的值.【答案】（1）①一1：②—4：（2）t的值1.5,2.25,3,6.75,9,13.5【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2,直观考察点E,F,G到点M,N的距离，只有点G符合条件.结合图2,根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化.（2）根据美好点的定义，P,M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值.【详解】解：(1)已知点M表示数-7,点N表示数2,由题意可设N到美好点的距离为x,则(M,N)的美好点为2x+x=2-(-7),3x=9,x=3...①(M,N)的美好点为-7+2x3=-1；②(N,M)的美好点为-7+3=4(2)根据美好点的定义，P,M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，第一情况：当P为［M,N］的美好点，点P在M,N之间，如图I,F17§ >当MP=2PN时，PN=3,点P对应的数为2-3=-1,因此t=1.5秒；图1 J7 • ・~• »第二种情况，当P为【N,M】的美好点，点P在M,N之间，如图2, "P2°N图2当2PM=PN时，NP=6,点P对应的数为2-6=-4,因此t=3秒：第三种情况，P为【N,M】的美好点，点P在M左侧，如图3,••・• >P3乜ON当PN=2MN时，NP=18,点P对应的数为2-18=-16,因此t=9秒；图3第四种情况，M为［P,N］的美好点，点P在M左侧，如图4,皿，M°N当MP=2MN时，NP=27,点P对应的数为2-27=-25,因此t=13.5秒；图4第五种情况，M为［N,P］的美好点，点P在M左侧，如图5,• • ••>Ps M ON当MN=2MP时，NP=13.5,点P对应的数为2-13.5=-11.5，因此t=6.75图)秒；第六种情况，M为［N,P］的美好点,点P在M,N左侧，如图6, • ♦ ♦WAMmP6ON当MN=2MP时，NP=4.5,因此t=2.25秒；图6第七种情况，N为［P,M］的美好点，点P在M左侧，P M°N当PN=2MN时，NP=18,因此t=9秒，图7第八种情况，^ ~N为［M,P］的美好点，点P在M右侧，当MN=2PN时，NP=4.5,因此t=2.25秒，综上所述，t的值为：1.5,2.25,3,6.75,9,13.5.【点睛】本题考查了实数与数轴、点是［M,N］的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.(2022•四川・攀枝花第二初级中学七年级期中)在数轴上有三点A,B,C分别表示数a,b,c,其中人是最小的正整数，且|a+2|与(c-7)2互为相反数.a=,b=,c=；(2)若将数轴折叠，使点4与点C重合，则点B与表示数的点重合：(3)点A,B,C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点8和点C分别以每秒2个单位长度的速度和4个单位长度的速度向右运动，若点A与点8的距离表示为AB,点A与点C的距离表示为AC,点8与点C的距离表示为BC,则r秒钟后，AB=,AC=,BC=；(用含，的式子表示)(4)请问：3BC-2AB的值是否随时间，的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出其值.【答案】(1)-2,1,7.(2)4.(3)3t+3,5t+9,2t+6.(4)不变；12.【分析】(1)利用|a+2|+(c-7)2=0,得a+2=0,c-7=0,解得a,c的值，由b是最小的正整数，可得b=1：(2)先求出对称点，即可得出结果：(3)先写出各点表示的数，再根据数轴上的点的距离的定义即可求解.(4)由3BC-2AB=3(2t+6)-2(3t+3)求解即可.【详解】(1)V|a+2|+(c-7)2=0,/.a+2=0,c-7=0,解得a=-2,c=7,•；b是最小的正整数，.,.b=l；故答案为：-2,1,7.(7+2)+2=4.5,对称点为7-46=2.5,2.5+(2.5-1)=4；故答案为：4.A点表示的数为-2-t,B点表示的数为l+2t,C点表示的数为7+4t,；.AB=(l+2t)-(-2-t)=3t+3,AC=(7+4t)-(-2-t)=5t+9,BC=(7+4t)-(l+2t)=2t+6；故答案为：3t+3,5t+9,2t+6.(4)不变.3BC-2AB=3(2t+6)-2(3t+3)=12.【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离.（2021•辽宁鞍山•七年级期中）如图，已知数轴上点A表示的数为4,点8表示的数为1,C是数轴上一点，且AC=8. £ •-* •一~>（1）直接写出数轴上点C表示的数；C 05A（2）动点尸从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为，（/>0）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P,R两点会相遇.（3）动点尸从8出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为«，>0）秒，动点R从点C出发，以每秒2个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点。从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若P,Q,R三点同时出发，当点尸遇上点R后立即返回向点。运动，遇到点。后则停止运动.求点P从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？【答案】（1）-4：（2）当t=l时，P,R两点会相遇；（3）行驶的路程是24.75个单位长度.【分析】（1）根据AC的距离和点A表示的数即可求出结论；（2）先求出BC的长度，然后根据题意列出方程即可求出结论：（3）先求出AB的长，然后求出点P遇上点R的时间，并求出此时点P与点Q的距离，从而求出P、Q的相遇时间，然后即可求出结论.【详解】解：（1）二•数轴上点A表示的数为4，4c=8,点C在点A左侧，点C表示的数为4—8=-4；（2）•••点8表示的数为1,点C表示的数为-4r.BC=l-（-4）=5由题意可得3t+2t=5解得：t=l答：当t=l时，P,R两点会相遇：（3）由题意可得：AB=4-1=3点P遇上点/?的时间为：5+（3-2）=5（秒）此时点P与点Q的距离为3+（3-1）x5=13，P、Q的相遇时间为13+（3+1）=3.25（秒）.•.点P从开始运动到停止运动,行驶的路程是3x（5+3.25）=24.75个单位长度答：点尸从开始运动到停止运动，行驶的路程是24.75个单位长度.