2022年中考数学真题分类汇编 专题12 平行四边形与中位线（学生版+解析版）

专题12平行四边形与中位线一.选择题（2022•四川乐山）如图，在平行四边形A8CD中，过点。作DE0A8,垂足为E,过点8作8甩AC,垂足为F.若AB=6,F.若AB=6,AC=8,DE=4,则8F的长为（ ）D.2DF=2,则8。DF=2,则8。的长为（3.（2022•四川眉山）在“BC中,A.9B.12C.14D.16（2022•浙江宁波）如图，在他中，D为斜边AC的中点，E为80上一点，F为CE中点.若AE=A£）,D.4AB=4,BC=6,AC=8,点。，E,产分别为边AB,AC,BC的中点，则△力EF的周长为（）（2022•浙江绍兴）如图，在平行四边形A8C。中，4）=243=2,ZABC=60。，E,尸是对角线8。上的动点，且BE=DF,M,N分别是边AO,边BC上的动点.下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MEM"：③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是（）

A.1BA.1B.2C.3D.4（2022•浙江嘉兴）如图，在中，AB=AC=8,点E,F,G分别在边AB,BC,AC上，EF//AC,GF//AB,则四边形AEFG的周长是（ ）A.32 B.24 C.16 D.8（2022・四川达州）如图，在aABC中，点D,E分别是48,BC边的中点，点F在。E的延长线上.添加一个条件，使得四边形A£>”>为平行四边形，则这个条件可以是（ ）A.ZB=ZFB.DE=EF C.AC=CF D.AD=CF（2022•浙江丽水）如图，在aABC中，D,E,F分别是BC,AC,AB的中点.若AB=6,BC=8,则四边形BDEF的周长是（ ）（2022・湖南怀化）一个多边形的内角和为900。，则这个多边形是（ ）A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形（2022•四川南充）如图，在正五边形AB8E中，以AB为边向内作正aAB/，则下列结论错误的是（

DZEAF=NCBFDZEAF=NCBFC./F=/FAF（2022•湖南湘潭）在dABCO中（如图），连接AC,已知NB4C=4O。，NAC8=80。，则NBCD=（ ）10.B.100°A.80°D.140°12.（2022•河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（A.（202210.B.100°A.80°D.140°12.（2022•河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（A.（2022・湖南岳阳）下列命题是真命题的是（A.对顶角相等B.平行四边形的对角线互相垂直C.三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交D.三角分别相等的两个三角形是全等三角形（2022・河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设aABC与四边形8CZ5E的外角和的度数分别为a,4a,4，则正确的是（）A.a-夕=0B.a-6<0 C.a-j3>0D.无法比较a与夕的大小（2022・河南）如图，在菱形A8C。中，对角线AC,83相交于点O,点E为CC的中点.若OE=3,则菱形ABC。的周长为（ ）

ADADA.6 B.12 C.24 D.48（2022•山东泰安）如图，平行四边形ABC。的对角线AC,相交于点。.点E为BC的中点，连接EO并延长交AO于点F,ZABC=60°,BC^IAB.下列结论：①4B_LAC；（2）AD=4OE,③四边形AECf是菱形；④其中正确结论的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1（2022•山东滨州）下列命题，其中是真命题的是（）A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相平分的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形二、填空题（2022•江苏扬州）"做数学”可以帮助我们积累数学活动经验.如图，已知三角形纸片A8C,第1次折叠使点B落在BC边上的点8'处，折痕交BC于点£＞；第2次折叠使点A落在点。处，折痕MN交于点尸.若BC=点尸.若BC=12,则MP+的V=（2022•江苏连云港）如图，在qABCO中，ZABC=150°.利用尺规在BC、84上分别截取跖、BF,使BE=BF；分别以E、尸为圆心，大于g即的长为半径作弧，两弧在ZCBA内交于点G；作射线BG交DC于点H.若AO=>/J+1,则的长为.（2022•四川南充）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的48两点的距离，同学们在外选择一点C,测得4cBe两边中点的距离OE为10m（如图），则A,8两点的距离是m.（2022•湖南株洲）如图所示，己知NMON=60。，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线O"上，顶点E在射线ON上，则NAEO=度.N（2022•四川遂宁）如图，正六边形A8CDEF的顶点A、F分别在正方形8MGH的边8H、GH上.若正方形8MGH的边长为6,则正六边形ABCDEF的边长为.（2022•浙江舟山）正八边形的一个内角的度数是度.（2022•江西）正五边形的外角和等于1（2020•湖南湘西）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是.（2022•湖南常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片：......；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为.（2022•浙江台州）如图，在aABC中，NACB=90。，D,E,尸分别为A8,BC,C4的中点.若EF的长为10,则CD的长为.（2022•湖北荆州）如图，点E,尸分别在oABC。的边AB,CC的延长线上，连接EF,分别交A。，BC于G,H.添加一个条件使西氏祖3。尸〃，这个条件可以是.（只需写一种情况）（2022•江苏苏州）如图，在平行四边形ABC。中，A6_LAC,AB=3,AC=4,分别以A,C为圆心,大于;AC的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线，与BC交于点E,与交于点尸，连接4E,CF,则四边形AECF的周长为.（2022•湖南邵阳）如图，在等腰aABC中，ZA=120°,顶点B在qODEF的边OE上，已知NI=40。,贝.

