机械结构模态

第四章模态分析振动与噪声控制研究所第四章模态分析4.1引言4.2实模态分析4.3复模态分析4.4试验模态分析绪论机械振动的研究对象、意义数学准备和运动学绪论机械振动的研究对象、意义振动，是指物理量在它的平均值附近不断地经过极大值和极小值而往复变化的过程。机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。机械振动研究的对象是机械或结构，即具备质量和弹性的物体。在理论分析时，需要把机械或结构按照力学原理，通过数学建模，抽象为力学系统（又称为数学模型）。可以产生机械振动的力学系统称为振动系统。振动系统三要素及其关系振动系统的三要素：激励、系统和响应外界对振动系统的激励或作用，称为振动系统的激励或输入。系统对外界影响的反映，称为振动系统的响应或输出。二者由系统的振动特性相联系。三种基本振动问题响应分析：在扰动条件和系统特性已知的情形下，求系统的响应系统识别：分析已知的激励与响应，确定振动系统的性质环境预测：已知振动系统和在未知激励下的响应，研究该未知激励的性质响应分析车辆在给定的路面上行走，求车身的加速度响应工程提法：系统设计在一定的激励条件下，如何来设计系统的特性，使得系统的响应满足指定的条件。系统识别方法：以某种已知的激振力作用在被测振动系统上，使其产生响应，根据已知的激励和测量得到的响应量值，进而根据一定的分析方法（模态分析），确定系统的振动参数，如：质量矩阵，刚度和阻尼矩阵以及系统的振型和固有频率向量。模态试验环境预测例：振源判断、载荷识别、基于振动信号的工况监视与故障诊断。例：用五轮仪来测量路面的不平度对于五轮仪，其系统特性已知，通过测量五轮仪的输出，可以反推出路面的不平度特性。机械振振动的的作用用消极方方面：：影响响仪器器设备备功能能，降降低机机械设设备的的工作作精度度，加加剧构构件磨磨损，，甚至至引起起结构构疲劳劳破坏坏。积极方方面：：利用用振动动性能能的设设备机械振振动的的破坏坏作用用颤振：：大气气紊流流和其其他振振源都都会使使飞机机等飞飞行器器产生生振动动（舒舒适性性，机机载仪仪表））自激振振动：：输电电线的的舞动动1940年美国国塔可可马(TacomaNarrows)吊桥在在中速速风载载作用用下，，因桥桥身发发生扭扭转振振动和和上下下振动动造成成坍塌塌事故故1972年日本本海南南的一一台66××104kW汽轮发发电机机组，，在试试车过过程中中发生生异常常振动动而全全机毁毁坏；；步兵在在操练练时，，不能能正步步通过过桥梁梁，以以防发发生共共振现现象造造成桥桥梁坍坍塌机械振振动的的积极极作用用共振放放大利用颗颗粒的的振动动进行行清洗洗，抛抛光，，零件件去毛毛刺；；利用振振动减减小零零部件件之间间的摩摩擦阻阻力和和间隙隙学习机机械振振动的的意义义进行结结构动动强度度设计计的需需要消除有有害的的振动动利用振振动有有利的的一面面是学好好相关关知识识的基基础离散系系统的的基本本元件件机械振振动系系统：：惯性元元件，，弹性性元件件，阻阻尼元元件，，外界界激励励。通常用用物理理量：：质量M，刚度度K，阻尼尼C，和外外界激激励F表示。。振动分分类按系统统分：：线性系系统和和非线线性系系统离散系系统和和连续续系统统确定性性系统统和随随机系系统按激励励分：：自由振振动受迫振振动自激振振动参数共共振振动分分类按响应应分：：简谐振振动周期振振动非周期期振动动随机振振动按自由由度分分：单自由由度振振动多自由由度振振动连续体体振动动运动学学一、简简谐运运动按时间间的正正弦函函数(或余弦弦函数数)所作的的振动动振幅相位初相位位圆频率率运动学学简谐振振动的的速度度和加加速度度位移速度加速度度大小和和位移移成正正比方向和和位移移相反反，始始终指指向平平衡位位置运动学学拍不同频频率振振动的的叠