2022-2023学年高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质讲义

WH川川II川川川川川川川川川川川川川川川田儿3.2.2WH川川II川川川川川川川川川川川川川川川田儿最新课程标准学科核心素养结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义..了解函数奇偶性的概念.（数学抽象）.会利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性.（逻辑推理）.会利用奇、偶函数的图象.（直观想象）.能利用函数的奇偶性解决简单问题.（逻辑推理）叫川川川州川川川川川川川川川囿州阳川州川川川川川川h囱画即1陶•课前预习教材要点要点.偶函数的概念如果对一切使尸（X）有定义的X,尸（一*）也有定义，并且尸（一X）=成立，则称尸（X）为偶函数..奇函数的概念如果对一切使尸（x）有定义的x,尸（一”）也有定义，并且尸（一X）=成立，则称尸（x）为奇函数..奇、偶函数的图象特征（1）奇函数的图象关于成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）偶函数的图象关于对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.状元随笔奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性.基础自测.思考辨析（正确的画“J”，错误的画“X”）（1）已知/'（X）是定义在R上的函数.若/X-Dn/U）,则/1（"）一定是偶函数.（）（2）偶函数的图象与X轴交点的个数一定是偶数.（）（3）/（*）是定义在R上的奇函数，则A0）=0.（ ）（4）一个奇函数与一个偶函数的积函数是偶函数.（）.下列函数为奇函数的是()A.y=|x\B.y=3—xC.y=#・y=-x+\A3.若函数y=F(x),xe[-2,同是偶函数，则a的值为()A.-2B.2C.OD.不能确定4.下列图象表示的函数是奇函数的是 ,是偶函数的是,(填序号)⑴ ⑵ (3) (4),川川川川川“川川川川“川川川川川〃川勿川川川川川川川川小 课堂解透题型1函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性f(x)=yfl-x2+Vx2-1；(2)«*)==；x+l⑶/U)=篙(4"(x)=[x(l-x),x<0(x(l+x),x>0.方法归纳判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下：①判断函数/'(X)的定义域是否关于原点对称.若不对称，则函数/为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步.②验证./■(—X)=—f(x)或f(—x)=f(x).③下结论.若/1(-x)=-r(x),则/'(X)为奇函数：若/'(—x)=f(x),则F(x)为偶函数；若/1(—x)w—f(x),且/'(一%) ,则f(x)为非奇非偶函数.(2)图象法：/Xx)是奇(偶)函数的等价条件是/Xx)的图象关于原点(y轴)对称.跟踪训练1(1)(多选)下列函数中，是偶函数的是()A.y=Vl+x2B.y=x+-C.y=/+4D.y=x-\-xf-x2+1,x>0,(2)函数/■(*)=42 是()I-ix2-1,x<0A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数题型2函数奇偶性的图象特征例2已知函数y=F(x)是定义在R上的偶函数，且当后0时，F(x)=V+2x.现已知画出函数/'(x)在y轴左侧的图象，如图所示.(1)请补出完整函数y=f(x)的图象.(2)根据图象写出函数尸/Xx)的递增区间.(3)根据图象写出使y=Ax)<0的x的取值范围.方法归纳.巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性.(2)作出函数在[0,+8)(或(一8,0])上对应的图象.(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-8,0](或[0,+8))上对应的函数图象..奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察.