DB EA DB C（2022•甘肃武威）如图，在四边形A8C。中，AB||DC,AD//BC,在不添加任何辅助线的前提下,要想四边形ABC。成为一个矩形，只需添加的一个条件是.A DB C（2022•山东滨州）如图，在矩形ABC£>中，AB=5,A£>=10.若点E是边4D上的一个动点，过点E作EF±AC且分别交对角线AC,直线8C于点O.F,则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为三、解答题（2022•浙江嘉兴）小惠自编一题：“如图，在四边形A8CD中，对角线AC,8D交于点。，AC3\BD,。8=若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打"V"；2若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明.OBOD.若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打"V"；2若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明.OB小惠：证明：\3ACSBD,OB=OD,朋C垂直平分8D.M8=AD,CB=CD,回四边形A8CD是菱形.小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明.

（2022•浙江温州）如图，在aABC中，AD_L8c于点D,E,F分别是AC,AB的中点，。是。尸的中点,EO的延长线交线段BO于点G,连结。£,EF,FG.⑴求证：四边形OEFG是平行四边形.（2）当AD=5,tan/EQC=g时，求尸G的长.（2022•云南）如图，在平行四边形A8CD中，连接8D,E为线段AD的中点，延长8E与C。的延长线交于点F,连接AF,EBDF=90°»（1）求证：四边形A8DF是矩形；⑵若AD=5,DF=3,求四边形A8CF的面积5.（2022•四川凉山）在RAM8c中，084C=90。，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作A用8c交CE的延长线于点F.⑴求证：四边形AD8F是菱形；⑵若A8=8,菱形AD8F的面积为40,求AC的长.BD

BD（2022•四川自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCO,把边8c固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）.⑴通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由A8旋转得到，所以硝= 我们还可以得到FC-,EF=；（2）进一步观察，我们还会发现E尸团AO,请证明这一结论；（3）已知8C=30cm,OC=80cm,若BE恰好经过原矩形OC边的中点H,求E尸与8c之间的距离.（2022•江苏宿迁）如图，在平行四边形ABCD中，点E、尸分别是A£）、8c的中点.求证：AF=CE.（2022•四川泸州）如图，已知点E、F分别在团ABCD的边AB、CD上，且AE=CF.求证:DE=BF.RR（2022•江苏扬州）如图，在qABCD中，BE、DG分别平分NA8C、ZADC,交AC于点E、G.(1)求证：BE〃DG,BE=DG；(2)过点E作EF_LAB,垂足为F.若nABCD的周长为56,EF=6,求AABC的面积.（2022・新疆）在“ABC中，点D,F分别为边AC,A8的中点.延长DF到点£,使DF=EF,连接8E.⑴求证：AADF^ABEF;（2）求证：四边形8CDE是平行四边形.（2022•湖南岳阳）如图，点E,尸分别在nABCD的边A8,BC上，AE=CF,连接OE,。尸.请从以下三个条件：①N1=N2；②DE=DF;③N3=N4中，选择一个合适的作为已知条件，使。为菱形.⑴你添加的条件是（填序号）；⑵添加了条件后，请证明为菱形.EB

EB(2022•湖北十堰)如图，qABCD中，AC,8。相交于点。，E,尸分别是04,0C的中点.⑴求证：BE=Z)F；(2)设防=般当k为何值时，四边形OE8F是矩形？请说明理由.(2022・湖南株洲)如图所示，点E在四边形ABC。的边A£)上，连接CE,并延长CE交84的延长线于点尸，已知= FE=CE.(1)求证：/XAEF^^DEC(2)^AD//BC,求证：四边形ABC。为平行四边形.(2022•江苏连云港)如图，四边形ABCO为平行四边形，延长AO到点E,使£)E=A£),且BELOC.⑴求证：四边形O8CE为菱形；(2)若△£>8C是边长为2的等边三角形，点、P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求尸M+PN的最小值.（2022•湖南常德）在四边形ABC。中，ZSM）的平分线AF交8c于F,延长AB到E使8£=尸。，G是AF的中点，GE交BC于O,连接GO.（1）当四边形4BCD是矩形时，如图，求证：①GE=GD；②BO-G£>=GO•尸C.（2）当四边形A8C。是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.（2022・湖北随州）如图，在平行四边形A8CD中，点E,F分别在边A8,CD上，且四边形8EDF为正方形.⑴求证A£=CF；（2）已知平行四边形A8CD的面积为20,48=5.求CF的长.（2022•湖南娄底）如图，以8c为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C,D,厂共线），动点A在以8c为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接"交BC于点O.设NG=6.⑴求证：无论。为何值，EF与BC相互平分：并请直接写出使所，8C成立的0值.⑵当。=90。时，试给出tanNABC的值，使得EF垂直平分4C,请说明理由.专题12平行四边形与中位线一.选择题TOC\o"1-5"\h\z（2022•四川乐山）如图，在平行四边形A8CD中，过点D作D£_LA8,垂足为E,过点8作8FLAC,垂足为F.若A8=6,AC=8,DE=4,则BF的长为（ ）AE 45A.4 B.3 C.- D.22【答案】B【分析】利用平行四边形A8CD的面积公式即可求解.【详解】解：：DE_LA8,BF1AC,:.S平行网”游ABCD=DExAB=2x；xACxBF,，4x6=2x；x8x8F,：.BF=3,故选：B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形A8CD的面积公式求垂线段的长是解题的关键.（2022•浙江宁波）如图，在用aABC中，D为斜边AC的中点，E为8D上一点，F为CE中点.若A£=A£）,A.2>/2 B.3 C.2石 D.4【答案】D【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE=A。，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得8。的长.【详解】解:为斜边AC的中点,F为CE中点，DF=2,：.AE=2DF=4,'：AE=AD,；.AD=4,在At/XA8c中，D为斜边AC的中点，：.BD^^AC=AD=4,故选：D.【点睛】本题考查宜角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题关键是求出AD的长.（2022•四川眉山）在aABC中，Afi=4.BC=6,AC=8,点D,E,尸分别为边AB,AC,BC的中点，则'的周长为（）A.9 B.12 C.14 D.16【答案】A【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出AA8c的周长=24。讦的周长.【详解】：D，E,F分别为各边的中点，...£>£、EF、DF是AA8C的中位线,：.DE=^BC=3,EF=^AB=2,DF=^AC=4, 的周长=3+2+4=9.故选：A.【点睛】本题考查了三角形中位线定理.解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系.（2022•浙江绍兴）如图，在平行四边形A8C。中，4）=243=2,ZABC=60。，E,尸是对角线8。上的动点，且BE=DF,M,N分别是边4。，边BC上的动点.下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF：③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF.其中正确的个数是（）CA.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可.【详解】如图，连接AC、与8D交于点。，连接ME,MF,NF,EN,MN,•.•四边形ABC。是平行四边形...CWWC,OB=OD;BE=DF：.OE=OF；点E、F时8D上的点，,只要M,N过点。，那么四边形MENF就是平行四边形.•.存在无数个平行四边形MENF,故①正确；只要MN=EF,MN过点。，则四边形MENF是矩形，:点E、F是8。上的动点，.•.存在无数个矩形MENF,故②正确；只要MNLEF,MN过点。，则四边形MENF是菱形；•:点、E、F是8。上的动点，.•.存在无数个菱形MENF,故③正确：只要MN=EF,MNLEF,MN过点。，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线.（2022•浙江嘉兴）如图，在aABC中，AB=AC=8,点E,F,G分别在边48,BC,AC上，EF//AC,GF//AB,则四边形AEFG的周长是（）AkBFCA.32 B.24 C.16 D.8【答案】C［分析】根据EF//AC,GF//AB,可得四边形AEFG是平行四边形,从而得到FG=A£,AG=EF,再由EF//AC,可得/8任=NC,从而得到N8=N8FE,进而得到8E=EF,再据四边形AEFG的周长是2（AE+EF）,即可求解.【详解】：VEF//AC,GF//AB,.,•四边形AEFG是平行四边形，:.FG=AE,AG=EF,VEF//AC,:.NBFE=NC,

