2022年全国乙卷数学模拟试题及答案

高三文科数学考生注意：.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。.本试卷，题范围：高*范围。一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。.已知集合A={e|z2—2z—8>0},则CrA=C.(—2,4) DC.(—2,4) D,[-2,4]C.2+3i D.2—3iB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件.已知复数z满足与+2—31=0,则乏=A.3+2i B.3-2i.已知力:7+5>3,4：7>1且y>2,则q是。的A.充分不必要条件C.充要条件.已知直线2l?=0为双曲线C，一1的一条渐近线，则。的离心率为A.75 B.5/3 C.哼 D.乙 O.已知S“为等比数列{右}的前〃项和，若恁=8,S3=24,则公比q=D.—■或1o6.若tana=2,贝IJI-2sin-a6.若tana=2,贝IJI-2sin-a1+sin2aB.-3D.37.古希7.古希腊数学家帕普斯通过在矩形ABCD中构造内接直角三角形AEF(/AEF=90。),证明了三角公式cos(a—/?)=cosacos0+sinasin0(其中NDAE=a,/EAF=S),如图所示.若AD=2&,a=60°,£=30°,AF=a,EF=b/lJAD=A.4a+b B.——b

.某校举行运动会期间，将学校600名学生编号为001,002,003,…，600,采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且在第一段中随机抽得的号码为009.将这600名学生分别安排在看台的A,B,C三个区,001号到130号在A区，131号到385号在8区，386号到600号在C区，则样本中属于三个区的人数分别为A.10,21,19 B.10,20,20 C.11,20,19 D,11,21,18.已知函数/(z)=cos(2z—g),先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移,个单位长度，得到g(z)的图象，则A.g(z)的最小正周期是3 B.g(f)=4C.g(z)的图象关于点(7T,0)对称 D.g(z)在(0,兀)上单调递增.如图，在正四面体ABCD中,E,F分别为棱的中点，则直线BE与CF所成角的余弦值为H.如图，已知抛物线C：/=2”■(力>0)的焦点为F,直线/与C相交于A,8两点，与》轴相交于E点.已知|AF|=7,|BF|=3,若△AEF,48EF的面积分别为S,5,且含=3,则抛物线C的方程为A.y2=2xb.y=4j?y2=6/y2=8xh r..已知a—l=lna,b-e=ln—,c―7t=ln—，其中a,b,cS(0,+8)且 则e reA.a<Zc<Zb B.c<Za<Zb C.a<Zb<Zc D.c<Zb<Za二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。仔一y&l，.已知x.y满足Ji+y>0,则之=1+2丁的最小值为.f为奇数，.已知数列｛4｝的通项公式为人=4 一4 则其前1。项和等于 .l2%n为偶数，.已知函数/(/)=?(%—1)(1—2)(1一3),则曲线了=/O)在点(3,/(3))处的切线方程为..如图，在三棱铢P-ABC中,PA,平面ABCNABC=g,AP=AB=3,3C=6,人肾■…则三棱锥P—ABC外接球的表面积为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。.（本小题满分12分）山东为我国最大的“菜园子”和“菜篮子”，蔬菜产量占全国的12%,居全国第一位;农产品出口达到1150.3亿元，占全国的22%,连续20多年领跑全国.寿光、兰陵、章丘等作为代表的蔬菜生产和流通基地为保证人们的菜篮子做出了重要贡献.