2022届福建省龙岩市高三第三次教学质量检测数学试题（解析版）

2022届福建省龙岩市第一中学(龙岩市)高三第三次教学质

量检测数学试题一、单选题1.集合A=W|2、-4>0},B={x|lgx-l<0},则4巡=( )A.(2,e) B.(e,10) C.(2,10) D.(0,10)【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的性质求出集合A、B,再根据交集的定义计算可得;【详解】解：由2，-4>0,即2,>4=2?,所以》>2,所以4=卜|2*-4>0}={中〉2}；由lgx-l<0,即lgx<l,解得0<x<10,所以B={x|lgx-l<0}={x|0<x<10}；所以ADB={x|2<x<10}故选：C2.复数z满足(l-i)z=-2+2i3,则z=( )A.2 B.-2 C.2i D.-2i【答案】D【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则化简求值即可得出结果.【详解】解：••・(1一山=一2+印，..-2+2i’-2-2i(-2-2i)(l+i)TOC\o"1-5"\h\zZ= = = ——711-i 1-i (l-i)(l+i),故选：D.3.已知日-石,1),b==，孚)，则£与5的夹角为()A. B.工 C.生 D.26 3 3 6【答案】A【分析】由向量夹角公式计算即可.【详解】= B=当，,:(a@w[0,句,，二与5的夹角为O故选：A4.已知抛物线C：丫2=叙的焦点为凡准线为/,4为。上的点，过A作/的垂线，垂足为B,若忸尸|=2&,则44尸=( )A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】D【分析】先由怛F|=2&求得NFBM=45，再结合抛物线定义即可求出答案.【详解】如图，设/与x轴交于点M,则由抛物线可知|FM|=2,又怛〃=2&,故NFBM=45°,"34=45,，又由抛物线定义|AB|=|AF|,故N8尸A=45",则NBA/7=90」.5.进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500km,设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为60km/h~110km/h.已知车队每小时运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度vkm/h的立方成正比，比例系数为从固定部分为。元.若6=白，a=104,为了使全程运输成本最低，车队速度v应为( )A.80km/h B.90km/h C.100km/h D.110km/h【答案】C【分析】设运输成本为y元，依题意可得•迎，利用导数求出函数的\ 200)v单调性，即可得到函数的极小值点，从而得解;【详解】解：设运输成本为y元，依题意可得丫=（104+上/].陋=[/+”您£,V200Jv2v则，, 5000000_5v3-5000000_5（v3-106）_5（v-102）（v2+102v+104）V V V V所以当v=l（）2时V=0,当604V<100时y'<0,当100<v4110时y'>0,即函数在（60,100）上单调递减，在（100,110）上单调递增，所以当v=l（）0时取得极小值即最小值，所以v=100km/h时全程运输成本最低；故选：C.函数/（x）=/Tnr+9的两个不同的零点均大于1的一个充分不必要条件是（）A.we（2,6）B.me（6,8） C./ne（6,10） D./ne（6,+oo）【答案】B【分析】根据题意列出函数的两个不同的零点均大于1时的不等式组，求得进而结合选项判断即可.【详解】解：因为函数/（x）=Wthx+9的两个不同的零点均大于1,/⑴>。-m所以,一-->1,解得6vmvl0.A>0所以选项A是函数/（x）=x2-侬+9的两个不同的零点均大于1的既不充分也不必要条件；选项B是函数/（同=丁-研+9的两个不同的零点均大于1的充分不必要条件；选项C是函数/（x）=x2-侬+9的两个不同的零点均大于1的充要条件：选项D是函数/5）=/-m¥+9的两个不同的零点均大于1的必要不充分条件.故选：B..已知函数/（x）=Jisinscoss+cos?的一，。>0,xeR）在[0,句内有且仅有三条对称轴，则。的取值范围是（）A-图 B.居） 。•盟 口.借哥【答案】B【分析】先利用正余弦倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用题中所给的自变量的范围求得整体角的范围，根据正弦函数的性质以及题中条件，得到

