2022年中考数学压轴题答案解析

2022年中考数学压轴题.已知在梯形4BC£)中，AD//BC,AC^BC=\0,cosZACB=^,点E在对角线AC上(不与点4、C重合)，NEDC=ZACB,OE的延长线与射线C8交于点尸，设的长为x.(1)如图1,当。F_L8C时，求40的长：(2)设£C=y,求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域：(3)当△。厂C是等腰三角形时，求彳。的长.过点A作AHVBC交于点H,AH=AC-sina=6=DF,8/7=2,如图1,设：FC=4a,4：.cosZACB= 则Er=3。，EC=5a,■:NEDC=Na=NCAD,NACD=N4CD,:.△ADCs^DCE,：.AC・CE=CN=DF2+FC2=36+16/=10•5a,9解得：a=2或言（舍去a=2）,o7AD=HF=\0-2-4a=（2）过点。作4）交Z。的延长线于点从HCN=CHOdh2=(ZCsina)2+(ZCcosa-x)2,即：82=36+(8-x)2,由(1)得：AC*CE=CD1,即：'=存'一|^+10(0<x<l6且xWlO)…①，(3)①当。>=OC时，NECF=NFDC=a,NDFC=ZDFC,：.ADFCs△CFE,:DF=DC,:・FC=EC=y,Ax+y=10,即：10= 10+x,解得：x=6；②当FC=DC,则NQFC=N/7)C=a,则：EF=EC=y,DE=AE=\0-yf,_...“.. . -syADix4在等腰△力£)E中，cosZDJ£=cosa=9芯=——=早/ic iu-y□即：5x+8y=80,将上式代入①式并解得：x=当；③当FC=FD,则/尸。。=/尸£^=(1,而NECF=aWNFCD,不成立,故：该情况不存在；39故：Z。的长为6和二".4.已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形Z6。。是顶点坐标分别为4(3,0)、B(3,4)、C(0,4).点。在y轴上，且点。的坐标为(0,-5),点尸是直线4c上的一动点.

(1)当点尸运动到线段4C的中点时，求直线。尸的解析式(关系式)；(2)当点尸沿直线4c移动时，过点。、尸的直线与x轴交于点问在x轴的正半轴上是否存在使△COM与△48C相似的点M?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点尸沿直线4c移动时，以点尸为圆心、R(/?>0)为半径长画圆.得到的圆称AC为动圆P.若设动圆尸的半径长为三，过点力作动圆尸的两条切线与动圆P分别相切于点、E、F.请探求在动圆尸中是否存在面积最小的四边形。EPF?若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由.方法一：解：(1)过点尸作尸〃〃。4,交OC于点”，如图1所示.■:PH〃OA,:•△CHPsACOA..HPCHCP^0A~CO~CA丁点P是4C中点，1：.CP=2CA-11；・HP=NA,CH=^CO.*：A(3,0)、C(0,4),：.OA=3,0c=4.3：.HP=J,CH=2.

：.OH=2.,:PH〃OA,ZCOA=90°,：.ZCHP=ZCOA=900.3，点尸的坐标为(5,2).设直线DP的解析式为》=履+6,3,:D(0,-5),P2)在直线0尸上,...直线DP的解析式为y=竽x-5.(2)①若dDOMs^ABC,图2(1)所示,•丛DOMs4ABC,DOOM布二正•点8坐标为（3,4）,点。的坐标为（0,-5）,・BC=3,”=4,OD=5.5OM4=~♦OM=•点”在x轴的正半轴上,15•点M的坐标为手。）②若ADOMsACBA,如图2(2)所示,":△DOMs^CBA,DOOMCB~BA•・・8C=3,48=4,OD=5,5OM3=~・・,点A/在x轴的正半轴上,.•.点M的坐标为（石，0）.15 20综上所述：若△QOA/与△C84相似，则点〃的坐标为（二，0）或（彳，0）.4 3V0/1=3,OC=4,ZAOC=90°,：.AC=5.:・PE=PF=1jC=j.:DE、。尸都与O尸相切，:・DE=DF,NDEP=NDFP=90°.:・Saped=S&pfd.:.S四边形。£尸尸=2SaP££>=2xgpE・DE=PE・DE5=*E.VZDEP=90°,・・。序=。户-PE2.=z）尸一竿.根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当。尸_L4C时，DP最短,此时QE取到最小值，四边形0EPF的面积最小.VDPUC,/.ZDPC=90°.:.NAOC=ZDPC.：/OCA=/PCD,NAOC=NDPC,：.AAOCsADPC.eAOAC"DP-DCJO=3,AC=5,DC=4-（-5）=9,.3 5「DP-9':.de2=dp2-^2291'Too-••S四边形DEPL]DE/2291=4•...四边形DEPF面积的最小值为“:1.方法二：A(3,0),C(0,4),•.•尸为4C的中点，.•.尸尸争=|,尸尸警=2,3：.P(-,2),,：D(0,-5),...直线DP的解析式为y=岁-5.(2)若△£>■与△ZBC相似，则NOOM=NOCZ或/OOM+NOC=9(T,①当NODM=ZOCA时，则KaLKdm=0,'：A(3,0)、C(0,4),•：D(0,-5),当y=0时，x=竽,AA/i(—,0)>4②当NOQM+NOC4=90°时，DMLAC,