'：AB=AC,，N8=NC,:.NB=NBFE,：.BE=EF,二四边形的'G的周长是2（AE+EF）=2（AE+BE）=〃8=2x8=16.故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键.（2022・四川达州）如图，在aABC中，点D,E分别是48,8c边的中点，点F在OE的延长线上.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（）A.ZB=ZF B.DE=EF C.AC=CF D.AD^CF【答案】B【分析】利用三角形中位线定理得到DE〃AC且DE=/aC,结合平行四边形的判定定理进行选择.【详解】解：’.•在8c中，D,E分别是A8,8c的中点，：.DE是△△8c的中位线，；.DE〃AC且DE=^AC,A、根据N8=NF不能判定CF〃A。，即不能判定四边形4DFC为平行四边形，故本选项错误.B、根据DE=£F可以判定DF=AC,由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确.C、根据AC=CF不能判定AC〃DF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误.D、根据AD=CF,FD〃AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.（2022•浙江丽水）如图，在aABC中，D,E,F分别是8C,AC,AB的中点.若48=6,BC=8,则四边形的周长是（）A.28 B.14 C.10 D.7【答案】B【分析】首先根据。，E,F分别是BC.AC,AB的中点，可判定四边形皿无尸是平行四边形，再根据三角形中位线定理，即可求得四边形瓦无下的周长.【详解】解：：。，E，F分别是8C,AC,A8的中点，EF、E£）分别是△ABC的中位线，EF//BC,E£）//AB且EF=1bC=Lx8=4,ED--AB=—x6=3,2 2 2 2四边形3£>E/是平行四边形，五=4,BF=ED=3,•••四边形瓦陀尸的周长为：BF+BD+ED+EF=3+4+3+4=\4,故选：B.【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形BZ死正是平行四边形是解决本题的关键.（2022・湖南怀化）一个多边形的内角和为900。，则这个多边形是（ ）A.七边形 B.八边形 C.九边形 D.十边形【答案】A【分析】根据“边形的内角和是（n-2）*180°,列出方程即可求解.【详解】解：根据〃边形的内角和公式，得（。-2）・180。=900。，解得。=7,,这个多边形的边数是7,故选：A.【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程.（2022•四川南充）如图，在正五边形AB8E中，以AB为边向内作正aAB/，则下列结论错误的是（）A.AE=AFBB.ZEAF=A.AE=AFBB.ZEAF=NCBFC.ZF=ZEAFD.NC=NE【答案】C【分析】利用正多边形各边长度相等，各角度数相等，即可逐项判断.【详解】解：；多边形AB8E是正五边形，,该多边形内角和为：（5-2）xl80°=540°,AB=AE,540°NC=NE=NE48=NABC=-y-=108。，故D选项正确；：aAB尸是正三角形，ZFAB=Z.FBA.=ZF=60°,AB=AF=FB,：.ZEAF=ZEAB-ZFAB=108°-60°=48°,Z.CBF=ZABC-ZFBA=108°-60°=48°,:.ZEAF=NCBF,故B选项正确；VAB=AE,AB=AF=FB,：.AE=AF,故A选项正确；VZF=60°,NE4尸=48。，.,.ZF^ZEAF,故C选项错误，故选：C.【点睛】本题考查正多边形的性质以及多边形内角和公式，熟练掌握正多边形"各边长度相等，各角度数相等”是解题的关键.（2022•湖南湘潭）在qABCO中（如图），连接AC,已知/BAC=40。，ZACB=80°,则NBCD=（）A.80°BA.80°B.100°C.120°D.140°【答案】C【分析】根据平行四边形的对边平行和两直线平行内错角相等的性质，再通过等量代换即可求解.【详解】解：,四边形ABCC为平行四边形，.•.A8〃CO：.ZDCA=ZCAB,,:NBCD=NDCA+NACB,ABAC=40°,ZACB=80°/.ZBCD=402+802=1209,故选：C.【点睛】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用.（2022•河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）【答案】D【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误；一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键.（2022•湖南岳阳）下列命题是真命题的是（）A.对顶角相等 B.平行四边形的对角线互相垂直C.三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交D.三角分别相等的两个三角形是全等三角形【答案】A【分析】根据对顶角性质判断A,根据平行四边形的性质判断B,根据三角形的内心定义判断C,根据全等三角形的判定定理判断D.【详解】A.对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A符合题意；B.菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B不符合题意；C.三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂宜平分线的交点是一个假命题，故C不符合题意：D.三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D不符合题意；故选：A.【点睛】本题考查了真命题与假命题的判断，对顶角的性质，平行四边形的性质，三角形的内心定义，全等三角形的判定，熟练掌握这些性质、定义、定理是解决问题的关键.（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设AABC与四边形BCCE的外角和的度数分别为a,。，则正确的是（）A.a-/J=G B.a-p<0C.a-夕>0 D.无法比较a与夕的大小【答案】A【分析】多边形的外角和为360。，△A8C与四边形BCCE的外角和均为360。，作出选择即可.【详解】解：•.•多边形的外角和为360。，

