2022-2023学年吉林省高二上学期大练习一数学试题（解析版）

2022-2023学年吉林省东北师范大学附属中学高二上学期大

练习一数学试题一、单选题1.对于直线，"、"和平面a,下面命题中的真命题是（ ）A.如果mua,n<Za,m,〃是异面直线，那么〃〃aB.如果/nua,nua,m、〃是异面直线，那么”与a相交C.如果小ua,n//a,m,”共面，那么D.如果m〃a,nila,m.〃共面，那么【答案】C【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案【详解】解：对于A,如果mua,nga,m,"是异面直线，则〃〃a或"与a相交，故A错；对于B,如果mua,n（za,m,〃是异面直线，那么〃与a相交或平行，故B错；对于C,如果机ua,nila,小、〃共面，由线面平行的性质定理，可得m//",故C对;对于D,如果/«〃a,nila,机、〃共面，则向/〃或机，"相交，故D错故选:C.直线a，直线6,6_1_平面夕，则。与用的关系是（）A. B.a//p C.au£ D.au6或a〃/7【答案】D【分析】由线面平行的判定条件即可得出结论.【详解】由题可知：当直线aJ■直线6,6J•平面夕时，直线。〃/或au",如图所示：故选：D.如果直线/,机与平面a,P,/满足：1=阴y,I//a,“ua和5_Ly,那么必有（）B.m//pC.B.m//pC.mLpD.I//m【答案】A【分析】由线面垂直得到线线垂直，即可得出结论.【详解】1/,且/uy, A正确，D错误.直线加和平面夕没有确定关系.故选：A..在正方体A8CQ-A与GA中，E为棱CD的中点，则.A.\EVDCXB.AtElBDC.A,EA.BCtD.\ELAC【答案】C【分析】画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论.【详解】画出正方体,如图所示.对于选项A,连若AELOG，又。C—AA，所以。C1_L平面AEA，所以可得DCt1DjE,显然不成立，所以A不正确.对于选项B,连AE,若又B4J.AA，所以。5L平面AAE,故得BDLAE,显然不成立，所以B不正确.对于选项C,连AR,则AR||BC1.连A。，则得A。_LARAA，E£>,所以平面AOE,从而得ar_lae,所以ae，8G.所以C正确.对于选项D,连AE,若AELAC,又AC1A4,所以ACJ■平面A4E,故得AC_LAE,显然不成立，所以D不正确.故选C.【名师点睛】本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题..以等腰直角三角形A8C斜边AB匕的高C。为棱，把它对折成空间四边形ACBZZJT且=则折后两条直角边C4,C8的夹角为（）A.30° B.45° C.60° D.75°【答案】C【分析】由勾股定理可证AB=CB=AC,则aABC是正三角形，由此可得结果【详解】解：折起后如图=设C8=AC=a,则AO=BO=等a, AB=^AD'+BD2=a-二在空间四边形ACBO中，aA5C是正三角形，.•.NC4B=60。，故选:C.若空间中四条不同的直线4，£4，/,满足G，。，则下面结论正确的是（）A.A1/4 B./1///4c.4，。既不垂直也不平行 D.4，4的位置关系不确定【答案】D【分析】在长方体中举例说明4,乙可能的位置关系，由排除法可得正确选项.【详解】【详解】如图：在长方体中，记。0为4,OC为/2，DA为％，满足题中条件/21/3,若AA为*满足此时/]/〃4；若G。为如满足Al3此时《与/4相交；若AB为L，满足，3，乙，此时乙与《异面垂直；若CQ为乙，满足，3，乙，此时4与/,相交垂直；因此4，。的位置关系不确定，所以选项ABC都不正确，故选：D.7.长方体A8CD-A4Gq中，直线乌C和G。与底面A8CD所成角分别为60。和45。,则异面直线4c和G。所成的角的余弦值为（）A.如 B・立 C.史 D.近6 6 4 3【答案】C【分析】设8c=1,利用线面角的定义与长方体的性质可求得3g=8=6,连接AB1,AC,则。所以异面直线BC和G。所成角即为NA8C，由余弦定理可得结果.【详解】设8c=】，易得NBCB为BC与由底面ABC。所成角，所以NBC8=60",所以在RtaB、CB中，可得eg=BB、=6,B[C=2.同理NCQC为G。与由底面ABC。