跟踪训练2设奇函数/X*)的定义域为[-5,5],若当A-e[0,5]时，/'(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是.y=f(x)题型3函数奇偶性的应用角度1利用函数的奇偶性求参数例3(1)已知函数/Xx)=f-(2—勿)x+3为偶函数，则0的值是( )A.1B.2C.3D.4(2)函数/'(x)=^等为奇函数，则实数a=()X2+8A.-IB.1方法归纳已知函数的奇偶性求参数值的三种思路(1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.(2)一般化策略：对x取定义域内的任意一个值，利用汽一力与/Xx)的关系式恒成立来确定参数的值.(3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去.角度2利用函数的奇偶性求函数值例4(1)已知函数/tv),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且/Xx)—g(x)=x+x+2,则/U)+g(D=( )A.—2B.-1C.ID.2(2)已知函数f(*)=af+/；x+3,且/•(-2)=10,则函数f(2)的值是.方法归纳利用函数的奇偶性求函数值的方法已知函数的某一个值，求对应的函数值时，常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值.角度3利用函数的奇偶性求函数解析式例5已知函数/'(x)是定义在R上的偶函数，且xWO时，F(x)=x(x-1),求/{x).方法归纳利用奇偶性求函数解析式的方法已知函数的奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：先设出未知解析式的定义区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可.具体如下：(1)求哪个区间上的解析式，X就设在哪个区间上；(2)将一X代入已知区间上的解析式：(3)利用/'(x)的奇偶性把/X-x)写成一/Xx)或/'(x),从而解出对应区间上的F(x).角度4奇偶性与单调性的简单应用例6(1)若对于任意实数x总有/'(-*)=F(x),且/'(x)在区间(-8,-1］上是增函数，贝1()A./(-1)</(-l)<A2)b.A2)</(-|)<r(-i)A2)</,(-1)</(-1)A-lX/(-1)<A2)(2)定义在［-2,2］上的偶函数/'(x)在区间［0,2］上单调递减，若式1一面<式面,求实数必的取值范围.方法归纳利用单调性和奇偶性解不等式的方法(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或f(汨)Vf(xz)的形式，再利用单调性脱掉”产求解.(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响.跟踪训练3(1)设函数/'(*)=竺强型为奇函数，则且=.X(2)若函数F(x)=aV+6x+3a+b是偶函数，定义域为[a—2,2司，贝Ua=,b(3)已知F(x)=x+ax+Z?x—8,且F(—2)=10,则f(2)=.(4)已知偶函数f{x),且当xG[0,+8)时，都有(属一照)•[「(及)一f(x1)]<0成立，令a=F(-5),A=/g),c=A-2),则a,b,c的大小关系是(用“>”连接).易错辨析忽视函数的定义域致误例7关于函数f(x)=7妤-4+，4-X2与力(x)=7x-4+=4—x的奇偶性,下列说法正确的是()A.两函数均为偶函数B.两函数都既是奇函数又是偶函数C.函数/'(x)是偶函数，力(x)是非奇非偶函数D.函数/Xx)既是奇函数又是偶函数，力(x)是非奇非偶函数{X2—4>0.，一 即*2=4,因此函数/■(>)4-x2>0,的定义域为{-2,2},关于原点对称，此时/'(刈=。，满足/1(-*)=一/Xx),/■(—x)=F(x),所以函数/Xx)既是奇函数又是偶函数，而函数方(x)=6E+V¥二的定义域为{4},不关于原点对称，因此函数Mx)是非奇非偶函数.故选D.答案：D易错警示易错原因纠错心得忽视了函数的定义域，直接利用函数奇偶性的定义判断，错选了C.根据函数的解析式，判断函数的奇偶性首先应确定函数的定义域，只有在函数的定义域关于原点对称的情况下，才能根据解析式是否满足A-X)=-x)=f(x)判断函数的奇偶性.若函数的定义域不关于原点对称，则可以直接说明函数是非奇非偶函数.课堂十分钟.(多选)下列函数是奇函数的有()A.y=x3+VxB.尸工(x>0)C.y=x+lD.尸立i