2”呜唔与，进而求得结果.TOC\o"1-5"\h\z【详解】/(x)=V3sin(vxcoscox+cos.(-2x)8+卜》(-2x)3=(28-23)xio=248x'°,故4=248.cox——=sin2cox+—cos.(-2x)8+卜》(-2x)3=(28-23)xio=248x'°,故4=248.当xw［0,句时，2s+三£［三,2切r+勺,6 6 6函数〃x)在［0,句内有且仅有三条对称轴，则有2wr+Je［孚，4),6 22解得69 ,63故选：B.8.已知时，有念="2x+4f2力”+…，根据以上信息，若对任意国＜；都有际而可=/+U\X+a2x2d HanX，'+…，则4o=(都有际而可A.245 B.246 C.247 D.248【答案】D1 i 7【分析】根据题意将占展开为1+(炉)+(丁)~+…+15)〃+…，再根据多项式乘法求2(l_xsj(i+2x)的展开式的"项系数即可•【详解】时，有仓=l+(-2x)'+(-2xy+...+(_2x)"+…，时，有 =1+(丁)'+15)2+—+卜5)+…，则(1-x5)(1+2x)=x2l+(x5)'+(炉)~ |_(亡)"+…][l+(-2x)'+(-2x)-+…+(-2x)"+…]则a,°为(l-/)(l+2x)展开式”项的系数，根据多项式乘法原理可知,(1-根据多项式乘法原理可知,(1-巧(”2切展开式中”项为:二、多选题9.已知等比数列｛q,｝的前〃项和为S.,公比为q,则下列命题正确的是（）A.若q=1,q=2,则&=63B.若4>1,则数列｛4｝是单调递增数列C.若q>。，4>0,b.=lga”,则数列｛〃｝是公差为Igq的等差数列D.若q>0,4>0,且（4+%）2=«5%+12，则《+4的最小值为4【答案】AC【分析】A：利用等比数列前“项和公式即可计算；B：根据函数单调性即可判断；C：根据等差数列定义即可判断；D：利用基本不等式即可判断.1一【详解】对于A,臬=二^-=26-1=63,故A正确；1-2对于B, 故血｝的单调性由q和4共同决定，g>l无法判断数列为递增数列，如q<0,此时数列为递减数列，故B错误：对于C,；6向一2=怆。“+1Tga“=怆乎=Igg为常数，，数列｛包｝是公差为lgg的等差数列，故C正确：对于D,若4>0,^>0,则。〃:>0,a5a6=ayai0,*.*（q+4o）=。5。6+12,•••（4+qo）2=44o+12, +12,即（a,+40）2"（"："'）+12,即（q+。］（））~<16,即0<q+%„）,4,即当4=即>时，q+4o的最大值为4,故D错误.故选：AC.10.已知直线y=x+6与圆^+丁=16交于A、B两点，且便+词=伊-喝（其中O为坐标原点），则实数6的值可以是（）A.-4 B.-2>/3 C.2y/3 D.4【答案】AD【分析】根据|£+耳=|£叫0力5可得），而，分析圆心。到直线y=x+b的距离d=2&.【详解】圆洋+]=16的圆心0（0,0）泮径r=4♦.•|o4+oq=|oW_则oX,0月.•.0到直线.•.0到直线y=x+b的距离则。=±4故选：AD.11.正多面体也称帕拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成（各面都是全等的正多边形，且每个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成的二面角都相等）.某中学在劳动技术课上，要求学生将一个近似正八面体的玉石切制成如图所示的棱长为2的正八面体P-ABCDQ（其中E、F、”分别为布，PB,8c的中点）,则（）A.AP与CQ为异面直线B.平面附8J_平面PCCC.经过反尸、，的平面截此正八面体所得的截面为正六边形D.此正八面体外接球的表面积为8乃【答案】CD【分析】对于选项A,根据图像的共面可以得出该选项错误；对于选项B,求出两个平面的二面角证明二面角不是90度即可得出结论；对于选项C,根据中位线定理证明相等关系，即可证明该截面为正六边形:对于选项D,根据外接球的直径，代入公式S=4;rK即可.【详解】对于A选项，由多面体的对称性知，A,B,C,。四点共面，又因为PA=AQ=QC=CP,结合PQ=AC,所以四边形以C。是正方形,

