材料加工过程的数值模拟之温度场数值模拟

材料加工过程的数值模拟第二章：温度场数值模拟魏艳红教学目的掌握基本的传热知识了解热加工过程模拟的研究现状和发展趋势了解传热问题的数值计算方法掌握实际热加工过程温度场数值模拟的基本步骤先修课程传热学高等数学线性代数数值分析热加工基本理论材料基础知识参考书目铸件凝固过程数值模拟，陈海清等，重庆大学出版社，1991（TG21-C4-2）焊接热过程数值分析，武传松，哈工大出版社，1990（TG402-N74）计算机在铸造中的应用，程军，机械工业出版社，1993（TG248-C73）计算传热学，郭宽良，中国科学技术大学出版社，1988（TK124-43-G91）焊接热效应，[德]D.拉达伊，机械工业出版社，19972-1热加工过程模拟的研究现状

热加工过程模拟的意义材料热加工铸造：液态流动充型、凝固结晶等；锻压：固态流动变形、相变、再结晶等；焊接：熔池金属熔化、凝固结晶；热影响区金属经历不同的热处理过程；热处理：相变、再结晶等；特点：复杂的物理、化学、冶金变化热加工过程目的获得一定的形状、尺寸、成分和组织成为零件、毛坯、结构2-1热加工过程模拟的研究现状

热加工过程模拟的意义热加工过程的结果成型和改性：使材料的成分、组织、性能最后处于最佳状态热加工工艺设计根据所要求的组织和性能，制定合理的热加工工艺，指导材料的热加工过程热加工工艺设计存在的问题复杂的高温、动态、瞬时过程：难以直接观察，间接测试也十分困难建立在“经验”、“技艺”基础上2-1热加工过程模拟的研究现状

热加工过程模拟的意义解决方法热加工工艺模拟技术：在材料热加工理论指导下，通过数值模拟和物理模拟，在实验室动态仿真材料的热加工过程，预测实际工艺条件下的材料的最后组织、性能和质量，进而实现热加工工艺的优化设计热加工过程模拟的意义认识过程或工艺的本质，预测并优化过程和工艺的结果（组织和性能）与制造过程结合，实现快速设计和制造2-1热加工过程模拟的研究现状

热加工过程模拟的发展历程60年代（起源于铸造）丹麦的Forsund首次采用有限差分计算了铸件凝固过程的传热。美国随后进行了大型铸钢件温度场的数值模拟70年代（扩展）更多的国家加入扩展到锻压、焊接和热处理80年代以后（迅速发展）1981年开始，每两年举办一次铸造和焊接过程的数值模拟国际会议1992年开始，每两年举办一次焊接过程数值模拟国际大会目前（成为研究热点）国家攀登计划973基础研究计划2-1热加工过程模拟的研究现状

热加工过程模拟的发展趋势宏观中观微观宏观：形状、尺寸、轮廓中观：组织和性能微观：相变、结晶、再结晶、偏析、扩散、气体析出单一、分散耦合集成流场温度场温度场应力/应变场温度场组织场应力/应变场组织场2-1热加工过程模拟的研究现状