.♦.△A8C与四边形8COE的外角和a与广均为360。，：.a-/3=0,故选：A.【点睛】本题考杳多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为360。是解答本题的关键.（2022・河南）如图，在菱形ABCQ中，对角线AC,BO相交于点。，点E为CC的中点.若OE=3,则菱形A8CC的周长为（）A.6 B.12 C.24 D.48【答案】C【分析】由菱形的性质uj•得出50=00,AB=BC=CD=DA,再根据中位线的性质可得BC=2QE=6,结合菱形的周长公式即可得出结论.【详解】解：•.•四边形ABC。为菱形，：,B0=D0,AB=BC=CD=DA,•：OE=3,且点E为CO的中点，.〔OE是△BCD的中位线，/.BC=2OE=6.；.菱形4BCQ的周长为:4BC=4x6=24.故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出4。=6.（2022•山东泰安）如图，平行四边形A8CO的对角线AC,8£＞相交于点。.点E为8c的中点，连接E。并延长交A。于点F,ZABC=60°,BC=2AB.下列结论：①ABLAC；②A£）=4OE；③四边形AEC尸是菱形：④其中正确结论的个数是（）【答案】AD【答案】AD.1【分析】通过判定为等边三角形求得ZR4E=60°,利用等腰三角形的性质求得㈤C=30。，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含3（T直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④.【详解】解：：点E为BC的中点，.•.BC=25E=2CE,又•：BC=2AB,;.AB=BE,•.Z4BC=60°,.♦.AASE是等边三角形，.♦.NBAE=N5E4=60°,..ZE4C=ZEC4=30°.ZBAC=ZBAE+ZEAC=90°,即A8_LAC,故①正确；在平行四边形W＞中，AD//BC,AD=BC,AO=CO,：.ZCAD=ZACB,fZCAD=ZACB在AAOF和ACOE中，（OA=OC ,[^AOF=ZCOE■.MOF=^COE（ASA）,:.AF=CE,••・四边形AECF是平行四边形，又「AB"!.?!。，点E为BC的中点，：.AE=CE,・•・平行四边形AEC尸是菱形，故③正确；ACA.EF,在RtA8E中，ZACE=30P,：.OE=^CE=^BC=^AD,故②正确；在平行四边形ABC。中，OA=OC,又•••点E为8c的中点，••・SABO£=gsAB0c=：5必跋，故④正确；综上所述：正确的结论有4个，故选：A.【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30。的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键.（2022•山东滨州）下列命题，其中是真命题的是（）A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形B.有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相平分的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形【答案】D【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可.