所以选项A错误；对于B选项，设AB中点为N,CD中点为M,则ZNPM为平面PAB和平面PCD的二面角，NP=物-『=5MP=4*-I2=5NM=2所以NP2+Mpi#NM?,所以平面办8和平面尸CO的二面角不为直角，所以选项B错误；对于选项C,设QC,CD,OA的中点分别为J,K,L,顺次连接E,F,H,J,K,L,E,根据中位线定理能够得到E尸=FH=M/=JK=KL=LE,所以经过E、F、H的平面截此正八面体所得的截面为正六边形，故选项C正确；对于选项D,根据题意，外接球的直径为万万=20，所以外接球的半径为五,表面积S=4;tR2=81,故该选项正确.故选：CD.12.已知函数〃x)的定义域为R,满足〃x+2)=；/(x),当x«0,2］时，f(x)=-.N X对Vxe［nxo),对Vxe［nxo),下列选项正确的是(f(x)W2e,则，"的最小值为-1C.f(x)极小值<2e,则m>—3/(x)这2e,则小的值不存在D.m=0时，函数y=/(x)所有极小值之和大于2e【答案】BC【分析】根据导函数可得函数〃x)在(0』上递减，在。,2］上递增，则〃力在(0,2］内的极小值(最小值)为〃l)=e,且无最大值，再〃x+2)=；/(x)可知，f(x)在伏火+2］内的极小值为了(k+l)=2=e(上为偶数)，可利用等比数列求和分析极小值的和.【详解】当x«0,2］时，f(x)=F则/(力=空贮令/'(力>0贝函数/（X）在（0,1］上递减，在（L2］上递增，则“X）在（0,2］内的极小值（最小值）为且当x—>0时，/（X）—>+«>•'.A不正确，B正确"（x+2）="（x），则函数〃x）在依次+1］上递减，在小+1,%+2］上递增《为偶数）“外在化心2］内的极小值为//+1）=2一，（左为偶数），如下表:极值点-3-1135极小值4e2ee1-e21—e4若广（X）极小值 则加2-3,C正确若m=0,则函数y=/（x）在［0,+<动内的极小值为：e,；e,；e,这些极小值依次构成等比数列{9},其前〃项和=2（1-3当〃T”时，S〃=2（1-晟］e<2e即e+—e+—e+…<2e,D不正确2 4故选：BC.三、填空题.已知a为锐角，cos^y-a^=1,则cosa=.【答案】逑3【分析】根据诱导公式cos［］-a）=sina,求出sina=；,再利用同角的三角函数基本关系式求出cosa即可.【详解】因为cos（1-a卜sina,所以sina=L3所以cosa=±Jl-sin2a=±汉^,3又因为a为锐角,