所成角，所以NCQC=45",所以在RtACQC中，可得DC=®DQ=R.连接Aq,AC,则。CJ/A4，所以异面直线BtC和C.D所成角即为N48C.在VABC中，易得AB,=#,gC=2,AC=2,由余弦定理可得cosNAB。=6+^-4=—,2V6x2 4故选:C.8.如图所示，在四棱柱ABCO-ABCR中，例J"平面ABCO,四边形A8C。为梯形,AD//BC,且AD=3BC,过A，C,。三点的平面记为a,网与a的交点为Q,则以下四个结论：①QC//AQ；@B,Q=2QB.③四棱柱被平面a分成的上下两部分的体积相等，④几何体8C。-ADA,是三棱台.其中正确的个数为（

A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】延长A。与AB相交于尸，连结PC,可证明PwCD,即可判断④；通过线段之间的比例即可判断①②；通过对四棱柱被平面a分成的上下两部分的体积进行计算,即可判断③【详解】解：延长4。与A8相交于P,连结PC,因为PeAQ,PeAB，AQu平面a,A8u平面ABCD,所以尸在平面a与平面ABC。的交线C。上，即尸eC£>,由A£>〃BC及棱柱的性质可得平面AACA与平面BCCB平行，所以几何体BCQ-AD4,可看做是三棱锥P-ADA,被平面截剩下的一部分，故几何体8CQ-AD4，是三棱台，故④正确;pnpci因为AD//BC,且AD=33C,所以岩=詈=肾=；，BQPBPQ因为AV/BQ,所以尚=诙=而PQPC\ 一因为牙=右=鼻，所以QC7/A。，故①正确；因为你=84,所以鬟■=：,即4Q=2QB,故②正确;DD,J因为染”S.PADBCAD因为染”S.PADBCAD|=—>所以S4PAD=9s4PBe>S梯形A5CO=8s4PBC，因为AA,_L面ABC。，所以匕-PAD~§S&pad,AA,=3s4PBe,",,^Q-PBC=§S.PBC,BQ=—S4PBe,你,%棱股4GA一ABCD=S梯开,AA^=8SqPBC, ，%核柱4用%核柱4用GA-abco-(V^-padV-V*A,-PADrQ-PBC言，故③错误:故选：C.二、多选题9.下列命题中正确选项的是（）A.两个相交平面组成的图形叫做二面角B.二面角平面角。的范围是0。4。490°C.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系D.异面直线m人分别和一个二面角的两个面垂直，则a,b组成的角与这个二面角相等或互补【答案】CD【分析】对于A,由二面角的定义判断，对于B,由二面角的范围判断，对于C,由二面角和平面角的定义判断，对于D,由线面垂直的性质和二面角的定义判断【详解】解：对于A,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，故A错误；对于B,二面角平面角。的范围是0。4。4180。，故B错误；对于C,由定义知二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系，所以C正确;对于D,因为a,6分别垂直于两个面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角或直角，所以应是相等或互补，故D正确；故选：CD10.如图，是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：以下四个命题中，正确命题的选项是（）与EC平行CN与BM成60。角CN与BE是异面直线£>M与BN是异面直线【答案】BD【分析】画出直观图，根据异面直线和共面直线的判定，可知A和C错误，D正确,再根据“av是等边三角形，得出B正确.【详解】正方体的直观图如图所示：很显然，与EC不平行，A错误；连接AN,AC,易知“av是等边三角形，CN与的夹角即为NANC=60。，B正确;很显然，CN//BE,C错误；0M与BN是异面直线，D正确.故选：BD.11.如图，四棱锥S-ABC。的底面为正方形，SOJ•底面ABCQ,则下列结论中正确的ACLSBAB〃平面5coSA与平面SB。所成的角等于SC与平面SB。所成的角AB与SC所成的角等于OC与SA所成的角【答案】ABC【分析】证明AC_L面S3。即可判断A；由线面平行的判定定理可判断B：由线面角的定义求出两个线面角即可判断C；根据异面直线所成的角可判断D,进而可得正确选项【详解】解：对于A：因为SO,底面ABC。