加加频率接接近于于相等等时拍的频频率：：每秒秒中振振幅从从最小小值经经过最最大值值到最最小值值的次次数拍的圆圆频率率：w1-w2运动学学简谐振振动的的复数数表示示复平面面上的的一点点z代表一一个矢矢量使该矢矢量以以等角角速度度w在复平平面内内旋转转（复复数旋旋转矢矢量））wtPA实轴虚轴运动学学速度、、加速速度的的复数数表示示位移速度加速度度对复数数Aeiwt每求导导一次次，相相当于于在它它的前前面乘乘上一一个iw，而每每乘上上一个个i，相当当于把把这个个复数数旋转转矢量量逆时时针旋旋转p/2运动学学谐波分分析把一个个周期期函数数展开开成傅傅立叶叶级数数，亦亦即展展开成成一系系列简简谐函函数之之和一般的的周期期振动动可以以通过过谐波波分析析分解解成简简谐振振动运动学学谐波分分析傅立叶叶级数数w1:基频谐波分分析两个频频率相相同的的简谐谐振动动可以以合成成一个个简谐谐振动动把谐波波分析析的的结果果形象象化：：An，jn和w之间的的关关系用用图形形来表表示，，称为为频谱谱单自由由度系系统自由振振动简谐振振动非周期期强迫迫振动动自由振振动振动系系统在在初始始激励励下或或外加加激励励消失失后的的运动动状态态。自由振振动时时系统统不受受外界界激励励的影影响，，其运运动时时的能能量来来自于于初始始时刻刻弹性性元件件和惯惯性元元件中中存储储的能能量。。振动规规律完完全取取决于于初始始时刻刻存储储的能能量和和系统统本身身的性性质。。运动微微分方方程振动系系统在在初始始激励励下或或外加加激励励消失失后的的运动动状态态。自由振振动时时系统统不受受外界界激励励的影影响，，其运运动时时的能能量来来自于于初始始时刻刻弹性性元件件和惯惯性元元件中中存储储的能能量。。振动规规律完完全取取决于于初始始时刻刻存储储的能能量和和系统统本身身的性性质。。运动微微分方方程运动微微分方方程运动微微分方方程解运动微分分方程单自由度度系统无无阻尼自自由振动动是简谐谐振动能量关系系意义：惯惯性力的的功率Fm与弹性力力的功率率Fs之和为零零能量关系系能量关系系Rayleigh商动能系数数阻尼自由由振动方程阻尼自由由振动解特征方程程临界阻尼尼阻尼自由由振动特征方程程解阻尼自由由振动方程的通通解三种情况况>1，相异实实根。阻阻尼大于于临界阻阻尼。强强阻尼=1，重根。。阻尼等等于临界界阻尼<1，共轭复复根。阻阻尼小于于临界阻阻尼，弱弱阻尼，，阻尼自由由振动>1=1阻尼自由由振动<1阻尼固有有频率阻尼自由由振动对数衰减减率简谐强迫迫振动方程解简谐强迫迫振动系数简谐强迫迫振动放大系数数01234X/A0.51/n10.70.40.30.2012310.70.50.20.1简谐谐强强迫迫振振动动相频频特特性性简谐谐强强迫迫振振动动全解解简谐谐强强迫迫振振动动全解解振动动计计01234675012ABCy0/a0w/wn位移移测测量量计计扰动动频频率率大大于于仪仪器器的的固固有有频频率率（（B点）），，记记录录的的振振幅幅逐逐渐渐接接近近于于扰扰动动频频率率的的振振幅幅仪器器的的固固有有频频率率应应该该比比要要记记录录测测量量的的频频率率低低2倍当振振动动包包含含高高阶阶频频率率时时，，不不影影响响位位移移振振动动计计的的测测量量简谐谐强强迫迫振振动动振动动加加速速度度计计01234675012ABCy0/a0w/wn振动动加加速速度度计计的的固固有有频频率率应应该该是是所所记记录录测测量量的的最最高高频频率率的的2倍以以上上简谐谐强强迫迫振振动动振动动加加速速度度计计－－振振幅幅r0/aw/wn00.250.500.751.001.251.501.752.0000.51.01.52.0c/cc=0抛物物线线c/cc=0.5c/cc=0.7为了了避避免免高高阶阶谐谐振振共共振振影影响响振振动动加加速速度度计