【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意；有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意；对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键.二、填空题(2022•江苏扬州)"做数学”可以帮助我们积累数学活动经验.如图，已知三角形纸片A8C,第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处，折痕AQ交BC于点£>；第2次折叠使点A落在点。处，折痕MN交AB，于点、P.若8C=12,则MP+M/V=.A AMBDB'C DB'C第1次折叠 第2次折叠【答案】6【分析】根据第一次折叠的性质求得⑷=。夕=g89和4)_LBC,由第二次折叠得到AM=DW,MNA.AD,进而得到易得MN是aA£)C的中位线，最后由三角形的中位线求解.【详解】解：；已知三角形纸片ABC,第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处，折痕AD交BC「点D,：.BD=DB'=-BB',AD±BC.2,/第2次折叠使点A落在点。处，折痕MN交于点P,:.AM=DM,AN=ND,：.MN1AD,：.MN//BC."：AM^DM,：.MN是aA£>C的中位线，/.MP=-DB',MN=、DC.2 2VBC=12,BD+DC=Cff+2BD=BC,；.MP+MN=-DB'+-DC=-(DB'+DB'+B'C}=-BC=6.2 22V 72故答案为：6.【点睛】本题主要考查了折叠的性质和三角形中位线的性质，理解折叠的性质，三角形的中位线性质是解答关键.（2022•江苏连云港）如图，在qABC。中，ZABC=150°.利用尺规在8C、84上分别截取8E、BF,使BE=8b；分别以E、尸为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在NCBA内交于点G；作射线BG交DC于点H.若40=75+1,则8〃的长为.【答案】夜【分析】如图所示，过点H作8c于M,由作图方法可知，BH平分NABC,即可证明得到C〃=BC=6+1，从而求出HM,CM的长，进而求出8M的长，即可利用勾股定理求出8H的长.【详解】解：如图所示，过点H作HM_L8c于M,由作图方法可知，8”平分NA8C,:.NABH=NCBH,•.•四边形ABC。是平行四边形，/.BC=AD=y/3+l,AB//CD,:.NCHB=NABH,ZC=180°-ZABC=30",；.NCBH=NCHB,:.CH=BC=6+1,：.HM=-CH=^^-,2 2：.CM=dCH?-CM?= ,2/.BM=BC-CM,2BH=>JHM2+BM2=&-故答案为：血.【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的宜角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出C”的长是解题的关键.（2022•四川南充）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的48两点的距离，同学们在4B外选择一点C,测得AC,BC两边中点的距离OE为10m（如图），则A,8两点的距离是m.【答案】20【分析】根据题意得出DE为M8c的中位线，然后利用其性质求解即可.【详解】解：•.•点D、E为AC,8c的中点，：.DE为M8C的中位线，"：DE=10,：.AB=2DE=20,故答案为：20.【点睛】题目主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键.（2022•湖南株洲）如图所示，已知NMON=60。，正五边形ABCDE的顶点A、8在射线OM上，顶点E在射线QN上，则NAEO=度.N【分析】NE4O是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360。算出一个外角NE4O,再利用△OAE的内角和180。，即可算出【详解】•••四边形A8CDE是正五边形，NE4。是一个外角360°二NEAO=——=72°5在△QAE中:ZAEO=180°-ZEAO-AMON=180°-72°-60°=48°故答案为：48【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360。（2022・四川遂宁）如图，正六边形A8CDEF的顶点A、F分别在正方形8MGH的边8H、GH上.若正方形BMGH的边长为6,则正六边形ABCDEF的边长为H【答案】4【分析】连接8E,根据正六边形的特点可得BE//AF,根据含30度角的直角三角形的性质即可求解.【详解】如图，连接BE,,••正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形8MGH的边BH、GH±•••正六边形每个内角为180。-券=120。,8E为对称轴ZABE+ABA,F=180°/.AF//BE则ZABE=ZHAF=60°=NFEB则NA"/=30°,・.,正方形BMGH的边长为6AH1■, *AF2

AH=x>则％+2工=6解得x=2BA=2x=4故答案为：4【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键.（2022•浙江舟山）正八边形的一个内角的度数是一度.【答案】135【分析】根据多边形内角和定理：（n-2）・180。（n23且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.【详解】正八边形的内角和为：（8-2）xl80o=1080°,每一个内角的度数为：1080。+8=135。，故答案为135.（2022•江西）正五边形的外角和等于1.【答案】360【详解】试题分析：任何n边形的外角和都等于360度.考点：多边形的外角和.（2020•湖南湘西）一个正多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是.【答案】6【分析】利用正多边形的外角和以及正多边形的内角和定理即可解决问题.【详解】解：•••正多边形的外角和是360度，正多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720+180+2=6,.••这个多边形的边数为6.故答案为：6.【点睛】本题主要考查了正多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键.（2022•湖南常德）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片：从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；......；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为.【答案】6

【分析】根据多边形的内角和进行即可求解.【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°,10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为〃，.•.（5-2）xl80o+3xl80o+（4-2）xl80ox5+（n-2）xl80o=360o+360ox9,解得«=6.故答案为：6.【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键.（2022•浙江台州）如图，在aMC中，NACB=90。，D,E,尸分别为A8,BC,C4的中点.若EF的长为10,则CC的长为.【分析】根据三角形中位线定理求出AB,根据直角三角形的性质解答.【详解】解：•.£F分别为8C、AC的中点，，A8=2EF=20,VZACB=90",点。为A8的中点，/.CD=-AB=IO,2故答案为：10.【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、宜角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.（2022•湖北荆州）如图，点E,尸分别在nABCO的边。的延长线上，连接分别交AO,BC于G,H.添加一个条件使AAEG乌这个条件可以是.（只需写一种情况）D【答案】AE=CF（答案不唯一）【分析】由平行四边形的性质可得：NA=NC证明NE=N£再补充两个三角形中的•组相对应的边相等即可.【详解】解：；aABCD.\AB//CD,?A?C,\?F?E,所以补充：AE=CF,：.△AEG9XCFH,故答案为：AE=CF（答案不唯-）【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握“平行四边形的性质与利用ASA证明三角形全等”是解本题的关键.（2022•江苏苏州）如图，在平行四边形A8C。中，AB1AC,AB=3,AC=4,分别以A,C为圆心,大于;AC的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线，与BC交于前E,与AO交于点F,连接4E,CF,则四边形AECF的周长为.N【答案】10【分析】根据作图可得MN,AC,II.平分AC,设AC 的交点为。，证明四边形AECF为菱形，根据平行线分线段成比例可得AE为的中线，然后勾股定理求得8C,根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得AE的长，进而根据菱形的性质即可求解.【详解】解：如图，设AC与MN的交点为O,根据作图可得MV1.AC,且平分AC,.•.AO=OC,•••四边形ABC。是平行四边形，，A£>〃BC, 必O=NOCE,又•.•ZAOF=NCOE,AO=CO,:.^AOF^^OE,AF=EC,.•A/〃C£,.•・四边形AEC尸是平行四边形，.•MN垂直平分AC,.•.E4=EC,.♦.四边形AEC尸是菱形，BFOC：ABA.AC,MNLAC,EF//AB,=——=1,.・.E为8c的中点，ECAO△ABC中，AB=3,AC=4,BC=>IaB2+AC2=5>BC=1,•••四边形AECF的周长为4AE=10.故答案为：10.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键.(2022•湖南邵阳)如图，在等腰aABC中，乙4=120。，顶点8在qODEF的边DE上，已知4=40。，贝l」N2= .【答案】1109【分析】先根据等腰三角形的性质求出NA8c的度数；再根据平行四边形对边平行和两直线平行同旁内角互补的性质，得出/2+NA8E=180。，代入求解即可.【详解】解：：aABC是等腰三角形，ZA=1209, Z/40C=ZC=(18O9-Z4)-i-2=3Oe,；四边形ODEF是平行四边形，