，ACu面ABC。，所以S£)J_AC,因为底面ABC。是正方形，所以AC_LB£),因为SRBOu平面S3。，所以AC_L平面SB。，因为SBu平面S3。，所以AC_LS8,故A正确；对于B：因为底面ABC。是正方形，所以AB〃CZ),因为A8<x平面SCZ),CZ)u平面SCD,由线面平行的判定定理可得〃平面SCO,故B正确；对于C：设ACD8O=O,连接SO,因为ACJ■平面SOu平面58£),所以ZASO即为SA与平面SBD所成的角，NCSO即为SC与平面S3。所成的角，AC±SO,因为AO=CO,SO=SO,且AC_LSO,所以tanZASO=tan/CSO,可得N4SO=NCSO,所以S4与平面SB。所成的角等于SC与平面S3。所成的角，故C正确；对于D：因为AB〃C。，所以NSCD即为A8与SC所成的角，即为OC与SA所成的角，因为 ABLSD,ADcSD=D,AO,SOu平面1sA。，所以AS_L平面SA。，因为SAu平面SAD,所以AB_LS4,所以NSA8=90,因为NS£)C=90,所以NSC£)x90,所以NSCDxNSAB,所以AB与SC所成的角不等于OC与SA所成的角，故D不正确;

A B故选：ABC12.如图，等边三角形ABC的中线A厂与中位线OE相交于G,已知aAOE是aA£>E绕OE旋转过程中的一个图形，下列命题中正确的是（）A'CA'CA.动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B.恒有。E_L平面AFGC.三棱锥4-耳刀的体积有最大值D.异面直线WE与80不可能垂直【答案】ABC【分析】由斜线的射影定理可判断A,由线面垂直的判定定理可判断B,由三棱锥的体积公式，可判断C,由面直线所成的角的概念判断D.【详解】对于A,设动点4在平面ABC上的射影为。，连接O2OE,因为a'O=A'E，所以OD=QE,因为等边三角形ABC的中线AF与中位线OE相交于G,所以E尸〃A8,EF=-AB,DF//AC,OF='AC,因为AB=AC,所以所=。尸，所以四边形AOFE2 2为菱形，所以四垂直平分DE,所以动点A在平面ABC上的射影。在线段AF上，所以A正确，对于B,由选项A可知四边形A0FE为菱形，所以AF10E，所以尸G，OE,A'G，OE,因为尸GP|AG=G,FG,AGu平面ANG,所以。E_L平面AFG,所以B正确，对于C,当平面A'£）£_L平面BCE。，三棱锥A-£FD的高最大，而底面DE尸的面积不变，所以此时三棱锥A-£7Z>的体积最大，所以C正确，对于D,当4炉+防2=4产时，a'E_LE尸，因为EF〃BD,所以AEJ.8O，所以此时异面直线AE与BC垂直，所以D错误,故选：ABC三、填空题.已知平面a,夕和直线m,给出条件:①〃2〃a；②mJLa；③mua；④a〃夕.当满足条件_ 时，有机，力.（选填其中的两个条件）【答案】②④【分析】由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面,由此能求出结果.【详解】解：•••由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项，故由②④可推出•夕.即②④是山，户的充分条件，满足条件②④时，有山，尸.故答案为：②④..如图所示，在矩形A8CZ）中，48=1,8。=4,/%，平面438,若在BC上只有一个点Q满足PQ-LQD,则a的值等于.【答案】2

【分析】连结AQ.先证明出，面PAQ,得到_LQA.由在BC上只有一个点。满足PQ1QD,判断出BC与以AO为直径的圆相切，即可求出a.【详解】连结AQ.因为PA_L平面ABC。，所以PA_LQ£>.又PQLQD,PAu面PAQ,QAu面P4Q,所以。。_1面以。,所以。£>，04.因为在BC上只有一个点。满足尸QLQO,所以8c与以A。为直径的圆相切.因为A8=l,BC=a,所以a=2.故答案为：2.如图，在三棱锥尸-ABC的平面展开图中，AC=1,AB=AD=4i，ABI.AC,ABLAD,ZCA£=30°,则cosNFCB=.F(P)F(P)【答案】4【分析】在aACE中，利用余弦定理可求得CE,可得出CF,利用勾股定理计算出BC、BD,可得出8尸，然后在△8C尸中利用余弦定理可求得8SN尸C8的值.

