2022年中考数学压轴题押题含答案解析

2022年中考数学压轴题1.已知，点/（10,0）B（6,8）,点尸为线段04上一动点（不与点4、点。重合），以R1为半径的。P与线段48的另一个交点为C,作CDLOB于O（如图1）（1）求证：8是。尸的切线；（2）求当。尸与08相切时。尸的半径：（3）在（2）的情况下，设（2）中。尸与08的切点为E,连接尸8交CO于点尸（如图2）①求CF的长；②在线段OE上是否存在点G使NGPF=45°?若存在，求出EG的长：若不存在，请说明理由.解：（1）连接PC,过8作8MLx轴于点N.'：PC=PA（。尸的半径），/.Z1=Z2（等边对等角）.'：A（10,0）,B（6,8）,：.OA=\0,BN=8,0N=6,...在Rt^OBN中，OB="、2+8中2=1。（勾股定理），：.OA=OB,:.NOBA=N1（等边对等角），；.NOBA=N2（等量代换），J.PC//OB（同位角相等，两直线平行）."：CDLOB,：.CDLPC,.♦.CO为。。的切线；(2)如图2,过8作轴于点N,设圆尸的半径为八•：G)P与OB相切于点E,则OBLPE,04=10,, . PFr...在RtZXOPE中,sinZEOP=-^=^,在RtAOBN中，sinN8ON=嗯=枭=鼻,UD1U5r410-r=5*(3)①如图3,•.•由(2)知片等...在RtZXOPE中，0E=70P2-PE?=J(10—9)2—(等)2=学(勾股定理),VNPCD=NCDE=NPED=9G°,...四边形尸COE是矩形.又,：PE=PC(0O的半径)，二矩形PCOE是正方形，40：.DE=DC=r=拳:.BD=OB-OE-DE=10-学一等=等■:NBFD=NPFC,NPEO=NPCF=90°,:.△BDFsXPCF,20 40s吧=竺即亘=三竺PC。尸’竺CF9解得，b=招，即CF的长度是震;乙/ 27②假设在线段DE上是否存在点G使NGP/=45°如图4所示，在线段E尸上截取EQ=EG.•：OBLPE,：.ZGQE=45°,・・・NGQP=135°.

・・,四边形尸CDE是正方形,l4072：.PD=>/2PC=NEPD=NPDC=45°,，N2+N3=450.VZFPG=45°,，N1+N2=45°AZ1=Z3:/BDP=NBDC+/PDC=900+45°=135°:・/GQP=/BDP:.XGQPsXBDP.GQPQ・丽=PD・・。£*=学，OE=等，08=10,20：.BD=OB-ED-OE=学设EG=a,则GQ=y/2a,PQ=PE-EQ=等-a,V2a2040V29V