所以cosa=2丁3故答案为：—3.某产品有5件正品和3件次品混在了一起(产品外观上看不出有任何区别)，现从这8件产品中随机抽取3件,则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为【答案】粤2o【分析】设取出的【分析】设取出的3件产品中次品的件数为X,3件产品中恰好有一件次品的概率为尸(X=l)计算即可.【详解】设取出的【详解】设取出的3件产品中次品的件数为X,3件产品中恰好有一件次品的概率为r'C215p（x=i）=^ii=22、C；28故答案为：15.己知变量15.己知变量y关于x的回归方程为丫=*如若对y=*/5两边取自然对数，可以发现有一组数据如下表所示，x=5时，预测y值为.【分析】对丫=6"*«5两边取对数，得lny=bx-0.5令z=Iny贝!jz=法一0.5,利用对称中心点在函数图象上即得分=1,6，进而确定解析式,求出预测值.【详解】对丫=6〃15两边取对数，得lny=fex-0.5令z=Iny则z=fer-0.5X1234ye/e4e6z1346—1+2+3+4*—1+3+4+6.x— —2.5,z— —3.54 4代入彳=应一0.5得3.5=。2.5—0.5故，=1.6故z=1.6x-0.5,y=e'6x-0-5当x=5时,v=piMs-os_eT故答案为：eT.若xlnx-2/nx(x-l)+ei-xN0对VxNl恒成立，则实数"?的取值范围是【答案】(y，【分析】依题意可得Inx-2Mx-l)+ 120对\/彳21恒成立，令/(x)=lnx-2w(x-l)+--1,xw[l,用)，利用导数说明函数的单调性与最值，即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为xlnx-2/nr(x-l)+ei-xNO对VxNl恒成立，即lnx-2w(x-l)+ 120对也21恒成立，X-1记〃力=Inx-2m(彳-1)+ 1*xg[1,+a?),所以f'(x)=g-2m+亡笄D令g(x)=：-2w+=^,令〃(》)=尸一》，xe[1,+«>),则〃(力=尸-1,所以当x>l时〃(力>0,所以％(x)在[1,内)上单调递增,所以〃⑴=0,即小力，xe[l,-w),则g，(x)=e"'(x2：x+2)7z22：+2)7=fx+1>0所以广(x)在[1,-K»)上是增函数，所以/'(x)>r(l)=l-2/n当1一2620,即mW；时，“X)在口,内)上是增函数，所以〃x)2"l)=0符合题意;当 时/'⑴<0,且当Xf+00时r(x)->+oo,所以*e(l,+8),使得r(%)=0,即当x«l,与)时r(x)<0,〃x)单调递减，此时〃x)</(l)=O,所以机>:不符合题意，综上可得mW；,即wie(-a),；故答案为：卜°0，；四、解答题.△ABC的内角A,8、C的对边分别为a,b,c,^cos2C-cos2A=sin2B—sinBsinC.(1)求A的大小；(2)若。=3,,请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，求c的值.(注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分)①sinB=2sinC；②b=4sinA；®S^ABCTT【答案】(1)A=W(2)详细见解析.【分析】(1)由已知得l-siYC-Q-sin：A)=sin)-sin8sinC,利用正弦定理，再利用余弦定理计算即可得出结果；(2)若选择条件①：由sinB=2sinC得b=2c,利用余弦定理计算即可，若选择条件②：由(1)可得6=26,再结合余弦定理计算可得结果.若选择条件③：由5》此=2叵可求得尻:9,利用余弦定理计算可得6+c=6,进而解得c=b=3.【详解】⑴由已知得1-sin?C-(l-sin2A)=sin28-sinBsinC,故由正弦定理得人=bc,由余弦定理得COSA=b+:一"=:，2bc2TT因为OvAv4,所以A=§.(2)选择条件①：由sin8=2sinC得/?=2c,则a2=(2c)2+c2-2-2ccg=9,解得c=6,选择条件②：由。=4sinA可得b=4sin(=2G,由(1)知从+c?=力。.得/-2Gc+3=o.解得c=G.选择条件③：由55此=也可得Sabc=」bcsinA=—=所以从=9,aABC2 4 4又从+/一/=力。所以S+c)~-9=3bc9即S+c)?=36,0+c=6,因此b,c是方程/-6x+9=0的两根解得c=b=3.

.已知等差数列｛叫的前〃项和为S“，%+%=18,S6=48.〃eZ时，4T：>a“.(1)求｛为｝的通项公式；(2)设〃eZ时，4T：>a“.【答案】(1)/=2〃+1：(2)证明见解析.【分析】(1)根据题中条件列出关于％和d的方程组，解出q和d,根据等差数列通项公式即可求明；(2)分母有理化女，裂项相消即可求4,当〃23,“eZ时，证明27；-飙；>0即可.2a+6J=18 fa=3TOC\o"1-5"\h\z【详解】(1)由题可知，JI一人。，解得]C，・・・。“=2〃+1；6^+15a=48 [a=2_ 2 _ 2 0〃+3-j2〃-l⑵"+ >2"+3+以-1 27；=![(逐_1)+(b_6)+a_6)+...+('2〃+1_5/2〃_3)+(。〃+3_5/2〃_1)]Tn=-[V2n+l+j2〃+3-1-6],,j〃23,〃wZ,/.2,Tn—yjci„=J2n+3—1—>/322- >0,>an..如图，已知四棱锥S-ABCC,底面四边形ABC。为平行四边形，ZBCD=45°,BC=2,=&.若点G在棱A。上，满足BGJ_A£>,点E在棱SB上，满足CELS8,侧面SBCJ_底面ABCD.⑴求证：CEJ_平面SBG；⑵若SCL底面ABCO且CE=CO,求二面角S-GB-C的余弦值.【答案】(1)证明见解析