【详解】•.ABVAC,AB=g,AC=1,由勾股定理得8C=JAB2+AC2=2，同理得8D=#，.•.BF=8O=#，在aACE中，AC=\,AE=AD=j3,NC4E=30。，由余弦定理得a=AC?+AE2-2ACAEcos30=l+3-2xlxx/3x—=1,2:.CF=CE=\,在△Bb中，BC=2,BF=娓,CF=\,由余弦定理得CVS由余弦定理得CVS/尸装;产.1+4-62x1x2故答案为：T【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题..设P,Q为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ旋转外0<0<2n）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ有条.【答案】13【详解】试题分析：由题意，符合条件的直线PQ必过正方体的中心，否则正方体的中心绕PQ旋转8（0<0<2n）角后不能回到原位置，得到的新正方体必定与原正方体不重合.满足题意的直线PQ共有三种情况：TT3冗样的PQPQ有4条:如图2,当PQ穿过正方体对面中心时，正方体绕PQPQ旋转肛号时，能与原图重合.这样的PQ有3条：如图戳，当尸Q穿过正方体对棱中点时，正方体绕PQ旋转万时，能与原图重合.这样的PQ有6条.所以，符合条件的直线PQ有13条.【解析】空间几何体的点、线、面的位置关系.四、解答题.如图，在正方体ABCO-ABCi。中，E为CG的中点.(1)在图中作出平面4RE和底面ABCD的交线，并说明理由：(2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.【答案】(1)答案见解析；(2)7:17.【解析】(1)在正方形。CGR中，直线RE与直线0c相交，设REcOC=F,连接AF,可证尸w平面ABCD且尸e平面ARE,得到平面平面A5C£)=AF；(2)设BCcAF=G,连接GE,证明EG//AR,则平面ARE将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE-D4".设正方体ABCO-AqGA的棱长为2.求出棱台CGE-DAD、的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案.【详解】(1)在正方形DCC,4中,直线RE与直线OC相交，设REcOC=尸，连接AF,VF&DC,DCu平面ABCD,则Fe平面A8CD,'：FeDtE,REu平面ARE,Fe平面ARE.平面A。Ec平面ABCD=AF.(2)设BCcAFuG,连接GE,由E为CG的中点，得G为BC的中点，EGHAD、,则平面A"E将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台CGE-DAD,.设正方体abcd-ab£2的棱长为2._7 _71/台《；£34=匕“哂—^F-CGE~g^F-DA1^=04clxFD7 17.••另一部分几何体的体积为23--=—.，两部分的体积比为7:17【点睛】本小题主要考查面与面的位置关系，考查几何体体积的求法.18.如图，已知矩形ABCC所在平面外一点P,用l_L平面ABC£>,E、尸分别是A8、PC的中点.B C(1)求证：EFP平面「A。；⑵若NPDA=45。，求E尸与平面ABCD所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)45°【分析】(1)取PO中点G,连接AG、FG,证明四边形AEFG是平行四边形，可得AG//EF,即可证明EFP平面PA。；(2)过G作G4_L4),垂足为H,则GH//PA,可得GH1平面ABC。，根据AG//EF,可得AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角，从而可得NGAH即为所求，从而可得出答案.【详解】(1)证明：如图，取尸。中点G,连接AG、FG,,:E、尸分别为AB、PC的中点,AAE=-AB,G尸〃DC且GF=』OC,2 2又在矩形ABC。中，A8||C£＞且4B=C。，:.AE〃G广且4E=GF,二四边形AEFG是平行四边形，/.AG//EF,又AGu平面以D,EF。平面附C,EFP平面PAO：(2)解：；4G〃防，AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD所成的角,过G作G"_LA£),垂足为“，则G//〃24,:以_L平面4BC。，；.G//_L平面ABCO,二AGAH为AG与平面ABCD所成的角，VZPDA=45°,G为 的中点，：.ZGAH=45°,即EF与平面A8CO所成的角为45。.19.如图，已知圆柱002,过轴002的截面图形ABCO为正方形，点M在底面圆周上,TT且448例==，N为C3的中点.6M⑴求证：AMJ■平面M8C；（2）求直线MN与平面AMC所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析⑵等【分析】（1）先由线面垂直的性质定理及圆直径所对圆周角为直角证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理即可证明结论.（2）根据条件建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量G,然后再根据直线MN与平面AMC所成角的正弦值为sina=|cos^A/A^,/j^|及sin2a+cos2a=1求得余弦值.【详解】（1）证明：根据题意得，在圆柱。。2中，BCL底面圆口,即BC_L平面AMB,又因为4Wu平面AA/，所以AA/_LBC,因为点M在底面圆周上，且AB为底面直径，7T所以N4MB=5，即因为5CC|BM=8,且8Cu平面M8C,BMu平面M8C,所以AM_L平面MBC.（2）如图，以点”为坐标原点，分别以丽、市方向为x轴、V轴正方向，过点M作直线。。2的平行线为z轴建立空间直角坐标系.设AB=2,因为NABM=工，NAMB=W，所以4W=1,BM=下）.6 2根据题意得M（0,0,0）,川技0,0）,4（0,1,0）,C（60,2）,N（瓜0,1）,所以丽=（石,0,1）,庇=（0,1,0）,a7c=（^,o,2）,设平面AMC的法向量为A=（x,y,z）,rfnlMA_fy=0由i ，得（广 ，nlMC[V3x+2z=O令x=2,则y=0,