【点睛】此题考查的是数轴与动点问题，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键.(2021•福建•福州三中七年级期中)“收获是努力得来的”，在数轴上，若点C到点A的距离刚好是3,则点C叫做点A的“收获点”，若点C到A、B两点的距离之和为6,则点C叫做A、8的“收获中心”.(1)如图1,点A表示的数为-1,则A的收获点C所表示的数应该是；(2)如图2,M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4,点N所表示的数为-2,点C就是A/、N的收获中心，则C所表示的数可以是(填一个即可)；(3)如图3,A、8、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1,点B所表示的数为4,点P所表示的数为8,现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过，秒时，电子蚂蚁是A和B的收获中心，求r的值.A!III । ।-5-4-3-2-1012345x图1N M一',【答案】(D-4或2：(2)-2或-1或0或1或2或3-3-2-1012345x图2A B—Pillicit -3-2-1JI2345678910x图3或4(答案不唯一)；(3)1.75秒或4.75秒【分析】(1)根据收获点的定义即可求解；(2)根据收获中心的定义即可求解；(3)分两种情况列式：①P在B的右边：②P在A的左边讨论：可以得出结论.【详解】解：(1)A的收获点C所表示的数应该是-1-3=4或-1+3=2；(2)V4-(-2)=6,•••M,N之间的所有数都是M,N的收获中心.故C所表示的数可以是-2或-1或。或1或2或3或4(答案不唯一)；(3)设经过t秒时，电子蚂蚁是A和B的收获中心，依题意有①8-2t-4+(8-2t+l)=6,解得t=1.75；②4-(8-2t)+[-l-(8-2t)]=6,解得2.75.故当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂蚁是A和B的收获中心.【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间x速度，认真理解新定义.（2022•全国•七年级课时练习）如图，已知数轴上点A表示的数为8,B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=22,动点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,设运动时间为＞0）秒.（1）数轴上点B表示的数是；点尸表示的数是（用含r的代数式表示）（2）动点。从点8出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点尸、Q同时出发，问多少秒时P、。之间的距离恰好等于2?（3）若M为的的中点，N为族的中点，在点尸运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化,请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长. 2 i 【答案】（1）-14.8-5Z：（2）2.5秒或3秒；（3）线段MN的长度不0 8发生变化，其值为11，图形见解析.【分析】（D根据点B和点P的运动轨迹列式即可.（2）分两种情况：①点尸、。相遇之前；②点P、Q相遇之后，分别列式求解即可.（3）分两种情况：①当点尸在点AB两点之间运动时；②当点尸运动到点B的左侧时，分别列式求解即可.【详解】（1）-14,8-5/：（2）分两种情况：①点P、。相遇之前，由题意得3f+2+5r=22,解得f=2.5.②点P、。相遇之后，由题意得3f-2+5r=22,解得f=3.答：若点P、。同时出发，2.5或3秒时P、。之间的距离恰好等于2；（3）线段MN的长度不发生变化，其值为11,理由如F：①当点P在点AB两点之间运动时：巴 fQAA/d a.MN=MP+NP=-AP+-BP=-（AP+£?P）=-AB=-x22=ll；■O$ 2 2 2 2 2②当点P运动到点B的左侧时，。二耳丫（? 1 .MN=MP-NP=-AP--BP=-（AP-BP）=-AB=\\；0 g 2 2 2 2.♦.线段MN的长度不发生变化，其值为11.【点睛】本题考查了数轴动点的问题，掌握数轴的性质是解题的关键.(2022•浙江杭州♦七年级期末)如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20,B点对应的数为100./ B 1 1 A(1)请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；-20 100(2)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇,你知道D点对应的数是多少吗？(3)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上相距10单位时电子蚂蚁Q刚好在C点，你知道C点对应的数是多少吗？【答案】(1)40；(2)-260；(3)24或32.【分析】(D与A、B两点距离相等的点是它们的中点，即(-20+100)-2结果是M；(2)此题是追及问题，可先求出P追上Q所需的时间，然后可求出Q所走的路程，根据左减右加的原则，可求出点D所对应的数：(3)此题是相遇问题，先求出相距1()单位时所需的时间，相距10单位，分相遇前和相遇后计算，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出-20向右运动到C地点所对应的数.【详解】(D根据题意可知，点M为A、B的中点，/.(-20+100)-=-2=40,答：点M对应的数为40,故答案为：40；(2)点P追到Q点的时间为1204-(6-4)=60,即此时Q点经过的路程为4x60=240,即-20-240=260,答：点D时应的数是-260,故答案为：-260；(3)分相遇前和相遇后两种情况讨论：他们相遇前相距10单位时，(120-10)+(6+4)=11,及相同时间Q点运动路程为：11x4=44,即-20+44=24；他们相遇后相距10单位时，(120+10)+(6+4)=13,及相同时间Q点运动路程为：13x4=52,即-20+52=32,答：点C对应的数是24或32,故答案为：24或32.【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，相遇和追及问题，有理数的运算，掌握数轴上的动点问题是解题的关键.(2022•浙江•杭州采荷实验学校七年级