热加工过程模拟的发展趋势重视提高数值模拟的精度和速度重视精确的基础数据获得与积累与生产技术其他技术环节集成，成为先进制造技术的重要组成与产品设计系统集成与零件加工制造系统集成2-1热热加工工过程程模拟拟的研研究现现状部分商商业软软件铸造PROCAST,SIMULOR锻压DEFORM,AUTOFORGE,SUPERFORGE通用MARC,ABAQUS,ADINA,ANSYS2-2温度度场及及传热热的基基本概概念温度场场定义义在x、y、z直角角坐标标系中中，连连续介介质各各个地地点在在同一一时刻刻的温温度分分布，，叫做做温度度场。。T=f(x,y,z,t)稳定温温度场场T=f(x,y,z)不稳定定温度度场T=f(x,y,z,t)等温面面等温线线热量传传递的的三种种基本本形式式/热热传导导定义：：物体体各个个部分分之间间不发发生相相对位位移时时，依依靠分分子、、原子子及自自由电电子等等微观观粒子子的热热运动动而产产生的的热量量传递递。表达式式：傅立叶叶定律律：矢量表表示：：热量传传递的的三种种基本本形式式/热热对流流定义运动的的流体体质点点发生生相对对位移移而引引起的的热转转移现现象遵循的的定律律牛顿定定律公式：：热量传传递的的三种种基本本形式式/热热辐射射定义物质受受热后后，内内部原原子震震动而而出现现的一一种电电磁波波能量量传递递。遵循定定律斯蒂芬芬-波波尔兹兹曼定定律公式：：T：热热力学学温度度（k）C：辐辐射系系数，，C=C0,C0=5.67W/m2.K4两物体体之间间热辐辐射交交换：：QR=C0(T14-T24)导热的的数学学描述述建立基基础：：傅立立叶定定律和和能量量守恒恒定律律在d时间内内，沿沿X方方向导导入微微元体体的热热量：：Qx=qx·dA·d=qx·dy··dz··d在d时间内内，沿沿X方方向导导出微微元体体的热热量：：Qx+dX=qx+dX·dA·d=qx+dX·dy··dz··d在d时间内内，沿沿X方方向在在微元元体内内积蓄蓄的热热量：：dQx=Qx-Qx+dX=(qx-qx+dX)dy··dz··d=–dqx·dy··dz··d同理：：dQy=–dqy·dx··dz··ddQz=–dqz·dx··dy··d导热的的数学学描述述微元体体中总总的积积蓄热热量：：dQ=dQx+dQy+dQz=–(dqx·dy··dz··d+dqy·dx··dz··d+dqz·dx··dy··d)另：导热的的数学学描述述导热的的数学学描述述一维不不稳定定导热热：二维不不稳定定导热热：三维稳稳定导导热：：一般表表达式式：导热的的数学学描述述初初始条条件和和边界界条件件初始条条件：：物体体开始始导热热瞬时时的温温度分分布，，T=f(x,y,z)（（=0）边界条条件：：物体体表面面与周周围介介质交交换的的情况况第一类类边界界条件件：已已知物物体表表面温温度Tw随时间间变化化关系系。Tw=f()第二类类边界界条件件：已已知物物体表表面比比热流流量qw随时间间变化化关系系。qw=f()第三类类边界界条件件：已已知物物体周周围介介质温温度Tf\物体表表面温温度（（Tw）以及及物体体表面面与周周围介介质间间的放放热系系数。qw=（Tw-Tf\）2-3传热热问题题的数数值计计算方方法分析解解法定义：：以数数学分分析为为基础础，求求解导导热微微分方方程的的定解解问题题。特点：：求得得的结结果为为精确确解不足：：只能能求解解比较较简单单的导导热问问题，，而对对于几几何形形状复复杂、、变物物性及及复杂杂的边边界条条件的的导热热问题题，难难以计计算。。数值解解法定义：：是一一种以以离散散数学学为基基础，，以计计算机机为工工具的的求解解方法法。特点：：不能能获得得未知知量的的连续续函数数，而而只是是某些些代表表性地地点的的近似似值步骤种类：：有限限差分分法、、有限限元法法、边边界元元法、、有限限容积积法等等2-4不稳稳定导导热的的有限限差分分法解题步步骤分析和和简化化物理理模型型判断问问题属属于稳稳态问问题还还是非非稳态态问题题有无内内热源源适宜的的坐标标判断边边界条条件的的类型型数学模模型的的建立立一般模模型：：物性参参数为为常数数：非稳态态无内内热源源物性参参数为为常数数：2-4不稳稳定导导热的的有限限差分分法解题步步骤稳态无无内热热源：：采用圆圆柱坐坐标时时，若若物性性参数数为常常数，，由于于:2-4不稳稳定导导热的的有限限差分分法解题步步骤区域和和时域域的离离散区域的的离散散：将将几何何连续续点的的区域域用一一些列列网格格线分分割开开，形形成一一系列列单元元。节点：：每个个单元元的中中心称称为节节点（（内节节点、、边界界节点点）步长：：节点点之间间的距距离（（等步步长、、变步步长）），表表示为为x,y,z时域的的离散散：非非稳态态问题题将时时间分分割成成时间间段时间步步长：：每个个计算算时间间间隔隔的长长短，，2-4不稳稳定导导热的的有限限差分分法解解题题步骤骤内节点和边边界节点差差分方程的的建立内节点一般般采用直接接法：即由由导热微分分方程直接接用差商代代替微商，，导出递推推公式，也也可采用热热平衡法；；边界节点一一般采用热热平衡法，，视具体边边界建立相相应的能量量方程选择求解差差分方程组组矩阵的计计算方法编写计算程程序计算计算结果的的处理和分分析讨论2-4不稳稳定导热的的有限差分分法