的图象大致为(-Du(1o)u(o已知函数Ax)的解析式设奇函数f(x)在的图象大致为(-Du(1o)u(o已知函数Ax)的解析式设奇函数f(x)在(0,+8)上为增函数已知函数Hx)是定义在R上的奇函数，当*>0时x(x—1),求函数f(x)XX<0是奇函数且/'(1)=0,则不等式fg-Kf,CO的解集抽象函数没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.题型1抽象函数的定义域(1)函数f(x)的定义域是指X的取值范围.(2)函数f(巾(x))的定义域是指x的取值范围，而不是4>(x)的取值范围.(3)f(t),f(4>(x)),f(h(x))三个函数中的t,6(x),h(x)在对应关系f下的范围相同.例1已知函数f(x)的定义域为的，1］,求函数g(x)=f(x+m)+f(x—m)(m>0)的定义域.思路分析：由f(x)的定义域为［0,1］可知对应关系f作用的范围为［0,1］,而f(x+m)+f(x—m)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使x+m,x—m都在［0,1］这个区间内，从而使f(x+m)+f(x—m)有意义.解析：由题意得f°Wx+mWl,=［一m4xWl-m‘0<x—m<1 (m<x<1+m.V—m<m,1—m<l+m,而m与1—m的大小不确定，・••对m与1—m的大小讨论.①若 BPm=-,则x=m=1；②若mVl-m,即mV、则 m；③若m>l—m,即 贝!Jx£。.综上所述，当OVm4时，函数g(x)的定义域为{x|mWxWl-m},当m*时，函数g(x)的定义域为。.题型2抽象函数的奇偶性对于抽象函数奇偶性的判断，由于无具体的解析式,要充分利用给定的函数方程关系式,对变量进行赋值，使其变为含有f(x),f(—x)的式子.再利用奇偶性的定义加以判断.其解题策略为(1)要善于对所给的关系式进行赋值.(2)变形要有目的性，要以“f(一x)与f(x)的关系”为目标进行化简和变形.例2函数f(x),xER,若对任意实数a,b,都有F(a+6)=F(a)+f(。)，求证：f(x)为奇函数.证明：令a=0,则F(6)=f(0)+f(6), f(0)=0.又令a=—%b=x,代入F(a+b)=F(d)+F(6),得f(—x+x)=F(—x)+F(x).即/—x)+f(x)=0,为奇函数.题型3抽象函数的单调性判断抽象函数的单调性，通常利用单调性的定义，但要注意充分运用所给条件，判断出函数值之间的关系.常见思路：先在所证区间上任取两数x„x2(x,<x2),然后利用题设条件向已知区间上转化，最后运用函数单调性的定义解决问题.例3已知函数f(x)的定义域是{xIxWO,xGR},对定义域内任意的汨，版都有f(xix^)=f(xi)+ ,且当x>1时，f(x)>0.(1)求证：/1(x)是偶函数；(2)求证：/Xx)在(0,+8)上是增函数；(3)试比较《一|)与名)的大小.思路分析：(1)利用赋值法证明f(-x)=f(x)；(2)利用定义法证明单调性；(3)利用函数的单调性比较大小.解析：(1)证明：由题意可知函数/Xx)的定义域关于原点对称.,对定义域内任意的汨，处都有=〃汨)+了(版)，・••令汨=股=1,得F(l)=2f(l),/./(I)=0.令汨=兹=一1,得/t(-l)X(-1)]=/(-1)+/(-1),即/'(1)=2f(—1),即2F(—1)=0,，/'(―1)=0.令汨=—1,x?=x,Af{-x)=/[(-1)•x\=/(-1)+/(a)=Aa),・・・f(x)是偶函数.(2)证明：任取矛i,及仁(0,+°°),且用〈如则f(*2)—f(xi)=/(xi•£)——.微>1,又•.•当QI时，••.49>0,即/'(彳2)—F(汨)>0,/.U)<f(X2),在(0,+8)上是增函数.⑶由⑴知/U)是偶函数，则有《一习=4|).由(2)知/'(x)在(0,+8)上是增函数，且2 4则电)>◎•••《令心2.2函数的奇偶性新知初探•课前预习要点.尸(力2.一夕(x)3.原点y轴[基础自测].答案：⑴X(2)X(3)V(4)X.解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数.故选C.答案：c.解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以-2+a=0,所以a=2.故选B.答案：B.解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数.答案：(2)(4)(1)(3)题型探究•课堂解透例1解析：(1)函数F(X)=71-X2+lx?