为了解近年来山东的蔬菜生产状况，统计了近6年山东蔬菜年产量（万吨）如下表：年份201620172018201920202021年份代码/123456年产量y（万吨）803481338192818184358801（1）根据表中数据，建立》关于，的线性回归方程&=叫+£；5用最简分数表示）（2）根据（1）中的线性回归方程，预测今年（2022年）山东蔬菜的年产量.附:①对于一组数据（匕，V），（&），…，",，%），其回归直线y=bt+a的斜率和截距的最小二乘估它（0—f）（y—了）计分别为：，=~~ ,£=夕一方.S（z,-F）2f=16②参考数据：X（。一2）（y—y）=2365..（本小题满分12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,8c,c=2asinCeosB+26sinCeosA,且sinCgsinB.（1）求角。的大小；（2）若，且△ABC的面积为4乃，求AC边上的中线BD的长..（本小题满分12分）如图,三棱柱ABC-A出G各棱长均为2,NGCA=全O（1）求证:ACLBG；⑵若心与平面八所成的角为言，求三棱柱八BC-ABC的体积..（本小题满分12分）已知椭圆。：（+畜=1（。>0>0）,四点（一反正），（0,—6）,（1,一1），（1,'1）中恰有三点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）若点F为C的左焦点，点P为C上位于第一象限的一点,M,N为）轴上的两个动点（点M在。轴上方），满足PM，PN,FM，FN,线段PN交,轴于点Q.求证：（翱为定值..（本小题满分12分）设函数/（z）=alnx一~^+l（aGR）.（1）求函数f（z）的单调区间；（2）当时，证明：0+1*（1—）Ve/lnx.（二）选考题:共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系My中，直线I的方程为悟工+»—4乃=0；以（）为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且曲线C的极坐标方程为p=4cos9.（1）求C的直角坐标方程和参数方程；（2）若直线/与C交于A,8两点,P为C上异于A的一点，求APAB面积的最大值..（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知不等式|h|十|工一3|45的解集为[a,6]（1）求a,b的值；（2）若m>0,7?>0，bin+〃+a=0,求证：m高三文科数学参考答案、提示及评分细则DA={j:\x2—2z—8>0}=<①|N<—2,或i>4），所以CrA=1―2,4］故选D.B由题意得2=_2+、=.（一泊!〈一!?=京普=3+2「所以z=3-2i.故选B.1 iX（-1） 1A若h>1且y>2,则1+y〉3,反之则不然，故g是力的充分不必要条件.故选A.C由题意知方=2,所以e=Jl+（,y=Jl+}=空.故选C.C因为&3=8,S3=24,所以a3=8,ai+ti2=16,即ai/=8,ai（l-g）=16,所以1~~q=2/,解得q—当或q—1.故选C「A1-2§甘丁=sin7-cos2a—2sin，=cos2a—sin2a=cosa—sina=1—tana= 1_将冲、，… 1+sin2asin2a+cos2a+2sinacosa（sina+cosa）~cosq+sinq1+tana3*J'•A在直角三角形ADF中，DF=2,AF=4；在直角三角形AEF中,EF=2；在直角三角形CEF中，CF=1,CE=^.综上,F是CD上靠近C的三等分点,E是BC的中点.—► ► ► ► 9 ► —► —► —► 1 ► 1—► —► ► 1 —► —► 1^-：AF=AD+DF=AD+-^AB,EF=EC+CF=^AD--^八3,两式联立消去人3,得人。=卷入尸+£尸=房<1+4O o 乙 乙故选A.法二:以A为原点,AB所在直线为1轴建立宜角坐标系.则4(0,0),60,2&)*以3,乃)汨(2,2点)，设俞=；1亦+"话，得(0,2回=乂2,2⑶+/(-1,&),解得；1=:,〃=1,检=得#+诺=得。+无故选A.D由题意知抽样间隔为锣=12.