一、、有限差分分的概念微商和差商商的定义若T(x)是连续函函数，则它它的导数为为：称为微商，，称为为差商，两两者之差代代表以差商商代替微商商带来的误误差。二、差商的的形式1、向前差差商表示第5项项以后各项项的代数和和，其值与与（x））4的值属同一一个数量级级。二、差商的的形式2、向后差差商3、中心差差商以上两式相相加除2，，得到中心心差商：二、差商的的形式4、二阶差差商三、建立内内节点差分分方程/一一维系统1、模型：：0，0xL2、初始条条件：T(x,0)=(x)3、边界条条件：T(0,)=1()，，T(L,)=2()4、区域离离散距离步长：：x=xi-xi-1,xi=(i-1)x时间步长：：=n-n-1,n=nTin=T(xi,n)三、建立内内节点差分分方程/一一维系统5、有限差差分方程建建立1）显示差差分点（i,n）的导热热方程为：：三、建立内内节点差分分方程三、建立内内节点差分分方程/一一维系统2)隐式差差分格式温度对距离离的二阶偏偏微商是对对应时刻n+1的，，而温度对对时间的一一阶偏微商商是对应时时刻n的。。差分方程程为：截断误差：：O[+（（x）2]，整理后后：三、建立内内节点差分分方程以l=5为例，，推导求解解隐式差分分方程：n=1时刻刻：三、建立内内节点差分分方程n=2时刻刻：三、建立内内节点差分分方程n+1时刻刻：三、建立内内节点差分分方程c)显式和和隐士差分分格式的比比较计算格式的的差别显式在n+1时刻的的温度由n时刻的3个已知温温度求出，，不要求解解方程组。。隐式格式中中，由于一一个方程中中包含n+1时刻的的3个未知知温度，只只有把n+1时刻的的所有节点点方程列出出后接联立立方程，才才能求出n+1时刻刻所有节点点的温度。。稳定性的差差别显式差分的的格式稳定定是有条件件的，稳定定条件：F01/2隐式差分格格式的方程程式无条件件稳定的对计算步长长的要求对于显式差差分格式，，稳定性条条件制约时时间步长由由距离步长长所决定：：（x）2/2对于隐式差差分格式，，时间步长长和距离步步长都可以以任意取三、建立内内节点差分分方程/二二维系统假设热物理理性能参数数为常数，，且无内热热源。节点（i,j）处的的温度表示示成Ti,j，对于0<x<L1和0<y<L2的的矩形区域域内，将二二维不稳定定导热方程程式应用于于节点（i,j）可可以写成：：三、建立内内节点差分分方程若x=y，则：：四、边界节点差分方方程/热平平衡法基本思想：：将能量守守恒原则应应用到每个个单元体，，不再从微微分方程入入手，而是是将导热的的基本定律律直接近似似。四、边界节点差分方方程绝热给定热流密密度对流边界给定温度辐射混合四、边界节点差分方方程1、绝热边边界相邻单元体体流入（i,j）单单元体的热热量：四、边界节点差分方方程2、给定热热流密度qr的边界相邻单元体体流入（i,j））单元体的热热量：四、边界节点差分方方程3、对流边边界已知对流放放热系数c及周围介质质温度Tf四、边界节点差分方方程4、给定温温度边界5、辐射边边界7、混合边边界差分法：以以差分代替替微分，对对基本方程程离散，建建立以节点点参数为未未知量的线线性方程组组，而求得得近似解。。优点：线性性方程组的的计算格式式比较简单单不足：差分分格式大多多采用正方方形、矩形形和正三角角形有限元法：：对连续体体本身进行行离散，根根据变分原原理求解问问题优点：适合合于各种复复杂形状和和复杂边界界条件的数数值计算不足：计算算过程复杂杂2-5不稳稳定导热的的有限元解解法数学基础2-5不稳稳定导热的的有限元解解法