计工工作作，，必必须须在在振振动动加加速速度度计计中中加加入入阻阻尼尼0.5和0.7临界界阻阻尼尼比比无无阻阻尼尼曲曲线线更更接接近近理理想想加加速速度度计计曲曲线线简谐谐强强迫迫振振动动振动动加加速速度度计计-相位位12300306090180jw/wnc/cc=0c/cc=0.125c/cc=0.20c/cc=0.50c/cc=1120150当阻阻尼尼在在0.5-0.7临界界阻阻尼尼之之间间时时，，相相位位差差特特性性曲曲线线很很接接近近低低于于共共振振区区域域的的对对角角线线：：相相位位差差近近似似正正比比于于频频率率，，记记录录的的波波的的合合成成与与实实际际波波相相同同。。简谐谐强强迫迫振振动动振动动的的隔隔离离原原理理k通过过弹弹簧簧传传给给下下层层结结构构的的力力？？012345-1－2-3-41x0/xstABCw/wn可传传性性简谐谐强强迫迫振振动动振动动的的隔隔离离原原理理:阻尼尼w/wn隔振振系系数数10201230.250.50.5c/cc=0w/wn<1.41区域域中中，，阻阻尼尼使使隔隔振振系系数数减减小小(但仍仍然然比比1大)阻尼尼的的存存在在使使隔隔振振系系数数更更坏坏？？阻尼尼的的存存在在可可以以有有效效防防止止共共振振阻尼尼的的不不利利效效应应可可以以很很容容易易通通过过使使弹弹簧簧变变得得更更软软来来弥弥补补非周周期期强强迫迫振振动动脉冲冲力力t=时的的单单位位脉脉冲冲力力重要要性性质质：：F(t)在t=连续续，，则则有有非周周期期强强迫迫振振动动系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应条件件：：t=0以前系统统静止，，t=0时刻受到到一个单单位脉冲冲力作用用解为单位位脉冲响响应h(t)=0t<0非周期强强迫振动动卷积极分分把任意激激励F(t)看成一系系列脉冲冲函数的的叠加定解问题题解多自由度度系统多自由度度系统振振动方程程固有振动动动力响应应分析多自由度度系统振振动方程程例多自由度度系统振振动方程程x={x1，x2}Tf(t)={f1(t)，f2(t)}T多自由度度系统振振动方程程质量矩阵阵，阻尼尼矩阵，，刚度矩矩阵的性性质对称性正定性耦合惯性耦合合阻尼耦合合弹性耦合合耦合的消消除固有振动动2反向运动动例：对称称系统，，特殊初始始条件下下的振动动1同向运动动x1(0)=x2(0)=x0，x1(0)=x2(0)=x0固有振动动固有振动动3任意初始始条件分解为两两个初始始条件固有振动动数学提法法方程特征值问问题频率方程程K=ω2Mu|kijω2mij|=0解为固有频率率ω1≤ω2≤，…，≤ωn振型1，2，…，n固有频率率矩阵=diag(ω1，ω2，…，ωn)振型矩阵阵={1，2，…，n}K={K1，K2，…，Kn}={ω121，ω222，…，ωn2n}固有振动动振型的正正交性当r≠s时，如果果ωr≠ωs，则有可证：振振型之间间线性无无关可定义以以刚度矩矩阵和质质量矩阵阵为权的的内积即：振型型之间彼彼此以刚刚度矩阵阵和质量量矩阵为为权正交交<x,y>K=xTKy,<x,y>M=xTMy当y=x时<x,x>K=xTKx,<x,x>M=xTMx固有振动动振型正交交性的物物理意义义如果x=arr+ass则½xTKx=½ar2rTKr+½as2sTKs固有振动动振型归一一化1令2令r的某一分分量为1。