J.OF//DE,N2+NA8E=18(P,即/2+30。+40。=1809,/.Z2=1109.故答案为：1109.【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识求解.（2022•甘肃武威）如图，在四边形A8C。中，AB||DC,AD//BC,在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABC。成为一个矩形，只需添加的一个条件是.【答案】NA=90°（答案不唯一）【分析】】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论.【详解】解：需添加的•个条件是/A=90。，理由如下：'JAB//DC,AD//BC,四边形ABCD是平行四边形，又；Z4=90°,平行四边形A8CD是矩形，故答案为：NA=90。（答案不唯一）.【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键.（2022•山东滨州）如图，在矩形A8CO中，AB=5,AD=l0.若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF±AC且分别交对角线AC,直线BC于点O、F,则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为【答案】2【答案】2【分析】过点D作及尸交8c于M,过点A作产，使AN=E7"连接NE,当N、E、C三点共线时，AF+FE+EC>CN+AN,分别求出CN、AN的长度即可.过点D作〃防交8c于M,过点A作AN/EF,使AN=EF,连接NE,四边形ANEF是平行四边形，,AN=EF,AF=NE,••当N、E、C三点共线时，AE+CE最小，••四边形A8CD是矩形，AB=5,AD=10,：.AD=BC=\0,AB=CD=5,AD//BC,ZABC=90°,AC=>JAB2+BC2=5>/5>■1•四边形EFMD是平行四边形，DM=EF,：.DM=EF=AN,EFA.AC,DM±AC,ANVAC,.•.NCW=90°,/.ZMDC+ZACD=90°=ZACD+ZACB,z.ZMDC=ZACB,tanNMDC-tanAACB.即—■-=—-,MC=—,CDBC 2在MaCDW中，山勾股定理得DMZCD'CM。=隹=AN,2在RfMCN中,由勾股定理得CN=JaC:+AN2=",.-AF+FE+EC>CN+AN, AF+FE+EC>2515^,2.•.AF+FE+EC的最小值为史巨5,故答案为：2"5爪.2 2