一、、数学基础1、变分方方法研究泛函的的极大值和和极小值的的方法1）泛函定定义给定两点1和2，连连接这两点点曲线的长长度:这样就建立立了一个函函数关系：：I=I[y(x)]，称I是是y(x)的泛函。。自变量是是个函数，，因变量是是普通变量量。2）、泛函函和函数2-5不稳稳定导热的的有限元解解法

一、、数学基础函数f(x)泛函I[y(x)]变量f变量I自变量x函数y(x)x的增量xy(x)的变分y函数的微分dfdf泛函的变分I2-5不稳稳定导热的的有限元解解法

一、、数学基础3）、泛函函和变分研究泛函极极值的方法法就是变分分法。函数f=f(x）泛函I=I[y(x)]如果对于变量x的某一域中的每一个x,f都有一值与之对应，则变量f叫做x的函数，记为f(x）如果对于某一类函数y(x)中的每一个函数y(x),I都有一值与之对应，则变量I叫做依赖于函数y(x)的泛函，记为I[y(x)]如果对于x的微小改变，有函数f(x)的微小改变与之对应，则函数f(x)是连续的。如果对于y(x)的微小改变，有泛函的微小改变与之对应，则泛函I[y(x)]是连续的。如果可微函数f(x)的内点x=x0处达到极大或极小值，则在这点df=0如果变分的泛函I[y(x)]的内点y=y0(x)处达到极大或极小值，则在这点I=02-5不稳稳定导热的的有限元解解法

一、、数学基础2、差值函函数线性差值：：求过曲线线y(x)上已知点点A(xi,yi)、B(xi+1,yi+1)的直线方方程：3、形函数数形函数只和和单元的形形状、节点点配置区间间大小和差差值方式有有关，而和和节点未知知量无关，，故统称其其为形函数数。2-5不稳稳定导热的的有限元解解法

一、、数学基础1）一维不不稳定导热热求解区间[0，L]划分为有有限个互补补重叠的小小区间。构造的差值值函数：形函数：只和单元的的形状、节节点配置区区间大小和和差值方式式有关，而而和节点未未知量无关关。故统称称其为形状状函数或形形状因子。。2-5不稳稳定导热的的有限元解解法

一、、数学基础对于三角形形单元，通通常假设单单元e上的的温度是x,y的线线性函数。。2）二维不不稳定导热热2-5不稳稳定导热的的有限元解解法/数学学基础2-5不稳稳定导热的的有限元解解法/数学学基础2-5不稳稳定导热的的有限元解解法

一、、数学基础用有限元法法求解二维维不稳定导热问题时时，采用三三角形单元离散化并并通过线性性差值所求得的形函函数(Ni,Nj,Nm)。2-5不稳稳定导热的的有限元解解法

一、、数学基础形函数(Ni,Nj,Nm)的特点：：Ni,Nj,Nm是x,y的线性函函数，与插插值函数具具有同样的的类型Ni（xi,yi）=1,Ni（xj,yj）=Ni（xm,ym）=02-5不稳稳定导热的的有限元解解法