:.KdmXKac=-1，4 3・.・K/c=一半：.Kdm=t,j 4VD(0,-5),当y=0时，x=20/.A/2(~»0).4(3)易知MC：y=一于r+4,•点P在直线4c上，设尸"-1/+4),：.DE=24t+隼,耨t2-24t+8：.DE=24t+隼,耨t2-24t+81,当'=翳时，S四边形。EPF有最小值,3.如图，在中，ZACB=90°,以斜边48上的中线CQ为直径作OO,与BC交于点与的另一个交点为E,过“作A/NLZ8,垂足为N.(1)求证：MN是。。的切线；

(2)若0。的直径为5,sin5=J,求EO的长.•：OC=OM,：・4OCM=4OMC,在Rt△48C中，CQ是斜边45上的中线,：.CD=^AB=BD,:・/DCB=/DBC,：,/OMC=ZDBC,：・OM〃BD,・：MN上BD,：.OMLMN,・・・OM过O,・・・MN是。。的切线；(2)解：连接DW,CE,〈CO是OO的直径，:・NCED=90°,NDMC=90°,即 CELAB.由（1）知：BD=CD=5,・•・加为8c的中点，3VsinB=耳，-p_4•・COS£）=弓，在RtZ\5A/£）中，BM=BDsB=4,:.BC=2BM=8,在RtACEB中，BE=BC・cosB=拳32 7:.ED=BE-8£>=昔-5=?4.已知NMPN的两边分别与OO相切于点4B,。。的半径为r.（1）如图1,点C在点48之间的优弧上，NMPN=80°,求N/C8的度数；（2）如图2,点C在圆上运动，当尸C最大时，要使四边形4P8C为菱形，NZP8的度数应为多少？请说明理由；（3）若尸C交。。于点D,求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）.图1 图2 （备用图）【解答】解：（1）如图1,连接。4,OB,图1'：PA,P8为。。的切线,:.NP4O=NPBO=90°,

VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360°,：.N4PB+N/OB=180°,VZJP5=80°,.,.N/08=100°,：.ZACB=50°；(2)如图2,当乙4尸8=60°时，四边形ZP8C是菱形,连接。1,OB,由(1)可知，NAOB+N4PB=180°,VZJP5=60",.,.408=120°,/.ZACB=60°=NAPB,•.•点c运动到尸c距离最大，...PC经过圆心，,：PA,尸8为。。的切线，:.PA=PB,NAPC=NBPC=30°,又,：PC=PC,:.△APg/\BPC(SAS'),：.N4CP=NBCP=30°,AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30°,：.4P=AC,：.AP=AC=PB=BC,，四边形ZP8C是菱形；(3);。。的半径为r,J.OA^r,0P=2r,

：.AP=V3r,PD=r,VZJOP=90°-ZAPO=60°,，助的长度=6；8：丁=^r,・•・阴影部分的周长=以+尸。+丽=百出+等=（V3+1+J）r..如图，以为OO的切线，尸8c为。。的割线，力。，。尸于点O,△力OC的外接圆与8c*：*：OALAP,ADLOP.J由射影定理可得：PA2=PD.PO,4）2=尸。・。。…（5分）又由切割线定理可得PA2=PB・PC,:・PB*PC=PD・PO,:・D、B、C、。四点共圆，…（10分）:・NPDB=NPCO=NOBC=NODC,/PBD=NCOD,:ZBOsAcod,PDBD—PDBD—,…（15分）CD0D:.bd・cd=pd・od=ad2,BDAD又N8O/=N8OP+90°=ZODC+90°=ZADC,:.ABDAsAADC,：・NBAD=/ACD,：.AB是△40。的外接圆的切线,:・NBAE=/ACB.

7.如图，点4为y轴正半轴上一点,4,8两点关于x轴对称，过点力任作直线交抛物线y=^x2于尸，。两点.(1)求证：NABP=N4BQ（2）若点4的坐标为（0,1）,且NP8°=60°,试求所有满足条件的直线尸°的函数。作y。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点力的坐标为（0,1）,则点8的坐标为（0,-Z）.设直线尸。的函数解析式为y=h+f,并设尸，。的坐标分别为（xp,yp）,（X0,y0）.由y=kx+ty=1x2工日 3,Hn,2JJ^XpXQ=—即t=-XpXq.29I4， 2n2 2, 、yp+t+t -Xpz-XpXQ -Xp(%p-Xq)yp+t-2 -2 2 —2%+, /q2+£ -XQ2-XpXQ -XQ(XQ-Xp)— xp”…BCPC又因 ="-，所以，7；=右XqBDQD因为NBCP=/BDQ=90°,所以ABCPsABDQ,故NABP=NABQ；(2)解：设尸C=a,DQ=b,不妨设。26>0,由(1)可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=Wb,所以4c=8q—2,AD=2一6b.因为尸。〃。0,所