⑵正2【分析】(1)由G8_L4。，可得G8J_5C,由侧面SBC_L底面ABCD,由G8_L面S8C,可证得CELG8,进而证得结果.(2)以8为原点，BC,8G所在直线为轴建立如空间直角坐标系，设S(2,0,a),BE=JtBS(O<&<1),由丽・。=0,CE=C£>=四,通过坐标运算求得,求得平面SBG的一个法向量为方，及平面ABCC的法向量语，利用数量积公式计算即可得出结果.【详解】(1)证明：.GDHBC,GBLAD,.-.GBLBC.侧面S8CJ■底面ABCD侧面SBCI底面ABC£>=8C,GBu底面ABCD,；.GBL面SBC,；CEu面SBC,.-.CE1GB.-,-CE1SB,.SBcGB=B,CE_L平面SBG.(2)依题意，以8为原点，BC,BG所在直线为X,)，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则G(0,l,0),C(2,0,0),D(l,l,0),5(2,0,a).设丽=kBS(0 则E(2k,0,ak)：.BE=(2k,0,ak),CE=(2k-2.Q.ak),由丽•京=0,得2后(22-2)+021=0,由。£：=«)=&,得4伏-1)2+42公=2可解得：上=；,。=2设平面SBG的一个法向量为力=(x,y,z),而=(0,1,0),南'=(2,0,2),取x=L,贝1jy=0取x=L,贝1jy=0,z=-l,/.n=(l,0,-l)由［瓦丽=0,可得：［2x+2z=0又CS_L平面A8CO,,而=(0,0,2)是平面A8CO的法向量，记平面SBG与平面GBC所成角为，,成角为，,所以二面角S-G8-C的余弦值为它.

220.《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛、竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲乙两位同学组成一组,且甲、乙同学答对每道题的概率分别为匕，P2.2 1（1）若6=§，6=5,则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组''的概率；4（2）当6+6=三，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中获得“优秀小组”的次数为6次，请问至少要进行多少轮竞赛.4【答案】（Dg⑵11【分析】（1）根据获“优秀小组”的标准，分情况讨论甲、乙答对问题的情况，最后求出概率;（2）根据（1）的方法列出概率表达式，然后从函数的角度利用换元法求其最值得出结论即可.【详解】（1）记他们获得“优秀小组”的事件为事件A,则事件A包含三种情况:①甲答对两题，乙答对一题；②甲答对一题，乙答对两题；③甲、乙都答对两题.=—+—+—（2）由（1）知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为:p=¥C$・（i—6）+c；.6.（i—6）£+¥/2=同2爪1-4）+2（1-6）2+悯=桃12（4+£）-3秋］=-3（初牝

4又・.・6+鸟=§pxp2<当且仅当4=6时，等号成立,4vO</]<1,0<7^<1,6+乙=一143,9贝lJP=_3/+§/34 4 16开口向下，对称轴：t=-.•.当/=§时，Pnm=—设要进行〃轮竞赛，贝IJ杯〃26解得：“210.125，至少要进行I1轮竞赛.21.已知函数/(x)=(or+l)e"(aeR).⑴解关于x的不等式〃2x+l)—y2(力>0：(2)当。<0时，求函数y=/(x)的最大值的取值范围.【答案】(【答案】(1)。工0时，不等式无解；a>0时，不等式的解集为-J，【分析】(1)由〃2x+l)—甘2(x)>。，化简可得/炉-0<0,讨论a即可得出结果;(2)求得导函数，利用导数的正负得出函数的单调性及/(幻„^=/(-1-：1 1e,令-2=x,则x>0,记g(x)=!上(x>0),通过求导得出g(x)的单调性，进而求得结a ex果.【详解】(1)由〃标+1)-42(》)>0得[a(2x+l)+l]e2M-e(ar+l)2e2，>0,化简得A2/-〃<0①时，不等式无解.②a>0时，②a>0时，f<1,即

a<X<^综上，时，不等式无解；">0综上，时，不等式无解；">0时，不等式的解集为(2)f\x)=(ax+a+l)ex,由f'(x)>0得ar+a+l>0,TOC\o"1-5"\h\z*.•ci<0,/.x< 1,a同理由f\x)<0得x> 1,a函数f(x)在单调递增，在卜!T，r)单调递减，/(X)max=/(T_))=-ae1a令一一=X,则x>0,记g(x)=JJ(x>0)a ex屋(制=」.(t1),由g，*)>o,得工>1,由g'(x)<0,得Ovxvl,e厂g(x)在(0,1)上是减函数,在(1