40V292.直角坐标系中，正方形0/18C的边0C、0/分别在x轴、y轴上，力点的坐标为(。，4).(1)如图1,将正方形。48c绕点。顺时针旋转30°得正方形。。EF,边DE交BC于G,求G点坐标.(2)如图2,。。1与正方形力8C。四边都相切，直线切。。1于P,分别交歹轴、x轴、线段8c于V、N、Q.求证：OiN平分NMOi。.(3)如图3,点，与点8关于y轴对称，T为C4延长线上一点，灯为过7、〃、4的。。2直径，对于结论：@AT+AS,②AT-AS.其中只有一个正确，请作出判断并证明你的结论，求出其值.（1）解：连接OG,如图①，・,正方形OABC绕点0顺时针旋转30°得正方形ODEF,：.ZAOD=30°,OD=AB9：.ZDOC=60°,：OD=OC,NO=NOCG,OG公共，RtAODG^RtAOCG,:.4DOG=/COG,・・NCOG=30°,・Z点的坐标为（O,4）,四边形CM8C为正方形，：.OC=OA=4f,rr—行4右•・CCj-3 ――~,4V3.•・G点坐标为（4,—）；（2）证明：•:BQ//AM,:.NBQM+N4MQ=180°,根据切线长定理，ZOiQM+ZOiMQ=180°x|=90°,/.ZA/Oi0=18O°-90°=90°,由切线长定理/NOi0=45°,；.O1M平分NMO10:(3)解：4T-/S的值是定值为4VL在47上取点匕使7V=4S,即47-4S=4匕:.NTHS=NTAS=90",'：H（-4、4）,A（0、4）,:.AHUO：又•.•NO/C=45°,AZ7^/7=45",•：NTHS=NTAS=90",AZ75/7=45",：.HT=HS；又NHTV=NHSA,TV=AS,：.4HTV学AHSA,.•.△"4/为等腰直角三角形,:.AT-AS=4V=4&..如图，在RtZXZBC中，ZJC5=90°,以斜边48上的中线8为直径作。。，与BC交于点M,与48的另一个交点为E,过M作垂足为M(1)求证：A/N是。。的切线；(2)若OO的直径为5,sin8=百，求瓦)的长.□【解答】（1）证明：连接OM,如图1,"：OC=OM,：.乙OCM=ZOMC,在RtZ\Z8C中，8是斜边上的中线,：.CD=^AB=BD,:.NDCB=NDBC,：.ZOMC=NDBC,J.OM//BD,:MNLBD,：.OMLMN,：0知过O,...MN是。。的切线；（2）解：连接。M,CE, 图2,rc。是。。的直径，；.NCED=90°,ZDMC=90°,即£>A/J_8C,CEkAB,由（1）知：BD=CD=5,为8c的中点，3VsinB=g,cosB=弓，在RtZ\5A/Q中，BM=BD・cgsB=4,：.BC=2BM=S,在RtACEB中，BE=BC・cgsB=停3? 7：.ED=BE-8。=』-5=可..已知/MPN的两边分别与OO相切于点儿B,。。的半径为八（1）如图1,点C在点力，8之间的优弧上，NMPN=80°,求N/C8的度数;（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形4pBe为菱形，N/P8的度数应为多少？请说明理由；（3）若尸C交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）.A/BNPBNP bN图1 图2 （备用图）【解答】解：（1）如图1,连接CM,OB,MBN图1;以，尸8为。。的切线，:・NPAO=NPBO=90°,VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360°,・・・N/P8+N/O8=180°,VZJP5=80°,AZAOB=\00°,/.ZACB=50°；(2)如图2,当N”8=60°时，四边形ZP6C是菱形,连接ON,OB,M图2由(1)可知，/4O8+N4P8=180°,VZAPB=60°,/.ZAOB=\20°,/.ZACB=60°=NAPB,・・,点C运动到PC距离最大，:.PC经过圆心，・・・Rh尸8为OO的切线，：.PA=PB,NAPC=/BPC=30°,又*：PC=PC,:AAPgABPC(SAS),；・NACP=NBCP=30°,AC=BCf：.ZAPC=ZACP=30°,：.AP=AC.:・AP=AC=PB=BC,・・四边形ZPBC是菱形；(3)・・・。。的半径为八：・OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,ZJOP=90°-ZAPO=60°,，前的长度=6：.丁=^r,lowo•・阴影部分的周长=%+尸。+而=8什〃+*=(V3+1+^)r..如图，以为。。的切线，尸8c为。。的割线，451.0尸于点。，△4JC的外接圆与8c的另一个交点为E.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连接CM,OB,OC,BD.,：OAVAP,AD1.OP,二由射影定理可得：P42=PD,PO,AD1=PD-OD.•••（5^-）又由切割线定理可得PA1=PB-PC,:.PB・PC=PD,PO,:.D、B、C、。四点共圆，…（10分）二ZPDB=4PC0=NOBC=NODC,NPBD=乙COD,:.MBDsACOD,PDBD：.—=—,…（15分）CD0D：.BD*CD=PD-OD^AD2,.BDAD"-AD=CD'又NBDA=NBDP+90°=ZODC+90°=ZADC,:.ABDAsAADC,：.ZBAD=ZACD,：.AB是△4DC的外接圆的切线,；.NBAE=NACB.

7.如图，点4为y轴正半轴上一点,4,8两点关于x轴对称，过点力任作直线交抛物线y=^x2于尸，。两点.(1)求证：NABP=N4BQ（2）若点4的坐标为（0,1）,且NP8°=60°,试求所有满足条件的直线尸°的函数。作y。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点力的坐标为（0,1）,则点8的坐标为（0,-Z）.设直线尸。的函数解析式为y=h+f,并设尸，。的坐标分别为（xp,yp）,（X0,y0）.由y=kx+ty=1x2工日 3,Hn,2JJ^XpXQ=—即t=-XpXq.29I4， 2n2 2, 、yp+t+t -Xpz-XpXQ -Xp(%p-Xq)yp+t-2 -2 2 —2%+, /q2+£ -XQ2-XpXQ -XQ(XQ-Xp)— xp”…BCPC又因 ="-，所以，7；=右XqBDQD因为NBCP=/BDQ=90°,所以ABCPsABDQ,故NABP=NABQ；(2)解：设尸C=a,DQ=b,不妨设。26>0,由(1)可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=Wb,所以4c=8q—2,AD=2一6b.因为尸。〃。0,所以.口PCACnay/3a—2于