因为在第一段中随机抽得的号码为009,故所有抽到的号码为124+9UVS=0,1,2,…,49),根据条件列出不等式即可解得A区抽中11人,B区抽中21人,C区抽中18人.故选D.D由题意知g(工)=-cos7,其最小正周期为2北，g(m)=—cos-y 其单调递增区间为C2^7r,7r+2^］（^eZ）.j<（7r）=l^O,feABC均错.D正确.故选D.C连接AE,取AE的中点G,连接FG,CG,则FG〃BE,所以/CFG为BE与CF所成的角，设正四面体ABCD的棱长为2,则AE=BE=CF=偌，FG=岑，CG=#,所以o_._3._JL3+ ??cosZCFG=——-~吉=*.故选C.2X73

B如图，过A,B分别作C的准线的垂线分别交y轴于点M,N,因为C的准线为了=一号,所以|AM|=|AF|一1=7一号,|BN|=|BF|一号=3，所以鲁=44科=44批L L L, 4 02 |七匕| 251、72=-^=3,解得。=2,故。的方程为/=4-故选B.D由题意可知,a—l=lna—In1,/>—e=ln6—Ine,c-7t=lnc、-In兀,所以a—lna=l—In1,6—In6=e—Ine,c-Inc=六一In兀.令/(1)=n—In则/(a)=f(1),f(b)=f(e),f(c)=f(Q;又f(j?)=1-十=7,则八工)在〈°」)上单调递减，在(L+8)上单调递增，如图所示；因为l〈e<k,所以 ，所以f(a)V/(6)V/(c),又bWe,crn,且八工)在〈0,1)上单调递减,所以cVYa.故选D.-4画出可行域(如图阴影部分)，当直线尸一£才+.经过点人(得,一得)时,z乙 乙 乙 乙 乙取得最小值，最小值为一~1409数列｛4,｝的前10项中有5个奇数项,5个偶数项.且5个奇数项成以1为首项,4早又4+*丰=45+宁1409.为公差的等差数列,5早又4+*丰=45+宁1409.6工一'—18=0法1：设g(z)=zQ-l)(工一2),则f(z)=(_r-3)g(z),所以/(才)=g(z)+(j-3)g'(工)，所以/⑶=g(3)=3X2Xl=6,又-3)=0,故所求切线方程为y=6Q-3),即为6工一》—18=0.法2：/(3)=0,/(i)=「①(7—3)JL(1—1)(/-2)I=(三—31)(合一3z+2),则/(1)=(合一31)'(/—34十2)+(j?2—3z)(/2—3.丁+2)'=(2彳-3)(/—31+2)+(21一3)(合一3①)=(27—3)(2jt2—6①+2),所以/(3)=(2X3—3)(2X32—6X3+2)=6,故所求切线方程为丁=6(z—3)，即为6z-y-18=0.547r法1：因为PAJ_平面ABCBCU平面ABC所以PA±BC,PA±AC,PA±AB,XZABC2=方■，所以BCJ_AB,因为PAP|AB=A,PA,ABU平面PAB.所以BC_L平面PAB,又PBU平 \/户、面PAB,所以BCJ_PB,取PC的中点O,连接OA,OB,则OA=OB=OC=()P=3PC,故。为\\/三棱锥P-ABC外接球的球心.而PC=/PB2+BG=/PA2+AB2+Br= 加=/豆=36.故三棱锥P-ABC的外接球O的半径为岁,所以球O的表面积为4kx(邛)2=54n.法2：根据题意三棱铢P-ABC可以扩展为如图的长方体*则PC为长方体的对角线,也是三棱锥P-ABC外接球的直径.因为AP=AB=3,BC=6,所以PC= (以下同法1).6TOC\o"1-5"\h\z解：(D由题意知£=3.5,斤=8296,Z(&一力2=17.5, 2分t=lz_i?I(Z,-f)<y-y)_2365_946 /八0— 6 —177—7， 4分*=］「， -- 946 - 八又〃=了一切=8296一半X3.5=7823, 6分所以、关于，的线性回归方程为&=号％+7823. 7分(2)当年份为2022年时，年份代码r=7, 8分所以&=呼乂7+7823=8769. 