【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解宜角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键.三、解答题（2022•浙江嘉兴）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC,8D交于点。，AC1BD,OB=OD.求证：四边形A8CD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流.小惠:证明：'：AC±BD,。8=证明：'：AC±BD,。8=。。,小洁:；.AC垂直平分8D.这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明.：.AB=AD,CB=CD,能证明.四边形ABC。是菱形.若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打"V"：若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明.【答案】赞成小洁的说法，补充OA=OC证明见解析【分析】先由。8=OD,O4=OC,证明四边形A8C3是平行四边形，再利用对角线互相垂直，从而可得结论.【详解】解：赞成小洁的说法，补充。4=OC证明：'：OB=OD,OA=OC,••・四边形A8CO是平行四边形，ACL8D,二四边形A8CD是菱形.【点睛】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，掌握"菱形的判定方法”是解本题的关键.（2022•浙江温州）如图，在aABC中，8c于点D,E,F分别是AC,AB的中点，。是。产的中点,EO的延长线交线段8。于点G,连结OE,EF,FG.A⑴求证：四边形OEFG是平行四边形.(2)当A£>=5,tanNE£)C=g时，求尸G的长.【答案】⑴见解析⑶卑2【分析】(1)根据E，尸分别是AC,48的中点，得出即〃8C,根据平行线的性质，得出NFEO=NZX7O,ZEFO=ZGDO,结合。是。产的中点，利用"AAS"得出△EFg/XGOO,得出防=G£>,即可证明。EFG是平行四边形：(2)根据ADLBC,E是AC中点，得出DE=[AC=EC,即可得出tanC=tanNEOC=』，即器=g，根据4)=5,得出8=2,根据勾股定理得出4：的长，即可得出DE,根据平行四边形的性，得出FG=DE=—.2解：(1)VE,F分别是AC,A8的中点，/.EF//BC.:.NFEO=NDGO,N£FO=4GDO,•.•。是。尸的中点，FO=DO,：.^EFO^^GDO(AAS),/.EF=GD,二四边形DEFG是平行四边形.VADLBC,E是AC中点，二DE=-AC=EC,2二NEDC=NC,tanC=tan/EDC=—,2.AD5••~，DC28=2,:.DE=-AC=-\/aD2+CD2=-x>/52+22=^~・..四边形DEFG为平行四边形,：.FG=DE=-2【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明△EFO^XGDO,是解题的关键.34.(2022•云南)如图，在平行四边形A8CD中，连接8D,E为线段4)的中点，延长8E与CD的延长线交⑴求证：四边形ABDF是矩形；⑵若AD=5,DF=3,求四边形A8CF的面积5.【答案】⑴见解析；(2)18.【分析】(1)根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得即可得到A8=DF,从而证明四边形ABDF是平行四边形，再根据N8DF=90。即可证明四边形A8DF是矩形；(2)根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到A8=DF=3,AF=4,由平行四边形性质求得CF=6,最后利用梯形的面积公式计算即可.(1)证明：•••四边形A8CD是平行四边形，：.AB//CD,即A8〃CF,；.NBAE=NFDE,为线段AD的中点，：.AE=DE,又•；NAE8=/DEF,/./\ABE^/\DFE(ASA),：.AB=DF,又，：AB〃DF,四边形A8DF是平行四边形，VNBDF=90°,二四边形A8DF是矩形；⑵解：山(1)知，四边形A8DF是矩形,：.AB=DF=3,NAFD=90°,...在MaADF中，AF=yjAD2-DF2=V52-32=4',/四边形ABCD是平行四边形,：.AB=CD=3,：.CF=CD+DF=3+3=6,/.S=-(/lB+CF).AF=-x(3+6)x4=18.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键.35.(2022•四川凉山)在RtZ\A8C中，ZBAC=90°,。是8c的中点，E是AD的中点，过点A作AF〃8c交CE的延长线于点F.⑴求证：四边形ADBF是菱形；(2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40,求AC的长.【答案】⑴见解析(2)10【分析】(1)证AAEF丝△DEC(AAS),得AAEF乌△£>£(?(AAS),再证四边形AD8F是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD=8D=g8C,即可由菱形判定定理得出结论；(2)连接DF交AB于O,由菱形面积公式S=AD8F=gAB-DF=40,求得OD氏，再由菱形性质得OA=OB,证得OD是三角形的中位线，由中位线性质求解可.⑴证明：是AD的中点，：.AE=DE9：AF//BCf：./AFE=NDCE,在ZkAEF和ADE8中，(ZAFE=ZDCE(ZAEF=/DEC,[AE=DE：./^AEF^^DEC(AAS),：.AF=CD,YD是8c的中点，,CD=BD,：.AF=BD,：.四边形ADBF是平行四边形，VZB4C=90°,•・•。是BC的中点，：.AD=BD=^BC,，四边形4D8F是菱形：(2)解：连接DF交A8于。，如图：.AB.LDF,。八二!48=!x8=4,S.ADBF=-AB-DF=40,2 2 2—DFx8=40，2，DF=10,：.OD=S,•.•四边形AD8F是菱形，，。是A8的中点，•..。是8c的中点，/.OD是△8AC的中位线，.".AC=2OD=2x5=10.答:AC的长为10.【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.36.（2022•四川自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD,把边8c固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）.⑴通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段£B由A8旋转得到，所以£B=M.我们还可以得到FC=,EF=；⑵进一步观察，我们还会发现E尸〃AO,请证明这一结论：⑶已知BC=30cm,E>C=80cm,若BE恰好经过原矩形OC边的中点H,求所与8c之间的距离.【答案】⑴CD,AD-,(2)见解析；(3)fF于BC之间的距离为64cm.【分析】(1)由推动矩形框时，矩形ABCD的各边的长度没有改变，可求解：(2)通过证明四边形8EFC是平行四边形，可得结论；(3)由勾股定理可求8"的长，再证明A8CHs48GE,得到也="，代入数值求解EG,即可得到答案.BEEG⑴解：•；把边BC固定在地面上，向/推动矩形框，矩形框的形状会发生改变(四边形具有不稳定性).二由旋转的性质可知矩形ABCD的各边的长度没有改变，：.AB=BE,EF=AD,CF=CD,故答案为：CD,AD；⑵解：：四边形A8CD是矩形，J.AD//BC,AB=CD,AD=BC,"：AB=BE,EF=AD,CF=CD,ABE=CF,EF=BC,，四边形8EFC是平行四边形，：.EF//BC,：.EF//ADi解：如图，过点E作£G_L8c于点G,'：DC=AB=BE=80cm，点H是CD的中点,CH=DH=40cm,在RtABHC中，NBCH=90°,BH=^IbC2+CH2=V402+302=50(cm),EGLBC,.♦./EG8=N8CH=90°,：.CH//EG,：.4BCHSABGE,.BHCH•50_40"80"EG'；.EG=64,,/EF//BC,：.EF与BC之间的距离为64cm.【点睛】此题考查r矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识,灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.（2022•江苏宿迁）如图，在平行四边形ABC。中，点E、尸分别是AD、8c的中点.求证：AF=CE.