■-1的定义域为{-1,1}.关于原点对称，此时f(X)=0,所以函数f{x} +值=T既是奇函数又是偶函数.(2)函数/"(X)的定义域是(-8,-l)u(-l,+8),不关于原点对称，是非奇非偶函数.(3)函数-5)=甘的定义域为(一8,o)u(o,+8),关于原点对称.又因为f(-x)=f(X)，所以函数f(x)=]?是偶函数.|-x|X |x|(4)方法一：••・函数F(x)的定义域是(一8,0)U(0,+oo),关于原点对称.当尤>0时，-xVO,，F(—*)=(—*)[1—(—x)]=—*(l+x)=_f(力.当xVO时，-x>0,:.f(-x)=一★(1—X)=—f{x).，函数f(x)为奇函数.方法二：作出函数的图象，如图所示的实线部分：由图可知，该函数为奇函数.跟踪训练1解析：(1)由偶函数的定义可知AC是偶函数.故选AC.(2)函数的定义域为(一8,0)U(0,+8),关于原点对称.当*>0时，-x<0,r(-X)=一：(—*)2—1=— =—〃x).2 2当x<0时，-x>0,f(~x)=1(—x)2+1 +1=—(—^x2—1)=—f(x).-x2+1,x>0,综上可知，函数/1(*)=<2i--x2-1,x<0I2是奇函数.故选A.答案：(1)AC(2)A例2解析：(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调递增区间为(-1,0),(1,+~).(3)据图可知，使/trXO的x的取值范围为(-2,0)U(0,2).跟踪训练2解析：由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则/'(*)在定义域［-5,5］上的图象如图，由图可知不等式/'(彳)<0的解集为{3一2〈求0或2<启5}.答案：{3一2<求0或2〈启5}例3解析：(1)f(—x)=(―x)‘一(2—加)(-x)+3=x2+(2—勿)x+3,由函数y=f(x)为偶函数，知/X—x)=f{x)»即>'+(2—明)*+3=*z—(2—ni)x-\~3).*.2—m=一(2—m),«*.〃=2.故选B.(2)由题意F(x)为奇函数，则/'(0)=0,即0+2a+3=0, 此时/'(x)=小一为2 x2+8奇函数.故选C.答案：(1)B(2)C

例4解析：(1);Ax)—g(x)=f+f+2,由一x代入x得：A--v)—g(—x)=—x+x+2由题意知F(—x)=F(x),g(—x)=—g(x),f(x)+g(x)=—x+/+2,所以Al)+g⑴=-1+1+2=2.故选D.(2)令g(x)=ax+bxx)=a(—x)+b(-x)=—ax-bx=~{ax+bx)=-g(x),・・・g(x)为奇函数.・•・/1(—x)=g(—x)+3=—g(x)+3,vr(-2)=io,・・・g(2)=-7,・・・『(2)=屋2)+3=—7+3=—4・答案：(1)D⑵一4例5解析：当x>0时，一水0,则F(—x)=-x(—x—1)=x(x+l),又函数F(x)是定义在R上的偶函数，所以当尤>0时，F(x)=f(—x)=x(x+l).所以《)=器所以《)=器+1),x>0—1),x<0例6解析：(1)・・・对任意实数彳总有〃一力=〃力，・・・〃上)为偶函数，・・・为2)=数一2).又/'(X)在区间(一8,-1］上是增函数，一2〈一¥一1，(-1).故选B.(2)；函数/Xx)是偶函数，.•./■(*)=AI3).A=f(\1—22?|),-=f(|/|).-2<1-m<2,.••原不等式等价于1-2<m<2, 解得一1号正泉<|1-m|>|m|,...实数卬的取值范围是［一1,I).答案：(DB(2)见解析跟踪训练3解析：(1)方法一(定义法)由已知f(—x)=-f{x},g|j(-x4-l)(-x+a)__(x-H)(x+a)-X X显然xWO得，x—(a+l)x+a=x+(a+l)x+a,故a+l=O,得a=-l.(经检验满足题意)方法二(特值法)由/tv)为奇函数得A-1)=-A1).gn(-1+1)(-1+a)(l+l)(l+a)-11整理得a=-l.(2)由/Xx)为偶函数知，其定义域关于原点对称，故有a-2+2a=0,解得a=g.又因为f(*)为偶函数，所以其图象关于y轴对称，即一上=0,解得6=0.2a(3)令g(x)=x-¥ax+bx,则g(x)是定义在R上的奇函数.从而g(—2)=—g(2).又f(x)=ff(x)-8,.•"(-2)=4一2)—8=10....g(-2)=18,•••g(2)=-g(-2)=-18..*.y(2)=^(2)-8=-18-8=-26.解析：(4)