10分所以可预测2022年山东蔬菜的年产量为8769万吨. 12分解：（1）因为c=2asinCeosB+26sinCeosA,由正弦定理得sinC=2sinAsinCeosB+2sinBsinCeosA, 2分因为sinC¥0,所以sinAcosB+sinBcosA=y,所以sin（A+B）=-^"，即sinC=~^, 4分又sinC&sinB,所以cW仇所以OVCV},所以C=*. 6分（2）由（1）知C="1,又B=•^,所以6=c,A=孕， 8 分又SAABcu-^AsinA=-1"c2sin与=4悟，所以c=4,c=-4（舍）. 10 分在△ABD中,AD=»=4r=2,由余弦定理得BD1=AB2+AIy-2AB•ADcos冬=16+4+8=28,所以BD=2/・ 12分(1)证明:取AC的中点D,连接BD,CD,GA,则BDJ_AC, 1分因为CG=CA=2，NCCA=g,所以△ACC为等边三角形， 2分又D为AC的中点.所以CDJ_AC, 3分因为。1。03。=。.0。］。(2平面8“；，所以八(：_|_平面8/%；, 4分又BC,U平面BDC；,所以AC±BC,. 5分(2)解：由(1)知AC_L平面BDG,又ACU平面ABC,所以平面平面ABC, G 平面BDGn平面ABC=BD,故过C1作平面ABC的垂线，垂足为E,则E一定在直线 飞ABD上，因为BG与平面ABC所成的角为［■，所以NGBD=4 8分由题意知CiD=BD=悟,所以NCDB=学，TOC\o"1-5"\h\z所以BG=JbD2+GD2-2BD•CDeos§=J3+3—2X例X伍X（一-与）=3, 10 分所以GE=BGsiny=y.（或:由题意知CiD=BD=&，所以NGDE=奇，所以GE=GDsin号=&Xg=普）所以V=S&wc•C,E=yX2X2Xsin-1x-1-=^. 12分⑴解:因为四点（一瓶⑸，（0,一宿），（1,一方），（1,得）中恰有三点在椭0^上,且两点（1,—1）,（1,£）关于工轴对称，所以（1,—1）,（1,。）在椭圆。上,所以±+白=1. 2分a-46-若点（一悟，回也在c上,则看+卷=1,与上式联立，无解，故（一悟，同不在C上,所以点（0,-偌）在C上，所以b=R，所以a=2,所以椭圆C的方程为1+¥=1. 4分（2）证明：设M（0,m）（加＞0），N（0,〃），P（劭，加）（30＞0,外＞0）.由题意知F（—1,0）,所以「防=（—JCq,“一、0）,PN=（_Xo，〃一加）,FM=（1,）,FZ=（1,72）, 6 分因为PM_LPN,FM_LFN,所以前•前=0,前・FN=0,即忌+（m-y（））（n—y（））=0»1+mn=09 8 分所以4--*%+加〃一（6+〃）皿+«=0,71=一《，所以y什3（m—，）yo—9=0,7解得“=荷，或》o=-3〃"舍）. 10分由〃=一\＜。得点N在y轴的负半轴上，3所以隔=尚=7^0=3（定值）. 12分⑴解：/q)的定义域为(0,+8)/。)=?+1=号匕 1分当a>0时.//(工)>0在(0,+8)上恒成立,则"z)的单调递增区间为〈0,+8).没有单调递减区间； 2分当aVO时，当hC(0，一《)时，/(1)>0;当才6(一十，+8)时)(hXO, 3分贝V⑴的单调递增区间为(0,一十)，单调递减区间为(一看,+8). 4分(2)证明：由(1)可知，当。=一1时,的单调递增区间为(0,1).单调递减区间为(1,+8)；所以/(x)<f(l)=O,BP-lnx--++140,所以In工31—(r>0)(当且仅当l=1时取等号)所以当hG(0,1)时，lni>l-- 6分所以要证当了6(0,1)时，(工+1)2(1--只需证当xE(0,1)时，(辽+1)2(1—)<er(1—,即证炉〈(l+1)2. 7分方法1：令g(z)=e-(h+1*(0VzVl),则g'(z)=er-2(x+l),令/?(h)=g'(_r)=e'—2(z+1)，则h>Cjt'>=er—2,令，=e*-2=0,得>r=ln2, 8分当OVzVln2时,，(了)VO,/i(z)在(O,ln2)上单调递减,当In2<x<l时,，(〈了)在(In2,D上单调递增，/i(x)niin=/i(ln2)=eln2—2(ln2+l)=-2ln2<0, 9分XA<0)=e°-2=-l<0,A(l)=e-4<0,所以在工6(0,1)时"(工)=/〈7)〈0恒成立,所以8