【答案】见详解【分析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等"的性质证得结论.【详解】证明：•..四边形ABCD是平行四边形，，AD〃BC,AD=BC；又•点E、F分别是AD、BC的中点，；.AE〃CF,AE=CF=yAD,二四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），•••AF=CE（平行四边形的对边相等）.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质.平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.（2022・四川泸州）如图，已知点E、F分别在nABCD的边AB、CD上，且AE=CF.求证：DE=BF.【答案】证明详见解析.【分析】由"平行四边形ABCD的对边平行且相等”的性质推知AB=CD,AB〃CD.然后根据图形中相关线段间的和差关系求得BE=FD,易证四边形EBFD是平行四边形，即可得出结论.【详解】证明：•••四边形ABCD是平行四边形，；.AB=CD,AB//CD.VAE=CF.：.BE=FD,BE/7FD,四边形EBFD是平行四边形，/.DE=BF.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.(2022•江苏扬州)如图，在oASCO中，BE、DG分别平分NABC、ZADC,交.AC于点E、G.⑴求证：BE//DG,BE=DG.(2)过点E作防垂足为F.若048。0的周长为56,EF=6,求AABC的面积.【答案】(1)见详解(2)84【分析】(1)由平行四边形的性质证AA8E=ACE>G(ASA)即可求证;(2)作EQLBC,由5"此=5.£+5但。即可求解;证明：在nABC£)中，•/AB//CD,/.NBAE=NDCG,BE、DG分别平分ZABC,ZADC,ZABC=ZADC,二ZABE=NCDG,在AABE和ACDG中，[ZBA£=ZDCG•；\ab^cd[^ABE=ZCDG：.^ABE=^CDG(ASA),/.BE=DG,ZAEB=NCGD,/.BE//DG.如图，作EQLBC,nA8C£）的周长为56,/.AB+BC=28,■:BE平分4BC,EQ=EF=6,S35®e+S^bc=^EFAB+^EQBC=3（A8+8C）=84.【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键.（2022•新疆）在aABC中，点。，F分别为边AC,A8的中点.延长。F到点E,使"'=EF,连接8E.⑴求证：ZhADF煦/\BEF;（2）求证：四边形8CDE是平行四边形.【答案】（1）见解析⑵见解析【分析】（1）利用SAS直接证明；（2）利用八4£＞尸丝防和已知条件证明0c=8E,"〃BE即可推出四边形8CDE是平行四边形.⑴证明：•••点F为边AB的中点，/.BF=AF,在t.ADF与aBEF中，[AF=BF（^AFD=NBFE,[DF=EF：.AADF/△BEF（SAS）•⑵证明：..,点。为边AC的中点，/.AD=DC.由（1）得A4D4=AH/M,/.AD=BE,ZADF=NBEF,/.DC=BE,DCUBE,四边形8CDE是平行四边形.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定方法，难度较小，根据所给条件正确选用平行四边形的判定方法是解题的关键.（2022•湖南岳阳）如图，点E,尸分别在qABC£＞的边AB,BC上，AE=CF,连接OE,DF.请从以下三个条件：①4=N2；②DE=DF;③N3=N4中，选择一个合适的作为已知条件，使nA8a）为菱形.⑴你添加的条件是（填序号）；⑵添加了条件后，请证明nABCD为菱形.D CEB【答案】⑴①（2）见解析【分析】（1）添加合适的条件即可；（2）证△ADE/△O（A4S）,得4）=C£）,再由菱形的判定即可得出结论.⑴解：添加的条件是N1=N2.故答案为：①.（2）证明：•.•四边形A8CD是平行四边形，,NA=NC,Z1=Z2在aADE和aCDF中，，44=NC,AE=CF：./^ADE^Z^CDF（AAS）,AD^CD,aABCD为菱形.【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键.（2022・湖北十堰）如图，uABCD,AC,8£＞相交于点。，E,F分别是。4,OC的中点.⑴求证：跖=。产；（2）设照=&,当％为何值时，四边形DEB厂是矩形？请说明理由.dL）【答案】⑴证明见解析（2）当k=2时，四边形尸是矩形，理由见解析【分析】（1）连接。£8尸，先根据平行四边形的性质可得OA=OC,OB=。。，口根据线段中点的定义可得OE=goA= =OF,然后根据平行四边形的判定可得四边形尸是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证；（2）先根据矩形的判定可得当8。=防时，四边形尸是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形的性质可得AC=2M,由此即可得出％的值.（1证明：如图，连接。28尸，£'•••四边形ABC。是平行四边杉，.•.OA=OC,OB=OD.•••E,尸分别是OC的中点，..OE=；QA=goC=OP，四边形尸是平行四边形，.•.8E=OF.（2）解：由（1）已证：四边形OEBF是平行四边形,要使平行四边形OEB厂是矩形，则8。=所,•.•OE=-OA=-OC=OF,2 2:.EF=OE+OF=-OA+-OC=OA=-AC,KPAC=2EF,2 2 2Ar7FF••k=M=坪=2,故当&=2时，四边形£>EBF是矩形.BDEF【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键.（2022•湖南株洲）如图所示，点E在四边形ABCO的边AZ）上，连接CE,并延长CE交B4的延长线于点、F,已知AE=£)E,FE=CE.⑴求证：△AfFgMEC；（2）若AO〃BC,求证：四边形A8CO为平行四边形.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）利用SAS可以直接证明“石尸四△£）&7；（2）由ZV1E尸丝△£阳（7可得"E=NDCE,由内错角相等，两直线平行，得出A尸〃。C,结合已知条件AO〃8C即可证明四边形ABC。为平行四边形.（1）证明：ZAEF与NDEC是对顶角，/.ZAEF=NDEC,在AAEF1jADEC中，[AE=DE（ZAEF=ZDEC,[FE=CE：.AAE厘/\DEC（SAS）（2）证明：由（1）知AM下/△£>£《，/.ZAFE=ZDCE,：.AFI/DC,:点F在BA的延长线上，；.ABHDC,又；4£）〃3。，...四边形48。。为平行四边形.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定和平行四边形的判定，难度较小，熟练掌握全等三角形、平行线及平行四边形的判定方法是解题的关键.（2022•江苏连云港）如图，四边形ABC£>为平行四边形，延长到点E,使DE=A£>,且8ELDC.（1）求证：四边形O8CE为菱形；（2）若△08C是边长为2的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，求PM+/W的最小值.【答案】（1）证明见解析⑵6【分析】（1）先根据四边形ABCO为平行四边形的性质和DE=AD证明四边形。8CE为平行四边形，再根据BELOC,即可得证；（2）先根据菱形对称性得，得到PM+PN=PM+/W',进一步说明PM+PN的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解.⑴证明：：四边形A8c。是平行四边形，〃BC,AD=BC.VDE=AD-ADE=BC,又；点E在AO的延长线上，8C,...四边形O8CE为平行四边形，又BELDC,/.四边形DBCE为菱形.⑵解：如图，由菱形对称性得，点N关于BE的对称点”在OE上,,PM+PN=PM+PN',当P、M、N'共线时，PM+PN=PM+PN'=MN',过点。作垂足为“，■:DE//BC,：.MN'的最小值即为平行线间的距离DH的长，•；△OBC是边长为2的等边三角形，...在中，Z£>BC=60°,DB=2,sinNDBC=空,DB/.DH=DB.sinNDBC=2x^=62二/W+/W的最小值为【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，运用了转化的思想方法.将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键.45.（2022•湖南常德）在四边形ABCO中，ZSAD的平分线AF交