一、、数学基础2-5不稳稳定导热的的有限元解解法二、有限元元发的解题题思想和步步骤1、思想从数学角度度讲，某一一泛函取极极值所需要要的充要条条件等价于于求解相应应的微分方方程式加边边界条件。。从而可利利用泛函取取极值的变变分计算来来代替微分分方程及边边界条件的的求解。2、步骤1）找到导导热微分方方程对应的的泛函I为T(x,y)的的函数2-5不稳稳定导热的的有限元解解法二、有限元元法的解题题思想和步步骤2）单元划划分将区域划分分成有限个个三角形单单元（例如如，分成E个单元，，n个节点点）温度场T(x,y)离散成T1,T2……Tn等n个节节点温度，，则泛函I[T(x,y)]实际上是是一个多元元函数：I(T1,T2,………,Tn)，I[T(x,y)]的变分问问题则转化化为多元函函数求极值值问题2-5不稳稳定导热的的有限元解解法二、有限元元发的解题题思想和步步骤建立温温度的的差值值函数数对于三三角形形单元元：T=f(Ti,Tj,Tm)T=NiTi+NjTj+NmTm单元变变分计计算2-5不稳稳定导导热的的有限限元解解法二、有有限元元发的的解题题思想想和步步骤总体合合成得到线线性方方程组组。求解线线性方方程组组2-5不稳稳定导导热的的有限限元解解法三三、内单单元计计算格格式的的建立立1、一一维系系统(略去去课堂堂不讲讲)1）模模型：：2）泛泛函：：3)温温度差差值函函数2-5不稳稳定导导热的的有限限元解解法二、内内单元元计算算格式式的建建立4）单单元变变分计计算4）单单元变变分计计算4）单单元变变分计计算5）总总体合合成5）总总体合合成2-5不稳稳定导导热的的有限限元解解法二维热热传导导1、数数学模模型无内热热源、、假定定热物物理性性能为为常数数。2、泛泛函对应的的泛函函：目标：：寻找找温度度场T，使使I=0，，即：：寻找找是泛泛函达达到极值值的函函数。。2-5不稳稳定导导热的的有限限元解解法二维热热传导导3、区区域离离散化化将一个个矩形形区域域，划划分成成多个个直角角三角角形。。设直角角边长长为h，(x=y=h)节点x=rh,y=sh(r,s为正正整数数)此节点点记为为(r,s)，，（相相当于于（x,y）点点）2-5不稳稳定导导热的的有限限元解解法/二维维热传传导4、温温度差差值函函数的的建立立对于三三角形形单元元T=f(Ti,Tj,Tm)T=NiTi+NjTj+NmTm5、单单元变变分的的计算算将求解解区域域分成成有限限个单单元后后，泛泛函I(T)变变成各各个单单元内内泛函函的积积分。。2-5不稳稳定导导热的的有限限元解解法/二维维热传传导5、单单元变变分2-5不稳稳定导导热的的有限限元解解法二二维热热传导导（5、、单元元变分分）2-5不稳稳定导导热的的有限限元解解法/二维维热传传导5、单单元变变分2-5不稳稳定导导热的的有限限元解解法/二维维热传传导5、单单元变变分2-5不稳稳定导导热的的有限限元解解法/二维维热传传导5、单单元变变分2-5不稳稳定导导热的的有限限元解解法/二维维热传传导5、单单元变变分2-5不不稳稳定定导导热热的的有有限限元元解解法法/二二维维热热传传导导在时时间间上上采采用用向向前前差差分分：：6、、总总体体合合成成i=1,2,3,…………n上式式包包含含若若干干线线性性方方程程组组。。对对于于每每一一个个方方程程来来说说，，都都是是对对所所有有单元元求求和和而而成成。。现现以以i(r,s)为为例例，，进进行行求求解解。。2-5不不稳稳定定导导热热的的有有限限元元解解法法/二二维维热热传传导导i(r,s)点点涉涉及及六六个个单单元元ⅠⅠ、、ⅡⅡ、、ⅢⅢ、、ⅣⅣ、、ⅤⅤ、、ⅥⅥ，，所所以以其它它单单元元中中不