比如取取r的分量中中绝对值值最大的的分量为为1，固有振动动振型坐标标的解耦耦性阻尼矩阵阵的处理理Rayleigh阻尼C=αM+βKFawzy证明C可对角化化应满足足下述条条件之一一固有振动动方程特征方程程令q=etn对共轭复复根动力响应应分析物理坐坐标下下的方方程x=y，且两两边左左乘T，得到到振型型坐标标下的的方程程写出分分量形形式动力响响应分分析初始条条件的的处理理两边左左乘TM同样动力响响应分分析展开定定理弹性力力位移复模态态分析析方程引入辅辅助方方程令状态空空间方方程复模态态分析析令q=et特征方方程n对共轭轭复根根复模态态分析析由得到n对2n维共轭轭向量量(特征向向量)并有称r为第r阶模态态向量量复模态态分析析令则这里称：为复模模态矩矩阵为特征征向量量矩阵阵为频率率矩阵阵复模态态分析析复特征征向量量的正正交性性r，s=1，2，…,n复模态分析析上面公式展展开得r，s=1，2，…,n复模态分析析分块有复模态分析析分块有复模态分析析复模态质量量复模态参数数复模态刚度度r=1，2，…,n复模态阻尼尼并有r=1，2，…,n复模态分析析复模态阻尼尼衰减系数数复模态固有有频率r=1，2，…,n复模态阻尼尼比并有复模态阻尼尼固有频率率复模态分析析物理坐标下下的方程q=y，且两边左左乘T，得到复特特征向量坐坐标下的方方程初始条件复模态分析析物理坐标下下的自由振振动解特征向量坐坐标下的解解为由q=y中取出前n项，得复模态分析析如果系统以以某阶阻尼尼固有频率率振动时，，有其中第s个坐标的运运动为设则复模态分析析一般粘性阻阻尼系统以以r阶主振动做做自由振动动时，每个个物理坐标标的初相位位(sr＋r)不仅与该阶阶主振动有有关，还与与物理坐标标s有关，即各各物理坐标标初相位不不同。因而而，每个物物理坐标振振动时并不不同时达到到平衡位置置和最大位位置，即主主振型节点点（线）是是变化的，，即不具备备模态保持持性，主振振型不再是是驻波形式式，而是行行波形式。。这是复模模态系统的的特点复模态分析析简支梁二阶阶振型半个个周期内的的变化（a）实模态系系统；（b）复模态系系统连续体振动动杆的纵向振振动轴的扭转振振动梁的弯曲振振动杆的纵向振振动假定：细长等截面面杆,振动时横截截面仍保持持为平面，，横截面上上的质点只只作沿杆件件纵向的振振动，横向向变形忽略略不计。则则同一横截截面上各点点在x方向作相等等的位移。。参数：杆长长l，截面积S，材料密度度，弹性模量量E杆的纵向振振动杆的纵向振振动微元分析：：杆的纵向振振动杆的纵向向振动杆的纵向向振动解：设u(x,t)=X(x)·T(x)即杆的纵向向振动解为时间域，，初值问问题空间域，，边值问问题固支边条条件x=0时，u(0,t)=X(0)·T(x)=0，即X(0)=0x=l时，u(l,t)=X(0)·T(l)=0，即X(l)=0自由边条条件x=0时,，即x=l时,，即杆的纵向向振动例：如果两端端固支，，有——两端固支支杆纵向向振动特特征方程程（频率率方程））这就是两两端固支支杆纵向向振动的的各阶频频率，相相应的各各阶固有有振型是是：（n=1,2,………∞）（n=1,2,………∞）C2=0显然，C1≠0，故有：：轴的扭转转振动方程弹性轴轴轴向坐标标x，扭转变变形θ(x,t)，单位长长度对x轴的转动动惯量I(x)，截面抗抗扭刚度度为GJ(x)。当转动惯惯量I(x)，截面抗抗扭刚度度GJ(x)与x无关时梁的弯曲曲振动方程用分离变变量法求求解，令令令，则上式为：

梁的弯曲曲振动方程边界条件件简支梁的弯曲曲振动固支自由梁的弯曲曲振动固支自由随机振动动随机过程程相关函数数功率谱函函数激励响应应关系随机过程程样本函数数xr(t)t(∞∞，∞)随机函数数状态数字特征征均值x=E[X(t)]均方值x=E[X2(t)]方差E[(X(t)x)2]相关函数数相关函数数自相关函函数平稳随机机过程统计性质质、趋势势与时间间无关互相关函函数均值、均均方值和和方差为为常数相关函数数是时差差的函数数各态遍历历过程相关函数数自相关函函数性质质1偶函数2周期随机机过程的的自相关关函数仍仍是周期期函数345如果不是是周期随随机过程程相关函数数互相关函函数性质质1234X(t)、Y(t)相互独立立功率谱函函数自谱性质1自